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title: "在相空间里同时跟住每一个电子"
description: "用位置和速度给每个电子定位，用分布函数数它们，再让电场推动整团电子。这就是 Vlasov–Poisson 模型。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/kinetic-plasma/phase-space-and-the-vlasov-equation/"
last_modified: "2026-10-29"
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[等离子体动理学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/)

L2 · 第 2 章

# 在相空间里同时跟住每一个电子

把每个电子画成平面上的一点：横坐标是位置，纵坐标是速度。整团点在这个平面里像流体一样流动，局部的点密度就是分布函数。没有碰撞时，这个密度沿着每个电子的轨道原样搬运。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

[查看八章课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/)

开始前

第 1 章的单位约定。偏导数和链式法则；知道一个量可以沿着运动的路径保持不变。

## 在“位置—速度”小格子里数电子

记 $f(x,v,t)\,dx\,dv$ 为位置在 $x$ 到 $x+dx$、速度在 $v$ 到 $v+dv$ 之间的电子数。对速度积分，就得到普通的密度 $n(x,t)=\int f\,dv$。课程里离子是固定背景，密度为 $1$；处处 $n = 1$ 时，等离子体呈电中性。

Lab 画的正是这个平面。颜色表示 $f$ 偏离均匀背景多少：一道暖色条纹，说明那个位置、那个速度上的电子比平均多一点。

推导

## 沿着轨道搬运密度

用等离子体单位，电子满足 $dx/dt = v$、$dv/dt = -E$，负号来自电子带负电。没有碰撞，电子不生不灭；又因为 $\partial v/\partial x = 0$、$\partial E/\partial v = 0$，这个平面上的流动散度为零。一小块电子云可以被拉长、折叠，面积和里面的电子数却不变，所以 $f$ 沿每条轨道保持不变。

用链式法则写出这句话，就是 Vlasov 方程。电场由离子背景与电子密度之差产生，这是高斯定律；有了它，两条方程互相给出对方需要的量。

$$
\frac{\partial f}{\partial t}+v\frac{\partial f}{\partial x}-E\frac{\partial f}{\partial v}=0,\qquad \frac{\partial E}{\partial x}=1-\int f\,dv
$$

## 方程守住了什么

$f$ 只是被搬来搬去，所以任何形如 $\int\!\!\int G(f)\,dx\,dv$ 的积分都不变，包括电子数、$f^2$ 之和，以及细粒熵 $-\int\!\!\int f\ln f\,dx\,dv$。动量守恒，总能量也守恒：电子动能加上电场储存的能量。

这些是检验求解器的第一关。相空间 Lab 的默认运行用 $32\times256$ 网格、时间步长 $0.1$，跑 70 个时间单位：电子数的相对漂移低于 $10^{-14}$，$f^2$ 之和低于 $10^{-13}$，总能量低于 $10^{-6}$。能量误差最大，因为把一步拆成位置平移和速度平移，只有时间步长的二阶精度。

$$
W=\int\!\!\int \frac{v^2}{2}\,f\,dx\,dv+\int \frac{E^2}{2}\,dx=\text{constant}
$$

完整例题

## 例题：自由流动的波纹

关掉电场，从 $f_0=(1+\alpha\cos kx)M(v)$ 出发，$M(v)=e^{-v^2/2}/\sqrt{2\pi}$ 是麦克斯韦分布。每个电子保持原速，于是 $f(x,v,t)=f_0(x-vt,v)$。对速度积分，密度波纹就成了麦克斯韦分布的傅里叶变换。

密度波纹因此随时间按高斯形状缩小。$k=0.5$ 时，到 $t=4$ 只剩开始的 $e^{-2}\approx0.135$，到 $t=8$ 只剩 $3.4\times10^{-4}$。什么也没丢：$f$ 里仍完整保留着波纹，只是被斜拉成速度方向上的条纹。密度把许多正负相消的条纹平均掉了。

$$
n(x,t)-1=\alpha\cos(kx)\int M(v)\cos(kvt)\,dv=\alpha\cos(kx)\,e^{-k^2t^2/2}
$$

## 程序怎样推进这团电子

模拟把 $f$ 存在位置和速度的网格上。每一步先把每一行（同一速度）在位置方向平移 $v\,\Delta t$，再由密度算出新的电场，然后把每一列（同一位置）在速度方向平移 $-E\,\Delta t$。两种平移都用傅里叶变换在网格上精确完成；按“半步平移、整步推动、半步平移”排列，误差保持在二阶。

只要速度方向的条纹比几个网格宽，这个方法就准确。条纹更细时会出什么事，见第 3 章。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 关掉电场后，密度波纹会比开着电场时消得更快还是更慢？
2. 先运行默认波纹，再运行“只有自由流动”预设，对照电场条和历史曲线。
3. 解释对数坐标图上两条衰减曲线的形状：一条越弯越陡，另一条沿直线下降。

[看波纹折成速度条纹](https://sandboxphysics.com/zh/labs/phase-space-filaments/)

三个相空间 Lab 用等离子体单位求解一维电子模型，每个 Lab 都能导出参数、模型版本和电场历史。

## 试着自己解释

### 1. 证明自由流动解 $f_0(x-vt,v)$ 满足 $E=0$ 时的 Vlasov 方程。

展开答案与解释

令 $s=x-vt$，则 $\partial f/\partial t = -v\,\partial f_0/\partial s$，$\partial f/\partial x = \partial f_0/\partial s$，所以 $\partial f/\partial t + v\,\partial f/\partial x = 0$。

### 2. $k=0.3$ 的自由流动波纹，什么时候降到开始的 $e^{-2}$？

展开答案与解释

令 $k^2t^2/2=2$，得 $t=2/k\approx6.7$。波越长，电子漂过一个波长要的时间越久，混合也就越慢。

### 3. 细粒熵 $-\int\!\!\int f\ln f$ 守恒，为什么不违反热力学第二定律？

展开答案与解释

它衡量的是完整的细粒分布，而细粒分布只是被搬动。任何把细条纹平均掉的测量，比如密度，都会看到波纹消失。碰撞或粗粒观测抹掉条纹时，才出现不可逆，见第 7 章。

## 可以放在旁边读的来源

1. [R. Fitzpatrick, Plasma Physics lecture notes, University of Texas at Austin: Landau damping, resonant particles and the plasma dispersion function](https://farside.ph.utexas.edu/teaching/plasma/Plasma/node109.html)

   相连的三页推导麦克斯韦等离子体的线性响应、波速附近电子的作用，以及我们求介电根时用到的等离子体色散函数。

2. [C. Z. Cheng and G. Knorr, The integration of the Vlasov equation in configuration space, Journal of Computational Physics 22, 330 (1976)](https://doi.org/10.1016/0021-9991(76%2990053-X)

   把一步 Vlasov 推进拆成位置平移和速度平移，通常引用这篇论文，本站的求解器也这样做。只核对了书目信息，求解器靠精确极限和守恒律来检验。

[上一章 等离子体里的电子为什么会像钟一样振荡](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/plasma-oscillations-and-units/) [下一章 消失的波纹躲在哪里，网格又怎样把它放回来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/phase-mixing-and-recurrence/)