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title: "推导算出原初谱所用的模式方程"
description: "用 e 倍数写出暴胀子背景演化，推导曲率模式方程，从 Bunch–Davies 真空起步，并用 Wronskian 检查数值解。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/"
last_modified: "2026-11-12"
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[从量子涨落到宇宙纹理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/)

# 推导算出原初谱所用的模式方程

Sandbox Physics · 2026-11-12

Lab 不靠慢滚公式来得到原初谱。它先积分背景演化，再把每个模式从量子真空一直积分到冻结。本章推导这些方程，并给出两项判断结果是否可信的检查。

## 开始前需要什么

先读“离开视界”一章；需要链式法则和复数。取约化 Planck 质量 {{M\_{\\mathrm{pl}}=1}}，撇号表示 {{d/dN}}，{{N=\\ln a}}。

## 用 e 倍数写背景演化

从 Friedmann 方程 $3H^2=\tfrac12\dot\phi^2+V$ 和场方程 $\ddot\phi+3H\dot\phi+V_{,\phi}=0$ 出发，把时间导数换成 $\dot\phi=H\phi'$。

Friedmann 方程变成 $H^2(3-\tfrac12\phi'^2)=V$。记 $\epsilon=\tfrac12\phi'^2$，它恰好等于 $-\dot H/H^2$，于是得到下面第一式。把 $H'/H=-\epsilon$ 代入场方程，得到第二式。

背景演化就是这两行。$\epsilon=1$ 时暴胀结束。这里没有用任何慢滚假设；即使场在台阶上趔趄一下，方程依然成立。

$$
H^{2}=\frac{V}{3-\epsilon},\qquad \phi''=-(3-\epsilon)\,\phi'-\frac{V_{,\phi}}{H^{2}},\qquad \epsilon=\tfrac12\phi'^{2}
$$

以 e 倍数为时间的单场背景方程，没有近似。

对应阅读：Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

## 慢滚是近似，不是模型本身

势能平坦时，$\phi''$ 很小，$\epsilon\approx\epsilon_V=\tfrac12(V_{,\phi}/V)^2$。Lab 只用它画那条虚线参考曲线。

算例：$R^2$ 高原 $V=V_0(1-e^{-\sqrt{2/3}\,\phi})^2$。取 $N_*=55$，积分器给出主尺度离开视界时 $\phi_*=5.3213$。此处 $e^{-\sqrt{2/3}\,\phi_*}=0.012974$，所以 $V_{,\phi}/V=0.021464$，$\epsilon_V=2.30\times10^{-4}$。积分得到的背景给出 $\epsilon=2.28\times10^{-4}$，低约百分之一。

对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

## 从场到波动方程

在共动规范下把作用量展开到二阶，只剩一个标量自由度，即曲率扰动 $\mathcal{R}$。组合 $v=z\mathcal{R}$（$z=a\phi'$）在共形时间里满足一个波动方程，有效质量为 $z''/z$。

改写成 e 倍数，就是下面第一式。摩擦项等于 $d\ln(z^2aH)/dN$，也就是上一章通量形式展开后的样子。每个张量偏振的结构相同，只是把 $z$ 换成 $a$，所以摩擦只有 $3-\epsilon$。

陡峭的台阶会让 $\phi''/\phi'$ 在不到一个 e 倍数的时间里突变。摩擦项随之踢一下恰在那时离开视界的模式。谱上的振荡就是这样来的。

$$
\mathcal{R}''+\left(3-\epsilon+\frac{2\phi''}{\phi'}\right)\mathcal{R}'+\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}\mathcal{R}=0,\qquad h''+(3-\epsilon)\,h'+\left(\frac{k}{aH}\right)^{2}h=0
$$

以 e 倍数为时间的标量与张量模式方程。两者都是线性的，每个 $k$ 可以单独积分。

对应阅读：Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5 · Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2

## 从 Bunch–Davies 真空起步

在视界深处，模式就是平直时空里的波，这确定了初态 $v\to e^{-ik\tau}/\sqrt{2k}$。我们在 $\tau=-1/(aH)$ 处使用这个解的 de Sitter 精确形式，并在 $k/aH=100$ 时起步。

起步太晚，近似初态会带来误差；起步更早只是多花时间。基准脚本检查了这个选择：无论起点取 $k/aH=50$、$100$ 还是 $200$，与幂律暴胀精确解相比，相对误差都低于 $2\times10^{-6}$。

$$
v_k(\tau)=\frac{e^{-ik\tau}}{\sqrt{2k}}\left(1-\frac{i}{k\tau}\right),\qquad \mathcal{R}_k=\frac{v_k}{z}
$$

作为初值的 de Sitter 模式函数；$\tau$ 为共形时间。

对应阅读：Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2 · Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1 · Original background and mode calculations with an independent Python reference

## Wronskian：不用知道答案的精度检查

正则量子化要求 $v\,\partial_\tau v^*-v^*\partial_\tau v=i$ 始终成立。由于 $v=z\mathcal{R}$、$\partial_\tau=aH\,d/dN$，它变成下面的条件。精确解保持它，数值误差会破坏它。

在 Lab 的定步长积分器里，偏差随步长按预期下降。以幂律暴胀为测试，步长系数 $0.3$、$0.15$、$0.075$ 给出的 Wronskian 偏差为 $1.1\times10^{-3}$、$4.3\times10^{-5}$、$5.5\times10^{-6}$，功率谱误差为 $7.7\times10^{-4}$、$4.4\times10^{-5}$、$6.5\times10^{-6}$。两者一起缩小，所以这个偏差可以当报警灯用。

$$
z^{2}aH\left(\mathcal{R}\,\mathcal{R}^{*\prime}-\mathcal{R}^{*}\mathcal{R}'\right)=i
$$

每一步都必须成立。它偏离 $i$ 的程度，在不知道答案的情况下衡量积分误差。

对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1

## 读出原初谱

每个模式积分到 $k/aH=10^{-3}$，此时已经冻结，再按下式得到谱。张量的系数 $8$ 合并了两个偏振，以及各自的 $2/M_{\mathrm{pl}}$ 归一化。

虚线是最低阶慢滚估计 $H^2/(8\pi^2\epsilon)$，在 $k=aH$ 处取值。在高原上，它在主尺度处比数值结果低 $2.5\%$；对 $\tfrac12m^2\phi^2$，差 $0.8\%$。最低阶公式丢掉了与慢滚参数同阶的项。高原上 $|\eta_V|$ 约为 $0.017$，而 $\epsilon$ 约为 $2\times10^{-4}$，差几个百分点正在预期之内。

$$
\mathcal{P}_{\mathcal{R}}=\frac{k^{3}|\mathcal{R}_k|^{2}}{2\pi^{2}},\qquad \mathcal{P}_{t}=\frac{8k^{3}|h_k|^{2}}{2\pi^{2}},\qquad \mathcal{P}_{\mathcal{R}}\approx\left.\frac{H^{2}}{8\pi^{2}\epsilon}\right|_{k=aH}
$$

数值读数与最低阶慢滚估计。在我们的变量里，单个偏振 $h_k=v_k/a$。

对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1

## 练习与解释性答案

1. 验证 $v=e^{-ik\tau}/\sqrt{2k}$ 满足 $v\,\partial_\tau v^*-v^*\partial_\tau v=i$。

   展开解释

   $\partial_\tau v^*=ik\,e^{ik\tau}/\sqrt{2k}$，所以 $v\,\partial_\tau v^*=i/2$；同理 $v^*\partial_\tau v=-i/2$。两者相减得 $i$，与时间无关。

2. 由 Friedmann 方程推出 $H^2=V/(3-\epsilon)$，并说明 $\epsilon$ 升到 $1$ 时 $H$ 怎样变化。

   展开解释

   代入 $\dot\phi=H\phi'$，得 $3H^2=\tfrac12H^2\phi'^2+V$，即 $H^2(3-\epsilon)=V$。$\epsilon\to1$ 时 $H^2\to V/2$，而不是 $V/3$：动能已占总能量的三分之一，加速随之停止。

3. 为什么台阶对标量谱影响很大，对张量谱却几乎没有影响？

   展开解释

   台阶通过 $2\phi''/\phi'$ 进入标量的摩擦项，场一趔趄它就突变。张量的摩擦 $3-\epsilon$ 只含 $\epsilon$，小台阶几乎改变不了它。Lab 中主尺度处的张量标量比，有没有默认台阶都是 $0.00355$。

## 动手检验预测

### [把完整计算和慢滚近似放在一起比](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inflation-mode-freezing/)

1. 选“平滑高原”。在谱图里比较算出的实线和虚线慢滚参考：两者平行，但相差几个百分点。
2. 选“陡坡与强引力波”。差距变小，与上面 $0.8\%$ 的数字一致。
3. 选“夸大的陡峭台阶”。慢滚参考只在场趔趄的地方出现一个凹陷，算出的谱却在更宽的范围里振荡。最低阶公式只读当地的背景，看不到这串振荡。

[上一篇：被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/why-a-stretched-ripple-stops-changing/) [下一篇：谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/what-tilt-tensors-and-squeezed-triangles-measure/)

## 来源与计算范围

1. [Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2](https://arxiv.org/abs/1807.06211v2)

   核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。

2. [Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-inflation.pdf)

   通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。

3. [Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0102236v2)

   通读 v2。式1给出我们采用的 tanh 台阶；式6至19给出以 e 倍数为时间的模式方程与初值。我们的代码独立编写，台阶加在 Starobinsky 高原和二次势上，不只是原文的二次势情形。

4. [Maldacena, Non-Gaussian features of primordial fluctuations in single field inflationary models (2003), astro-ph/0210603v5](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0210603v5)

   通读 v5。式1.2给出挤压极限的论证。该文的谱指数符号指偏离标度不变的量，相当于现代写法中谱指数减一。

5. [Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1](https://arxiv.org/abs/gr-qc/9302019v1)

   通读 v1，并对照扫描页第4至6页。式31、41、43 给出幂律暴胀的精确谱，我们的求解器必须复现它们。

6. [Original background and mode calculations with an independent Python reference](https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/materials/inflation-spectrum-recompute-v1.zip)

   自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。

## 继续阅读

从量子涨落到宇宙纹理 · 阅读路径

### 离开视界、模式方程与谱的限制

1. [文章 **一个量子涨落怎样长成宇宙结构**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/how-a-quantum-ripple-becomes-cosmic-structure/)
2. [文章 **被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/why-a-stretched-ripple-stops-changing/)
3. [当前页面 **推导算出原初谱所用的模式方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/)
4. [文章 **谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/what-tilt-tensors-and-squeezed-triangles-measure/)
5. [文章 **复算一条原初谱，并检验求解器**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/)
6. [文章 **怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/read-feature-and-non-gaussianity-searches/)