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title: "算出等离子体波消退得多快"
description: "把 Vlasov 方程线性化，找到介电函数为零的复频率，再拿它的虚部和模拟里测到的衰减对照。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[等离子体动理学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/)

L3 · 第 4 章

# 算出等离子体波消退得多快

麦克斯韦等离子体里的小波，消退速率由一个数决定：让介电函数为零的复频率的虚部。$k=0.5$ 时这个根是 $\omega=1.4157-0.1534i$，模拟拟合出的速率是 $-0.1536$。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 2、3 章。复数、傅里叶模式 $e^{i(kx-\omega t)}$，知道复频率表示振荡乘上增长或衰减。

推导

## 在均匀等离子体附近线性化

写 $f=f_0(v)+f_1$，$f_0$ 是均匀分布，$f_1$ 很小。只保留 $f_1$ 和电场的一阶项。$E\,\partial f_1/\partial v$ 是二阶小量，可以略去，剩下一个线性方程，驱动它的是电场作用在背景分布的斜率上。

设模式 $f_1,E\propto e^{i(kx-\omega t)}$。Vlasov 方程用 $E$ 表出 $f_1$，泊松方程又把 $f_1$ 的密度变回 $E$。要有非零电场，介电函数必须为零。

$$
f_1=\frac{i\,E\,f_0'(v)}{\omega-kv},\qquad \varepsilon(k,\omega)=1-\frac{1}{k^2}\int\frac{f_0'(v)}{v-\omega/k}\,dv=0
$$

## 波速处的极点

被积函数在电子速度等于波速 $v=\omega/k$ 处有极点。朗道指出，初值问题决定了怎样绕过它：从复 $\omega$ 平面的上半平面延拓积分，积分路径从极点下方经过。这样会多出一项，正比于波速处的斜率 $f_0^{\prime}$。

对麦克斯韦分布，这个积分用等离子体色散函数 $Z$ 表示。程序通过 Faddeeva 函数计算 $Z$，再用牛顿法找根。式中 $\zeta=\omega/(\sqrt2\,k)$；根落在下半平面，波就衰减。

$$
\varepsilon(k,\omega)=1-\frac{1}{2k^2}\,Z'\!\left(\zeta\right),\qquad \zeta=\frac{\omega}{\sqrt2\,k},\qquad Z'(\zeta)=-2\left[1+\zeta Z(\zeta)\right]
$$

完整例题

## 例题：三个波数

解 $\varepsilon=0$：$k=0.3$ 时 $\omega=1.1598-0.0126i$，$k=0.5$ 时 $1.4157-0.1534i$，$k=0.8$ 时 $1.7999-0.5346i$。短波衰减得快得多，因为它的相速度更接近热速度，能跟着波走的电子多得多。

Lab 只用电场的历史就测出同样的速率：在 $t=4$ 之后、非线性俘获或网格复现可能出现之前，对电场峰值的对数做直线拟合。拟合结果是 $-0.0127$、$-0.1536$、$-0.5358$，实部也吻合到 $0.2\%$ 以内。

长波时，一个简短的公式就能抓住大部分结果。$k=0.5$ 时它给出 $\gamma\approx-0.151$，接近真根。它适合估算，不适合做对照：换个波数，误差会很快变大。

$$
\gamma\approx-\sqrt{\frac{\pi}{8}}\;\frac{1}{k^3}\,\exp\!\left(-\frac{1}{2k^2}-\frac32\right)
$$

## 这个速率说明了什么

阻尼率描述的是电场和密度，也就是对速度平均之后的量。分布本身并没有弛豫：能量离开电场，以越来越细的速度条纹留在电子里。这个速率还假定波一直很小。波强到能抓住它想交出能量的那些电子时，情况会变，见第 5 章。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 用上面的三个根，预测 $k=0.8$ 的电场衰减到 $e^{-5}$ 需要多少时间单位。
2. 在相空间 Lab 里把波数滑块从 0.3 拉到 0.8，对照“测得的衰减率”和“介电函数根给出的衰减率”。
3. 解释为什么把波纹深度调大一点时仍吻合，调大很多时就对不上了。

[看波纹折成速度条纹](https://sandboxphysics.com/zh/labs/phase-space-filaments/) [追踪能量流向共振电子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/landau-damping-trapping/)

三个相空间 Lab 用等离子体单位求解一维电子模型，每个 Lab 都能导出参数、模型版本和电场历史。

## 试着自己解释

### 1. $k=0.8$ 时，电场衰减 $e^{5}$ 倍要多久？

展开答案与解释

衰减率 $0.5346$，时间为 $5/0.5346\approx9.4$ 个单位，比两个振荡周期（每个 $2\pi/1.80\approx3.5$）略长。

### 2. 线性计算为什么能丢掉 $E\,\partial f_1/\partial v$？什么时候这样做不安全？

展开答案与解释

它是两个小量的乘积。电场强到能在衰减时间之内弯折电子轨道时，这一项就要紧了；第 5 章用弹跳时间来衡量这一点。

### 3. 如果分布在波速处的斜率为正，根的虚部应是什么符号？

展开答案与解释

为正：斜率项变号，波转而增长。第 5 章用尾部鼓包检验这一点。

## 可以放在旁边读的来源

1. [R. Fitzpatrick, Plasma Physics lecture notes, University of Texas at Austin: Landau damping, resonant particles and the plasma dispersion function](https://farside.ph.utexas.edu/teaching/plasma/Plasma/node109.html)

   相连的三页推导麦克斯韦等离子体的线性响应、波速附近电子的作用，以及我们求介电根时用到的等离子体色散函数。

2. [J. H. Malmberg and C. B. Wharton, Collisionless Damping of Electrostatic Plasma Waves, Physical Review Letters 13, 184 (1964)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.13.184)

   在实验室里测量无碰撞的波衰减。只核对了书目信息，没有使用其中的数据；第 4 章的速率来自我们自己的介电根和模拟。

[上一章 消失的波纹躲在哪里，网格又怎样把它放回来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/phase-mixing-and-recurrence/) [下一章 波的能量交给了谁，波又在什么时候抓住电子](https://sandboxphysics.com/zh/stories/kinetic-plasma/resonant-electrons-and-trapping/)