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title: "谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么"
description: "推导谱指数和张量标量比，用 Planck 与 PDG 的限制检验两种势能，并说明单场挤压极限的非高斯性为何极小。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[从量子涨落到宇宙纹理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/)

# 谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么

Sandbox Physics · 2026-11-12

观测对单场暴胀的约束，大部分落在三个数上：谱指数 $n_s$、张量标量比 $r$，以及挤压极限下的三点函数幅度。本章逐个推导，把 Lab 的数值结果和慢滚估计对照，再说明它们各自面对哪些已发表的限制。

## 开始前需要什么

先读“模式方程”一章，需要熟悉对数导数和 Fourier 模式。

## 谱指数衡量冻结条件变化得多快

定义 $n_s-1=d\ln\mathcal{P}_{\mathcal{R}}/d\ln k$。每个 $k$ 在 $k=aH$ 时冻结，此处 $d\ln k=(1-\epsilon)\,dN$，因此谱指数衡量的是 $H^2/\epsilon$ 每个 e 倍数变化多快。按势能慢滚参数取最低阶，得到下式。

高原上的算例，$\phi_*=5.3213$：$\epsilon_V=2.30\times10^{-4}$，$\eta_V=V_{,\phi\phi}/V=-0.0173$，于是 $n_s\approx1-0.0360=0.9640$。数值谱在 $0.049$ 与 $0.051\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 之间差分，得到 $0.96490$。这里最低阶近似的精度约为 $10^{-3}$。

$$
n_s-1\equiv\frac{d\ln\mathcal{P}_{\mathcal{R}}}{d\ln k}\simeq2\eta_V-6\epsilon_V,\qquad \epsilon_V=\frac12\left(\frac{V_{,\phi}}{V}\right)^{2},\quad \eta_V=\frac{V_{,\phi\phi}}{V}
$$

最低阶慢滚谱指数，在模式离开视界处取值。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Original background and mode calculations with an independent Python reference

## 两种势能，两套预言

对 $R^2$ 高原，Planck 2018 X 的式48给出最低阶结果 $n_s-1\simeq-2/N$、$r\simeq12/N^2$。$N_*=55$ 时分别为 $0.9636$ 和 $0.00397$；完整计算给出 $0.9649$ 和 $0.00355$。这两个公式只到 $1/N$ 的最低阶，而且我们的 $N$ 数到 $\epsilon=1$ 为止。

对 $\tfrac12m^2\phi^2$，$\epsilon_V=2/\phi^2$，暴胀在 $\phi^2=2$ 附近结束，所以 $\phi_*^2\simeq4N+2$，代入得 $n_s-1\simeq-2/(N+\tfrac12)$、$r\simeq8/(N+\tfrac12)$，$N=55$ 时为 $0.9640$ 和 $0.144$；数值结果是 $0.9634$ 和 $0.1440$。

两种势能的谱指数都符合 Planck，但 $r$ 相差四十倍，正是这一点把它们分开。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

## 张量：排除陡坡的那个比值

引力波和曲率涨落一样会冻结，只是摩擦为 $3-\epsilon$。最低阶下 $r=\mathcal{P}_t/\mathcal{P}_{\mathcal{R}}\simeq16\epsilon$，所以 $r$ 衡量势能的坡度，并通过 $H$ 反映暴胀的能标。

PDG 2025 引用 BICEP、Keck Array 与 Planck 数据，给出 $r<0.036$（$95\%$ 置信度）。二次势在 $N_*$ 从 $64$ 到 $44$ 时给出 $0.124$ 到 $0.179$，大了三到五倍，见右侧面板；高原则远在上限之下。

一定要看清主尺度。Planck 2018 X 给出的是 $r_{0.002}<0.056$，对应 $k=0.002\,\mathrm{Mpc}^{-1}$。高原模型在那里的 $r$ 为 $0.00318$，在 $0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 处为 $0.00355$。Lab 报告的是 $0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 处的值，因为大尺度上的台阶会扭曲 $r_{0.002}$。

![两种势能算出的谱指数和张量标量比随主尺度离开视界后 e 倍数的变化，并叠上已发表的限制](https://sandboxphysics.com/_astro/tilt.As5HpP3Z.svg)

圆点是 $R^2$ 高原和 $\tfrac12m^2\phi^2$ 的数值谱结果，$n_s$ 由 $k=0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 附近的有限差分得到。色带照录已发表数值：Planck 2018 的 $n_s=0.9649\pm0.0042$；ACT 组合结果 $0.975\pm0.003$，PDG 2025 说明它还不是完整的联合分析；以及 PDG 2025 给出的 $r<0.036$（$95\%$ 置信度）。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/tilt.As5HpP3Z.svg)

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2

## 再加热让主尺度沿着势能移动

主尺度离开视界到暴胀结束之间有多少个 e 倍数 $N_*$，取决于之后的膨胀历史，包括再加热。PDG 2025 指出，$n_s$ 的测量误差，和许多模型在 $N_*$ 取 $50$ 到 $60$ 时预言值的变化幅度相当。

左侧面板把这一点画了出来。在我们的网格上，高原模型从 $N_*=44$ 的 $n_s=0.9564$ 一直到 $N_*=64$ 的 $0.9697$；$N_*$ 大约在 $49$ 到 $63$ 之间时落在 Planck 的 $1\sigma$ 带内。Lab 的“更短的再加热历史”预设取 $N_*=46$，给出 $0.9583$。

测量谱指数，约束的其实是势能和暴胀之后的历史两者的组合。这种简并会在论文阅读指南里再次出现。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Original background and mode calculations with an independent Python reference

## 挤压三角形与一致性关系

三点函数 $\langle\zeta\zeta\zeta\rangle$ 取决于由三个波数组成的三角形。在挤压极限 $k_1\ll k_2\simeq k_3$ 下，长模式早在短模式之前就冻结了。对短模式来说，它只是坐标的一次整体缩放，而这会按谱指数改变它们的功率。

这就得到下面第一式，即 Maldacena 式1.2 的论证。Creminelli 和 Zaldarriaga 证明它对任何单场模型都成立。采用 Planck 和 PDG 的符号约定，相当于 $\zeta=\zeta_g+\tfrac35f_{\mathrm{NL}}\zeta_g^2$，局域模板的挤压极限为 $\tfrac{12}{5}f_{\mathrm{NL}}P(k_1)P(k_2)$。两者相等，得到 $f_{\mathrm{NL}}=5(1-n_s)/12$。

取 $n_s=0.9649$，这个值是 $0.0146$。Planck 2018 IX 测得 $f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{local}}=-0.9\pm5.1$，单场的值比误差小约 $350$ 倍。反过来，如果明确探测到接近 $1$ 的局域信号，就说明背后不止一个场。

$$
\lim_{k_1\to0}B_\zeta(k_1,k_2,k_3)=(1-n_s)\,P_\zeta(k_1)P_\zeta(k_2),\qquad f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{sq}}=\frac{5}{12}(1-n_s)
$$

其中 $P_\zeta(k)=2\pi^2\mathcal{P}_{\mathcal{R}}(k)/k^3$ 是有量纲的谱，谱指数取短模式处的值。

对应阅读：Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5 · Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2 · Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1

## Lab 的挤压读数是什么，不是什么

Lab 在每个短模式 $k$ 处，用算出的谱的局部谱指数计算 $\tfrac{5}{12}(1-n_s(k))$。平滑高原上它始终低于 $0.02$。加上默认台阶后，局部谱指数来回摆动，最大值达到 $-0.651$；夸大的陡峭台阶则达到 $3.93$。

这是受限的双谱：只有挤压极限，而且只通过一致性关系得到。三边相近的三角形需要完整的三阶相互作用，这里没有计算。它只覆盖台阶三点信号的这一个极限，但已经说明：谱上的特征必然也出现在挤压三角形里。

![有无小台阶时算出的原初谱，叠在 Planck 幂律带上，以及台阶带来的百分比起伏](https://sandboxphysics.com/_astro/spectrum.BCtcaVss.svg)

自有计算，$110$ 个波数：Lab 默认台阶（$c=2\times10^{-5}$，在结束前 $59$ 个 e 倍数越过）与去掉台阶的同一高原。两条曲线一起缩放，使平滑曲线在 $k=0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 处等于 $A_s=e^{3.044}\times10^{-10}$。阴影带是 Planck 2018 的幂律谱，$n_s=0.9649\pm0.0042$，只作理想参考，不是对这两条曲线的拟合。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/spectrum.BCtcaVss.svg)

对应阅读：Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

## 练习与解释性答案

1. 用最低阶公式预言 $\tfrac12m^2\phi^2$ 在 $N=60$ 时的 $n_s$ 和 $r$，再与数值结果 $0.96644$、$0.1322$ 比较。

   展开解释

   $n_s\simeq1-2/60.5=0.96694$，$r\simeq8/60.5=0.1322$。张量比四位数字吻合；谱指数差 $5\times10^{-4}$，正是下一阶项的大小。

2. 如果 ACT 组合结果 $n_s=0.975$ 是对的，单场暴胀会预言多大的挤压幅度？

   展开解释

   $f_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{sq}}=5\times0.025/12\approx0.0104$。比按 Planck 谱指数算的还小，仍远低于可以预见的任何误差。

3. 高原模型取 $N_*=46$ 时，公式 $1-2/N$ 给出 $0.9565$，数值结果是 $0.9583$。哪个更可信？为什么不同？

   展开解释

   数值结果更可信，它求解模式方程，没有截断慢滚展开。公式只到 $1/N$ 的最低阶，$N$ 越小修正越大，所以 $N=46$ 时的差距比 $55$ 时大。

4. 台阶让 Lab 的最大挤压幅度变成 $-0.651$。这和 Planck 的 $-0.9\pm5.1$ 矛盾吗？

   展开解释

   不矛盾。Lab 给的是单个尺度上的最大值；Planck 的局域模板假设 $f_{\mathrm{NL}}$ 与尺度无关，并对大量三角形取平均。要比较，必须把随尺度变化的双谱投影到模板上，Lab 没有做这一步。

## 动手检验预测

### [把挤压图和局部谱指数联系起来](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inflation-mode-freezing/)

1. 选“平滑高原”。挤压图的曲线略高于零，落在 Planck 色带之内。
2. 选“台阶让谱出现振荡”。谱随 $k$ 陡升的地方，挤压值变成负的；谱下降的地方，挤压值为正。
3. 选“陡坡与强引力波”，读出张量标量比：约 $0.144$，远高于 $0.036$。

[上一篇：推导算出原初谱所用的模式方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/) [下一篇：复算一条原初谱，并检验求解器](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/)

## 来源与计算范围

1. [Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2](https://arxiv.org/abs/1807.06211v2)

   核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。

2. [Planck Collaboration, Planck 2018 results. IX. Constraints on primordial non-Gaussianity, arXiv:1905.05697v1](https://arxiv.org/abs/1905.05697v1)

   核读 v1 全文，重点是第2.1至2.2节（式1至3，以 Bardeen 势而不是曲率扰动书写）、表5扣除透镜-ISW 后的 SMICA T+E 最终结果，以及表10经 look-elsewhere 修正的特征模型峰值统计。

3. [Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-inflation.pdf)

   通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。

4. [Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0210603v5)

   通读 v5。式1.2给出挤压极限的论证。该文的谱指数符号指偏离标度不变的量，相当于现代写法中谱指数减一。

5. [Creminelli & Zaldarriaga, Single field consistency relation for the 3-point function (2004), astro-ph/0407059v2](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0407059v2)

   通读 v2。式1给出任意单场模型的一致性关系。式5 定义的局域非高斯幅度与 Planck、PDG 符号相反；我们采用 PDG 的符号，不使用也不改写式6。

6. [Original background and mode calculations with an independent Python reference](https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/materials/inflation-spectrum-recompute-v1.zip)

   自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。

## 继续阅读

从量子涨落到宇宙纹理 · 阅读路径

### 离开视界、模式方程与谱的限制

1. [文章 **一个量子涨落怎样长成宇宙结构**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/how-a-quantum-ripple-becomes-cosmic-structure/)
2. [文章 **被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/why-a-stretched-ripple-stops-changing/)
3. [文章 **推导算出原初谱所用的模式方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/)
4. [当前页面 **谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/what-tilt-tensors-and-squeezed-triangles-measure/)
5. [文章 **复算一条原初谱，并检验求解器**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/)
6. [文章 **怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/read-feature-and-non-gaussianity-searches/)