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title: "从电波延迟推到复可见度"
description: "从两台望远镜的波程差推导傅里叶测量，固定符号与单位，再亲手计算点源和双点源。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/from-wave-delay-to-complex-visibility/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/interferometric-imaging/from-wave-delay-to-complex-visibility/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从电波延迟走到 EHT 干涉成像](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/)

AC05 · L1

# 从电波延迟推到复可见度

Sandbox Physics · 2026-10-28

一对望远镜测量天空亮度的一项傅里叶分量。实部回答天空有多像余弦条纹，虚部回答它有多像平移后的正弦条纹。从电波到达两站的时间差出发，我们可以推清这件事，也能知道图像方向和通量怎样才算对。

## 开始前需要什么

需要弧度、三角函数，以及把复数拆成实部和虚部的知识。推导采用远处互不相干的光源、小视场和窄频率通道。

## 先规定天空和基线的方向

把跟踪的方向放在原点。$l$ 向东增加，$m$ 向北增加，都用弧度。两站的位置分别为 $\mathbf r_1$ 和 $\mathbf r_2$，有向基线规定为 $\mathbf b=\mathbf r_2-\mathbf r_1$。把基线投影到东西、南北两个天空方向，再除以波长，得到 $u$ 和 $v$。十亿这个数表示十亿个波长，不是十亿米。

浏览器采用 $1.3\,\mathrm{mm}$ 波长。投影基线若长 $3900\,\mathrm{km}$，就是 $3.00\times10^9$ 个波长。这里必须用投影长度：从接近基线延长线的方向看，地面上很长的距离也会缩得很短。

天文图像常把东放在左边、北放在上边。公式仍然规定向东为正，显示时把像素列倒过来即可。改变傅里叶指数的正负号也会翻转相位信息，那是另一件事。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis

## 一点角度差，怎样变成相位差

相关器先消去指向视场中心时的传播延迟。旁边某个方向还会留下 $b_l l+b_m m$ 的波程差。除以波长，便是相差几个周期；再乘 $2\pi$，便得到弧度。

选定这样的相关约定：跟踪后的第一站信号乘第二站信号的复共轭。通量密度为 $F$ 的点源就贡献下面这个相量。这个约定固定了前向指数里的负号。把基线掉过头，相位变号，可见度也变成原来的复共轭。

$$
V(u,v)=F e^{-2\pi i(ul+vm)}=F\cos\phi-iF\sin\phi,\qquad \phi=2\pi(ul+vm)
$$

相量的长度等于点源通量密度，朝向记录点源相对跟踪原点的位置。中心点源在每条基线上都是零相位。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis

## 平均以后，为什么可以直接把亮度相加

远处不同发光区域的电场独立起伏。把电场相关并取足够长的平均时，不同区域之间的交叉项消失了。每一小块天空，只留下自己的亮度乘一个相位因子。把所有小块加起来，就得到积分。

令 $I(l,m)$ 为每球面度的谱亮度，单位是央斯基每球面度。小视场里，立体角元近似为 $dl\,dm$。亮度对角度积分以后，可见度的单位就是央斯基。一个央斯基等于 $10^{-26}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}}$。

$$
V(u,v)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm,\qquad V(0,0)=F_{\mathrm{total}}
$$

零基线没有相位差，把所有光直接相加，测得总通量。公式把小视场内的天线主波束视为常数，并忽略宽视场中的非共面项。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

## 用一个点检查符号，用两个点测量尺度

原点以东 $10\,\mu\mathrm{as}$ 放一个 $0.60\,\mathrm{Jy}$ 点源，基线纯东西向，长 $3.00\,\mathrm{G}\lambda$。一微角秒是 $4.8481368\times10^{-12}\,\mathrm{rad}$，代入得到相位约 $-0.914\,\mathrm{rad}$，即 $-52.4^{\circ}$。振幅仍为 $0.60\,\mathrm{Jy}$。点源移动，即使振幅不变，相位也能告诉我们。

再把两个等亮点放在 $+\theta$ 和 $-\theta$，总通量为 $F$。两个相量共轭，虚部抵消，实部相加为余弦。第一个零点出现在 $u=1/(4\theta)$。若 $\theta=15\,\mu\mathrm{as}$，零点约为 $3.44\,\mathrm{G}\lambda$；在当前波长下，对应约 $4470\,\mathrm{km}$。

$$
V(u,0)=\frac F2e^{-2\pi iu\theta}+\frac F2e^{2\pi iu\theta}=F\cos(2\pi u\theta)
$$

零点来自两个点的信号相消。越过零点，实可见度变成负数，振幅则取其绝对值。光源的总通量没有消失。

## 换成像素时，别多乘一次面积

令 $x_p$ 表示已经积进第 $p$ 个像素的通量，单位是央斯基每像素。前向计算直接把各像素通量乘相量后相加，不能再乘像素面积。如果保存的是每球面度亮度，才需要给每一项补上立体角。

浏览器默认用 $24\times24$ 个像素表示边长 $120\,\mu\mathrm{as}$ 的天空，像素中心间距 $5\,\mu\mathrm{as}$。源先在这张网格上取值，再缩放到总通量 $0.600\,\mathrm{Jy}$。其中的星盘是有限像素星盘，算出的精确离散可见度与连续圆盘解析式会有差别。

$$
V_k=\sum_p x_p\exp[-2\pi i(u_kl_p+v_km_p)],\qquad \sum_p x_p=F_{\mathrm{total}}
$$

网格保存通量。生成合成观测和预测候选图像信号时，都使用这个离散算子。

## 成像前先做三次简单检查

先把所有光放到中心一点：每条可见度都应等于总通量，虚部为零。然后把点向东挪：向东的正基线应得到上面算过的负相位。最后把所有基线反向：每个预测值都应变成复共轭。

共轭关系来自天空亮度为实数。把 $(u,v)$ 与 $(-u,-v)$ 配对能让图像为实数，但反向点没有增加独立观测。下一章会区分这种配对与地球自转带来的新基线。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis

固定的合成默认结果与计算方法

四个球形地球站点，三小时内九个时角，波长 1.3 毫米。精确离散傅里叶和生成无随机噪声的有限像素源。两种九十步约束反演都读取独立理想点源标定和总功率观测。

| 像素网格与视场 | $24\times24,\quad120\,\mu\mathrm{as}$ |
| --- | --- |
| 中央格林尼治时角 | $H=105^{\circ}$ |
| 总通量 | $F=0.600\,\mathrm{Jy}$ |
| 独立复样本数 | 54 |
| 第一组有向闭合相位 | $0.287631^{circ}$ |
| 平滑偏好信号均方根残差 | $7.0408,mathrm{mJy}$ |
| 集中偏好信号均方根残差 | $5.9340,mathrm{mJy}$ |

完整站点坐标、采样信号和重建保存于 default-synthetic-record.json；六个预设结果见 model-benchmarks.json。图像像素单位为央斯基每像素，脏图使用央斯基每单位峰值波束。

## [预测一个有限光源怎样被分辨](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-interferometer/)

1. 选“分辨星盘”，先看阵列采到了哪些空间频率。
2. 把一台望远镜向其他站点外侧拖，比较脏波束和重建星盘的变化。
3. 解释波束中最小的细节与收集到多少通量分别回答什么问题。

## 练习与解释性答案

1. 光源向北平移十微角秒，纯东西向基线上的可见度会怎样？

   展开解释

   在当前小视场模型里保持不变。纯东西基线的北向空间频率为零，相位里没有北坐标。需要一条带南北分量的基线，才能读到这次移动。

2. 程序把“每像素通量”又乘了一次像素立体角。把网格加密，会发生什么？

   展开解释

   每个像素已经包含它分到的那份通量。再乘一次面积，像素越小，可见度就越接近零。检查零基线是否仍等于总通量，就能马上发现错误。

3. 等亮双点位于 $\pm15\,\mu\mathrm{as}$。把第一零点对应的基线再加倍，会测到什么？

   展开解释

   余弦的自变量从 $\pi/2$ 变为 $\pi$，可见度为 $-F$。振幅重新达到 $F$，相位为 $\pi$。只看振幅，会丢掉这个符号。

[上一篇：分散的望远镜怎样拼出图像](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/how-scattered-telescopes-make-an-image/) [下一篇：地球自转与闭合相位](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/earth-rotation-and-closure-phase/)

## 来源与计算范围

1. [NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis](https://www.cv.nrao.edu/~sransom/web/Ch3.html)

   小视场傅里叶关系与地球自转综合，重点为式 3.180–3.200。浏览器采用球形地球、单一波长和有限像素天空。

2. [EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1](https://arxiv.org/abs/1906.11241v1)

   固定为 2019 成像论文的 v1，DOI 10.3847/2041-8213/ab0e85。阅读图 1、3、5、7，站点增益式 7、正则成像式 14 及附录 A。本页链接原图，不另行复制论文图片。