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title: "脏波束与不唯一的图像"
description: "推导脏图与波束，分清每波束通量和每像素通量，再用两种明确偏好重建同一组观测。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/interferometric-imaging/dirty-beams-and-nonunique-images/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从电波延迟走到 EHT 干涉成像](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/)

AC05 · L3

# 脏波束与不唯一的图像

Sandbox Physics · 2026-10-28

稀疏观测通常允许不止一幅天空图像。脏波束告诉我们，缺失的空间频率怎样把每个亮点拖散；正则化重建则在能预测接近信号的正亮度图像中作选择。两步都可以从保存的可见度算起，额外偏好放在哪里也能说清楚。

## 开始前需要什么

沿用 L1 的离散傅里叶模型和 L2 的采样几何。需要微分、矩阵记号与最小二乘。浏览器反演读取独立理想标定后的复信号，后面的实测教程使用振幅与闭合相位。

## 把测得的波朝每个像素加回去

令 $N$ 为独立复样本数量，$y_k$ 为标定后的可见度，$(l,m)$ 为试探的天空位置。给每条信号乘回相反相位，再对实部取平均。试探位置碰到一个亮点时，各条贡献容易对齐；其他位置则部分抵消。这样得到脏图 $D$。

把所有可见度都换成一，再做同样的和，就得到脏波束。它是原点处单位点源的响应。把前向模型代入脏图公式，可以看到：每个真实亮点都变成一份移位后的波束。采样之间的空隙，便化为波束中的旁瓣，其中也有负旁瓣。

$$
D(l,m)=\frac1N\sum_k\operatorname{Re}\!\left[y_k e^{2\pi i(u_kl+v_km)}\right],\qquad B(l,m)=\frac1N\sum_k\cos[2\pi(u_kl+v_km)]
$$

采用均匀权重，除以样本数后，原点的波束值等于一。若把共轭样本也明确加入，权重随样本翻倍，得到同一个实结果。

$$
D(l,m)=\sum_p x_p B(l-l_p,m-m_p)
$$

每个源像素的通量，乘一份平移后的脏波束，再全部相加。这说明脏图为什么带着阵列自己的模糊图案。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

## 每波束与每像素，数值含义不同

中心 $0.60\,\mathrm{Jy}$ 点源的脏图峰值是 $0.60\,\mathrm{Jy}$ 每单位峰值波束。把脏图所有像素直接相加，通常得不回 $0.60\,\mathrm{Jy}$：旁瓣和显示窗口都会影响这个和。重建图则为每个像素保存一份通量，像素通量之和被限制为独立测得的总通量。

默认网格边长为偶数，原点位于四个像素之间。连续波束满足 $B(0,0)=1$，采样在像素中心的峰值却可能略低。每幅显示图各用自己的峰值拉伸颜色，并打印该峰值。比较时要同时看形状和单位，相同颜色未必代表相同强度。

## 亲手构造两幅信号完全相同的天空

假设所有基线都满足 $v=0$。把一个点向北移动，东西坐标和通量不变，前向求和里的每个指数都不变。两个北坐标不同的正亮度图像，便给出完全相同的无噪声观测。继续加长东西基线，也分不开这一次移动。

默认 $24\times24$ 图像含 $576$ 个实像素通量。五十四条复观测最多给出 $108$ 条实线性方程；独立总通量再加一条。非负条件能缩小候选范围，但稀疏采样仍留下很多方向，沿着它们改变像素，信号变化很小，甚至完全不变。

缺少短基线时，延展辐射尤其容易漏掉。一个宽而平滑的成分可以带着很多总通量，却在长基线频率上贡献很少。补上总通量有帮助，重建仍要把它分配到那些尚未分清的低频结构里。

对应阅读：NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis · EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

## 明确写出两种重建各自喜欢什么

把离散傅里叶算子记为 $A$，像素通量向量记为 $x$。最小化平均复信号残差平方，再加正则项 $R$，同时要求像素非负、通量和等于独立测量。正则项就是观测留有选择时，程序用来选图像的偏好。

平滑选项惩罚上下左右相邻像素之差，每对邻居只数一次。集中选项加入半径加权通量，再加一小项像素平方。$\rho_p$ 为像素到中心的距离，以整个视场宽度为单位。下面的系数与浏览器完全相同，通量统一用央斯基。

$$
J(x)=\frac1{2N}\sum_k|(Ax)_k-y_k|^2+R(x),\qquad x_p\geq0,\quad\sum_px_p=F_{\mathrm{total}}
$$

数据项单位为央斯基平方。保存的合成信号没有加入随机噪声；每条复样本的五毫央斯基只作参考不确定度，本式没有再用它加权。

$$
R_{\mathrm{smooth}}=\frac{0.05}{2}\sum_{\langle p,q\rangle}(x_p-x_q)^2
$$

邻居差让快速的像素起伏代价更高。即使更细的结构也能预测观测，程序仍可能偏好较宽的结构。

$$
R_{\mathrm{compact}}=(0.004\,\mathrm{Jy})\sum_p\rho_p^2x_p+\frac{0.03}{2}\sum_px_p^2
$$

第一项偏好靠近中心的辐射，第二项不鼓励把通量全塞进极少数像素。它们与邻居平滑是不同选择。

对应阅读：EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1

## 推导同时保留非负和总通量的一步

对实像素微扰求导，复残差平方给出 $\operatorname{Re}[A^*(Ax-y)]/N$。加上正则项梯度，先沿下坡方向走一步，再投影回非负且总通量固定的单纯形。投影的做法是减去同一个阈值，把负值截到零，并调整阈值，让剩余通量恰好为 $F_{\mathrm{total}}$。

为什么每个像素减同一个阈值？把试探向量与允许图像的平方距离最小化，再为通量和加入一个拉格朗日乘子。对未碰到零边界的像素求导，得到同一个平移量；本来会变负的像素停在零。将试探值排序，就能找出哪些像素仍为正，并算出阈值。

程序做九十步加速投影梯度。回溯检查局部二次模型是否盖住试探目标值；若完整目标上升，便重启加速动量。这是有限次计算。除了看图片，也要看目标历史和预测信号残差。增加迭代次数与改变正则项，回答的是不同问题。

$$
x^{\mathrm{next}}=\Pi\!\left(x-\eta\nabla J(x)\right),\qquad [\Pi(z)]_p=\max(0,z_p-\tau),\quad \sum_p\max(0,z_p-\tau)=F_{\mathrm{total}}
$$

这个投影把两项条件同时满足。先截负值，再把正值按比例归一化，通常会得到另一个结果。

## 先读固定的默认结果，再改条件

固定默认值含五十四条样本、三小时观测、$0.600\,\mathrm{Jy}$ 总通量，以及有限像素双分量源。九十步以后，平滑重建的复信号均方根残差为 $7.041\,\mathrm{mJy}$，集中偏好为 $5.934\,\mathrm{mJy}$。这里对复数模长平方取平均再开方，衡量的是信号误差，不是图像每个像素的误差。

无噪声数据仍有非零残差，来自有限迭代和明确加入的偏好，不是估计出的天体噪声。两种反演都只读取已标定信号、网格和独立总通量；源参考只送到单独标记的参考图。导出观测后，即使不再运行光源生成器，也能重算这两幅图。

$$
\mathrm{RMS}_{V}=\sqrt{\frac1N\sum_k|(Ax)_k-y_k|^2}
$$

信号残差较小，不能单独保证每个图像细节正确。还要换偏好比较，并在相同采样下检验已知模拟源能恢复到什么程度。

固定的合成默认结果与计算方法

四个球形地球站点，三小时内九个时角，波长 1.3 毫米。精确离散傅里叶和生成无随机噪声的有限像素源。两种九十步约束反演都读取独立理想点源标定和总功率观测。

| 像素网格与视场 | $24\times24,\quad120\,\mu\mathrm{as}$ |
| --- | --- |
| 中央格林尼治时角 | $H=105^{\circ}$ |
| 总通量 | $F=0.600\,\mathrm{Jy}$ |
| 独立复样本数 | 54 |
| 第一组有向闭合相位 | $0.287631^{circ}$ |
| 平滑偏好信号均方根残差 | $7.0408,mathrm{mJy}$ |
| 集中偏好信号均方根残差 | $5.9340,mathrm{mJy}$ |

完整站点坐标、采样信号和重建保存于 default-synthetic-record.json；六个预设结果见 model-benchmarks.json。图像像素单位为央斯基每像素，脏图使用央斯基每单位峰值波束。

## [看偏好怎样补上没测到的方向](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-interferometer/)

1. 选“基线挤在一个方向”，先预测脏波束会沿哪个方向拉长，再看结果。
2. 展开光源和另一种偏好的比较，结合打印峰值与信号残差，比较平滑和集中图像。
3. 改成“让地球转起来”，描述增加观测方向后，哪些分歧缩小了。

## 练习与解释性答案

1. 脏图出现负亮斑，正亮度重建也必须放入负通量吗？

   展开解释

   不需要。正点源与带负旁瓣的脏波束卷积，本来就会出现负值。正亮度源仍能预测这些观测。比较脏波束，有助于认出采样造成的影子。

2. 两幅重建残差接近，南北宽度却不同。补什么观测最有帮助？

   展开解释

   寻找带北向投影的基线，尤其是两幅图预测值明显不同的频率。反复测一条对南北宽度不敏感的东西基线，能提高那一点的精度，却不能直接区分这两个候选形状。

3. 把方法搬到一个带微弱宽晕、且晕超出当前视场的源。相信紧致通量以前，应改什么？

   展开解释

   扩大建模视场，加入能响应宽晕的短基线或总功率信息。否则固定通量条件可能把延展辐射硬塞进紧致像素。换几个视场大小重算，并比较最短基线上的预测。

[上一篇：地球自转与闭合相位](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/earth-rotation-and-closure-phase/) [下一篇：拟合一个真实 EHT 闭合三角形](https://sandboxphysics.com/zh/stories/interferometric-imaging/fit-a-real-eht-closure-triangle/)

## 来源与计算范围

1. [NRAO Essential Radio Astronomy, Chapter 3, aperture synthesis](https://www.cv.nrao.edu/~sransom/web/Ch3.html)

   小视场傅里叶关系与地球自转综合，重点为式 3.180–3.200。浏览器采用球形地球、单一波长和有限像素天空。

2. [EHT Collaboration, First M87 Results IV, arXiv:1906.11241v1](https://arxiv.org/abs/1906.11241v1)

   固定为 2019 成像论文的 v1，DOI 10.3847/2041-8213/ab0e85。阅读图 1、3、5、7，站点增益式 7、正则成像式 14 及附录 A。本页链接原图，不另行复制论文图片。