--- title: "拟合一个真实 EHT 闭合三角形" description: "从固定版本 M87 数据重算闭合相位，再用多个源模型拟合同样的三条振幅和一个角度。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/fit-a-real-eht-closure-triangle/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/interferometric-imaging/fit-a-real-eht-closure-triangle/" last_modified: "2026-10-28" --- [从电波延迟走到 EHT 干涉成像](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/) AC05 · Tutorial # 拟合一个真实 EHT 闭合三角形 Sandbox Physics · 2026-10-28 打开 EHT 数据产品 2019-D01-01，固定在提交 27ae76aacb9067a83388395c3826012b97aac371。取同一时刻的三条 M87 观测，算出有方向的闭合相位，再用一个小型经验模型族拟合振幅与闭合相位。几种差别明显的形状都会拟合得很好，一个三角形到底提供多少信息，就会变得很具体。 ## 开始前需要什么 需要复数乘法和加权最小二乘。配套 Python 程序只用标准库，读取本页文件包里的固定 CSV。L1–L3 解释符号、单位、闭合相位和成像背景。 ## 先固定观测，再开始拟合 文件 SR1\_M87\_2017\_100\_lo\_hops\_netcal\_StokesI.csv 保存 2017 年 4 月 10 日 M87 的真实 EHT-HOPS SR1 Stokes I 观测，采用低频段，文件头中心频率为 227.0707 GHz。“网络标定”是数据发布时经历的一步处理，并不表示各站残余大气相位已经变成已知天空相位。 原始文件为 194347 字节。程序先检查固定源文件的 SHA-256，再检查摘出的三行是否逐字节等于原文件第 1272、1274、1283 行，同时保留两行文件头。三条记录都是 UTC 04.90972209 小时。数据仓库以 PDDL 1.0 发布这些测量，教程读取器和拟合程序独立编写。 ``` python3 fit-eht-triangle.py --data-dir . --output reproduced-eht.json # 比较 reproduced-eht.json 与 eht-triangle-results.json # 原始 CSV 的 SHA-256： # 1dc51e3e31a840ec34de5b5ff4d8a6af0cbb73cd8c6db85e917366ed3ec7924a # 三行摘录的 SHA-256： # 62ffea8dadaae26aa7fb3788c0456c4625d0e13eaad61e57529ba20311d86502 ``` 对应阅读：EHT 2019-D01-01 M87 data release, pinned commit 27ae76a ## 读清同一时刻的三个站点 AA 是 ALMA，AZ 是亚利桑那的亚毫米望远镜，LM 是墨西哥的大毫米望远镜。下面各列依次为 UTC 小时、第一站、第二站、东向空间频率、北向空间频率、振幅、相位和热噪声振幅不确定度。空间频率已经用波长表示，振幅和不确定度为央斯基，相位用度。 发布者依次保存 AA 到 AZ、AA 到 LM、AZ 到 LM。要沿 AA 到 AZ 到 LM 再回 AA，就得把 AA 到 LM 反向，取复共轭：振幅不变，相位变号。导出的空间频率相加只差几千个波长，远小于十亿波长的基线。保留这点舍入差，不必修改原始数值。 ``` 04.90972209,AA,AZ,3028965632.0000,-4496652800.0000,0.10473071,179.9880,0.00501226 04.90972209,AA,LM,2296739584.0000,-3319742720.0000,0.07996017,59.4402,0.00309308 04.90972209,AZ,LM,-732228224.0000,1176914944.0000,0.51672293,-62.7827,0.04022401 ``` 对应阅读：EHT 2019-D01-01 M87 data release, pinned commit 27ae76a · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1 ## 计算相位和热噪声近似 把 AA–AZ 与 AZ–LM 相位相加，再减去保存的 AA–LM 相位，折回一个周期，得到 $57.7651^{\circ}$。程序还独立构造三个复数，取有向乘积的辐角，两个算法给出相同结果。 信噪比较高时，一点垂直于信号的复噪声，会带来大约“噪声除以振幅”的相位扰动。假设三条热误差独立，把相位方差相加。这里最低振幅信噪比为 $12.85$，闭合相位不确定度约 $5.68545^{\circ}$。这项估计没有纳入振幅标定误差、相关误差和不能闭合的系统效应。 $$ \Phi=\operatorname{wrap}(179.9880^{\circ}-62.7827^{\circ}-59.4402^{\circ})=57.7651^{\circ} $$ 最后一项取减号，因为三角形经过这条边的方向相反，与它本身正负无关。 $$ \sigma_\Phi\simeq\left[\sum_{e=1}^3\left(\frac{\sigma_e}{A_e}\right)^2\right]^{1/2}=0.09923\,\mathrm{rad} $$ 传播误差时先用弧度，最后再换成度。这是当前一个三角形的高信噪比热噪声近似。 对应阅读：EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1 ## 选一个能表示不对称的经验模型族 用两个圆高斯分量，半高全宽都为 $w$。主分量放原点，次分量与主分量通量比为 $r$，位移为 $(d_l,d_m)$。两者间距记为 $d$，角度 $\psi$ 从东向北量。高斯标准差 $s=w/\sqrt{8\ln2}$，换成弧度后放进指数。 归一化圆高斯的傅里叶变换仍是高斯。给双分量相量乘上这个包络，便得到下式。总通量 $F$ 乘所有振幅，却从闭合相位里抵消。整体位置也不能由闭合相位测出，故把主分量固定在原点，省去这里无法辨认的平移。 $$ V(u,v)=F e^{-2\pi^2s^2(u^2+v^2)}\frac{1+r e^{-2\pi i(ud_l+vd_m)}}{1+r},\qquad(d_l,d_m)=d(\cos\psi,\sin\psi) $$ 共有五个拟合量：间距、方向角、通量比、共同宽度和总通量。它是用来考察信息量的经验模型，不据此断言 M87 真的由两个这样的发光体组成。 对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis ## 通量先解析求解，再搜索形状 给定一个候选形状，用 $q_e$ 表示第 $e$ 条边在单位总通量下的可见度振幅。振幅残差是 $A_e-Fq_e$。除以 $\sigma_e$、平方、求和，对 $F$ 求导，便得到一条线性方程和下面的加权解。数值搜索只需要处理四个形状参数。 程序先搜索十到一百微角秒的间距、每五度一个方向、六种通量比和五种初始宽度。选出八个彼此分开的起点，再逐次缩小坐标步长。输出保存了搜索设置，可以原样重跑。有限搜索足以展示多个好解，不保证找到全局最优。 $$ \widehat F=\frac{\sum_e A_eq_e/\sigma_e^2}{\sum_e q_e^2/\sigma_e^2} $$ 候选信号非零时，分母为正。这个通量随当前源模型一起拟合；独立零基线测量会提供另一项信息。 $$ Q=\sum_e\frac{(A_e-\widehat Fq_e)^2}{\sigma_e^2}+\frac{\operatorname{wrap}(\Phi_{\mathrm{model}}-\Phi_{\mathrm{obs}})^2}{\sigma_\Phi^2} $$ 相位差要先折回一周，避免把周期两端本来很近的角度当成很远。目标值采用上面明确说明的近似热误差。 ## 比较真正保存下来的拟合结果 一个细化结果的间距为 $60.16\,\mu\mathrm{as}$，方向 $240.00^{\circ}$，通量比 $0.596$，宽度 $23.56\,\mu\mathrm{as}$，总通量 $0.67307\,\mathrm{Jy}$。按原始行顺序，预测振幅为 $(0.104679,0.080008,0.516147)\,\mathrm{Jy}$，闭合相位 $57.7359^{\circ}$，近似目标值 $0.000575$。 另一个解的间距却是 $97.44\,\mu\mathrm{as}$，方向 $230.00^{\circ}$，通量比 $0.592$，宽度 $24.24\,\mu\mathrm{as}$。目标值仍只有 $0.000681$。两者都远比热误差要求得更贴近观测。三条振幅加一个闭合角，却拟合五个自由量，小残差当然会留下很多选择。 若强制闭合相位为零，仅相位一项便约为 $103.2$。这个角确实携带很强的不对称信息，同时容许许多不同的不对称形状。这里不报告约化卡方，因为模型参数数目已经超过四项数据条件。 ## 把实测三角形与合成成像分清楚 实测计算没有把发布的原始站点相位直接做逆变换，再宣称那就是天空图像。它拟合的是能避开未知站点相位的振幅和有向闭合相位。真正的二维成像还需要更多三角形、更多标定信息，并处理测量之间共用的误差。 交互阵列则采用已知的有限像素合成天空，另外保存独立理想标定源和总功率值。这个受控实验允许我们比较脏图、两种正则化反演以及单独保存的已知源。两部分相互补充：一部分读懂发布者实际测到了什么，另一部分在真值已知时研究稀疏采样怎样影响重建。 对应阅读：EHT 2019-D01-01 M87 data release, pinned commit 27ae76a · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1 ## 换一个三角形时，留下哪些东西 保存发布版本、原始行、站点顺序、时间定义、频率和误差列。先画有向路径，再加相位；确认三条边来自同次积分，按明确的误差模型传播不确定度。比较不止一种候选形状，并把预测信号与拟合参数一起保存。下一条基线就能检验这些候选到底在哪里不同。 ## [重现实测与理想标定之间的区别](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-interferometer/) 1. 选“加入大气相位误差”，比较原始脏图与独立标定后的脏图。 2. 确认闭合相位仍与“交叉基线”相同。 3. 导出合成记录，找到独立标定源与总通量字段，再说明真实三行摘录没有提供其中哪些输入。 ## 练习与解释性答案 1. 若把 AA–LM 相位也相加，会得到什么？ 展开解释 结果是 $176.6455^{\circ}$，它不再抵消站点相位。先写出 AA 到 AZ 到 LM 再回 AA 的路径，取不取共轭由这条路径决定。 2. 拟合已经极其精确，为什么间距仍然不确定？ 展开解释 当前模型的自由量多于一个三角形提供的条件。间距、方向、通量比和宽度可以在这三处频率上彼此补偿。要把这些候选分开，还需要测量新的频率。 ## 保存的输入与脚本 - [可直接重跑的 Python 标准库脚本](https://sandboxphysics.com/tutorials/interferometric-imaging/materials.zip) - [运行说明、固定 EHT CSV 与原样三角形摘录](https://sandboxphysics.com/tutorials/interferometric-imaging/README.md) - [固定输出、校验和与模型说明](https://sandboxphysics.com/tutorials/interferometric-imaging/manifest.json) [上一篇：脏波束与不唯一的图像](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/dirty-beams-and-nonunique-images/) [下一篇：读懂 EHT 成像与动态重建的偏好](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/read-eht-imaging-and-dynamic-priors/) ## 来源与计算范围 1. [NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis](https://www.cv.nrao.edu/~sransom/web/Ch3.html) 小视场傅里叶关系与地球自转综合，重点为式 3.180–3.200。浏览器采用球形地球、单一波长和有限像素天空。 2. [EHT 2019-D01-01 M87 data release, pinned commit 27ae76a](https://github.com/eventhorizontelescope/2019-D01-01/tree/27ae76aacb9067a83388395c3826012b97aac371) 实测数据为 2017 年 4 月 10 日 EHT-HOPS SR1 网络标定后的 Stokes I，低频段中心频率 227.0707 GHz。教程保留发布者 CSV，并选取同时刻 AA–AZ–LM 三角形。数据采用 PDDL 1.0。 3. [EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1](https://arxiv.org/abs/1906.11241v1) 固定为 2019 成像论文的 v1，DOI 10.3847/2041-8213/ab0e85。阅读图 1、3、5、7，站点增益式 7、正则成像式 14 及附录 A。本页链接原图，不另行复制论文图片。