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title: "被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化"
description: "把涨落固定的共动波数和不断增大的 aH 相比，找出它离开视界的时刻，再说明曲率涨落为何从此保持不变。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/why-a-stretched-ripple-stops-changing/"
last_modified: "2026-11-12"
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[从量子涨落到宇宙纹理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/)

# 被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化

Sandbox Physics · 2026-11-12

这一章把“冻结”的图像变成三句可以检验的话：暴胀就是共动 Hubble 半径缩小的时期；模式在波数等于 $aH$ 时离开视界；离开之后，单场模型的曲率涨落保持不变。

## 开始前需要什么

需要指数、对数和一次求导。取 {{c=1}}，撇号表示对 e 倍数 {{N=\\ln a}} 求导。

## 比较两个长度

用随空间一起膨胀的共动坐标标记各点。这样，一个涨落的共动波数 $k$ 始终不变，而它的物理波长 $2\pi a/k$ 随尺度因子 $a$ 增长。

Hubble 长度 $1/H$，是膨胀让两点以光速分开时的距离。比它近得多的两点，在一个膨胀时间内还能互通信号。再除以 $a$，就得到共动 Hubble 半径 $1/(aH)$，用来衡量共动涨落。

于是问题归结为比较 $k$ 和 $aH$：$k\gg aH$ 时模式在视界内，$k\ll aH$ 时在视界外。

$$
\lambda_{\mathrm{phys}}=\frac{2\pi a}{k},\qquad \frac{k}{aH}\gtrless 1
$$

物理波长随 $a$ 增长；模式在视界内还是视界外，只看比值 $k/(aH)$。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

## 暴胀就是共动 Hubble 半径在缩小

因为 $aH=\dot a$，共动 Hubble 半径缩小，恰好等价于 $\ddot a>0$。加速膨胀和 $1/(aH)$ 缩小，说的是同一件事。

改用 e 倍数作时间会更清楚。引入 Hubble 慢滚参数 $\epsilon=-\dot H/H^2$，$aH$ 每个 e 倍数的增长率就是 $1-\epsilon$。暴胀即 $\epsilon<1$，我们把 $\epsilon=1$ 的时刻定为暴胀结束。在 Lab 的高原上，主尺度离开视界时 $\epsilon$ 只有约 $2\times10^{-4}$。

$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{aH}\right)=-\frac{\ddot a}{\dot a^{2}},\qquad \frac{d\ln(aH)}{dN}=1-\epsilon
$$

前一式把缩小和加速联系起来，后一式给出以 e 倍数计的变化率。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

## 数一数离开视界要几个 e 倍数

模式在 $k=aH$ 时离开视界，两个模式离开的时间相差 $\int(1-\epsilon)\,dN=\ln(k_2/k_1)$。$\epsilon$ 很小时，间隔的 e 倍数就是波数比的对数。

算例：Lab 跟踪 $0.002$、$0.01$ 和 $0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 三个模式，预计间隔为 $\ln 5\approx1.61$ 和 $\ln 25\approx3.22$ 个 e 倍数。计算图中，三条点线分别在结束前约 $58.2$、$56.6$ 和 $55.0$ 个 e 倍数处，与预计一致。

要把模型和真实距离对上，还需要一个约定：$k_*=0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 离开视界时，暴胀还剩 $N_*$ 个 e 倍数。默认 $N_*=55$。改变 $N_*$，所有观测尺度都会沿着势能整体滑动。

![三个算出的曲率模式在视界内缩小、离开视界后变平，旁边是不断增大的共动 Hubble 波数](https://sandboxphysics.com/_astro/freezing.Da1MGV-H.svg)

自有计算：平滑 $R^2$ 高原，$N_*=55$。左或上：三个复模式函数的大小 $|\mathcal{R}_k|$，除以各自的最终值，点线标出 $k=aH$。右或下：以 $\mathrm{Mpc}^{-1}$ 为单位的 $aH$ 不断上升，固定波数保持水平，两线相交处就是该模式离开视界的时刻。这是模型输出，不是观测数据。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/freezing.Da1MGV-H.svg)

对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

## 视界之内：幅度不断减小的波

在视界深处，引力在一个波长的范围里几乎不起作用。组合量 $v=z\mathcal{R}$（$z=a\phi'$）这时就像一列自由波，幅度固定为 $1/\sqrt{2k}$。

由于 $z$ 几乎和 $a$ 一样增长，曲率涨落 $|\mathcal{R}_k|$ 就按 $1/a$ 减小，每个 e 倍数缩小为原来的 $1/e$。图中每个模式都从 $k/aH=100$ 开始，之后 $4.6$ 个 e 倍数里幅度缩小约 $100$ 倍，正如 $e^{4.6}\approx100$ 所预期。

对应阅读：Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

## 视界之外：涨落为什么保持不变

下一章的模式方程可以写成下面这种“通量守恒”的形式。一旦 $k/aH\ll1$，右边可以忽略，于是 $z^2aH\,\mathcal{R}'$ 是常数。

这样 $\mathcal{R}'\propto1/(z^2aH)$。代入 $z^2=2a^2\epsilon$，在 $H$ 和 $\epsilon$ 缓慢变化时，它按 $e^{-3N}$ 衰减。两个解中一个是常数，另一个几个 e 倍数内就消失了。剩下的常数就是冻结值。

这个结论依赖“只有一个场”。PDG 2025 指出，有多个场时，非绝热涨落可以让视界外的曲率扰动继续变化。

$$
\frac{d}{dN}\left(z^{2}aH\,\mathcal{R}'\right)=-\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}z^{2}aH\,\mathcal{R},\qquad z=a\phi'
$$

取约化 Planck 质量 $M_{\mathrm{pl}}=1$。视界外右边可以忽略，左边的通量保持不变。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

## 冻结不等于什么

冻结固定的是每个模式的幅度，而不是一个可以预言的具体数值。每个冻结下来的涨落，都是从量子态里随机抽出的一次结果。理论能预言它的方差，也就是功率谱 $\mathcal{P}_{\mathcal{R}}(k)$。Lab 里的纹理图，就是这样的一次随机抽样。

暴胀结束后，模式会重新进入不断变大的视界，再次开始演化，变成微波背景里的声学图样和结构的种子。那一段演化需要转移函数，这里没有建模。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

## 练习与解释性答案

1. 设 $\epsilon=0.01$ 保持不变。两个模式的波数相差 $25$ 倍，它们离开视界相隔多少个 e 倍数？

   展开解释

   由离开条件得 $(1-\epsilon)\,\Delta N=\ln25$，所以 $\Delta N=3.219/0.99\approx3.25$。较小的 $\epsilon$ 只把间隔拉长了百分之一。

2. 积分器让每个模式从 $k/aH=100$ 开始，到 $k/aH=10^{-3}$ 时读数。在高原上，一个模式要走多少个 e 倍数？

   展开解释

   比值变化 $10^5$ 倍，所以 $\Delta N\approx\ln10^5/(1-\epsilon)\approx11.5$。计算量主要花在前一段，那时模式还在振荡。

3. 在视界外，若 $H$ 和 $\epsilon$ 不变，衰减部分 $\mathcal{R}'$ 两个 e 倍数后缩小为原来的几分之几？

   展开解释

   $\mathcal{R}'\propto e^{-3N}$，所以缩小为 $e^{-6}\approx2.5\times10^{-3}$。几个 e 倍数之后，只剩下常数解。

## 动手检验预测

### [在 Lab 里读出离开视界的时刻](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inflation-mode-freezing/)

1. 暂停 Lab，把时间滑块拖到 $58.2$。势能面板上，最长那个跟踪模式的虚线正好碰到小球。
2. 继续拖到 $55$。主尺度在这里离开视界，它在模式冻结图里的曲线大约两个 e 倍数内变平。
3. 把“主尺度离开视界后的 e 倍数”从 $55$ 调到 $46$，看所有离开线怎样沿势能滑动。

[上一篇：一个量子涨落怎样长成宇宙结构](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/how-a-quantum-ripple-becomes-cosmic-structure/) [下一篇：推导算出原初谱所用的模式方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/)

## 来源与计算范围

1. [Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2](https://arxiv.org/abs/1807.06211v2)

   核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。

2. [Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-inflation.pdf)

   通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。

3. [Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0102236v2)

   通读 v2。式1给出我们采用的 tanh 台阶；式6至19给出以 e 倍数为时间的模式方程与初值。我们的代码独立编写，台阶加在 Starobinsky 高原和二次势上，不只是原文的二次势情形。

4. [Original background and mode calculations with an independent Python reference](https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/materials/inflation-spectrum-recompute-v1.zip)

   自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。

## 继续阅读

从量子涨落到宇宙纹理 · 阅读路径

### 离开视界、模式方程与谱的限制

1. [文章 **一个量子涨落怎样长成宇宙结构**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/how-a-quantum-ripple-becomes-cosmic-structure/)
2. [当前页面 **被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/why-a-stretched-ripple-stops-changing/)
3. [文章 **推导算出原初谱所用的模式方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/)
4. [文章 **谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/what-tilt-tensors-and-squeezed-triangles-measure/)
5. [文章 **复算一条原初谱，并检验求解器**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/)
6. [文章 **怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/read-feature-and-non-gaussianity-searches/)