--- title: "复算一条原初谱，并检验求解器" description: "运行小型 Python 参考程序，先对照幂律暴胀的精确谱，再复算五个固定模型，把谱指数和张量比与 Planck 对照。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/" last_modified: "2026-11-12" --- [从量子涨落到宇宙纹理](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/) # 复算一条原初谱，并检验求解器 Sandbox Physics · 2026-11-12 这份指南在浏览器之外重算 Lab 的谱。先用一个有闭式解的问题检验求解器，再复算固定模型，亲手测出谱指数，最后与已发表的限制对照。下文的每个数字，都来自实际运行这些文件。 ## 开始前需要什么 先读“模式方程”一章。需要 Python 3.9 或更新版本、NumPy、SciPy 和终端。不使用浏览器，也不使用 Lab 代码。 ## 先预测，再运行 先把预期写下来。$R^2$ 高原取 $N_*=55$，最低阶公式给出 $n_s\approx0.9636$、$r\approx0.004$；$\tfrac12m^2\phi^2$ 给出 $n_s\approx0.9640$、$r\approx0.144$。 台阶的影响也先估一下：台阶放在结束前 $59$ 个 e 倍数，受影响的应该是比主尺度早约四个 e 倍数离开视界的模式，也就是 $k\approx10^{-3}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 附近，主尺度本身不受影响。 对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference ## 取得文件，固定运行环境 下载下方的 ZIP，解压到一个新目录。里面有参考求解器、基准脚本、比较脚本、五个输入模型和对应的预期输出，不含浏览器 Engine。 在虚拟环境里安装固定版本。预期结果由 Python 3.9.6、NumPy 2.0.2 和 SciPy 1.13.1 生成，每个输出文件都记下了产生它的软件版本。 ``` python3 -m venv venv . venv/bin/activate pip install -r requirements.txt ``` 对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · CLASS explanatory.ini, lesgourg/class\_public commit c5d93d01990116162b408b789b62ec5669fc4ea4 ## 先用精确解检验求解器 幂律暴胀 $V=V_0e^{-\lambda\phi}$ 的 $\epsilon=\lambda^2/2$ 恒定，标量谱和张量谱都有闭式解，见 Stewart 与 Lyth 的式31、41、43。基准脚本拿数值谱和这个闭式解比较，而不是和慢滚估计比较。 我们的运行覆盖 $\lambda$ 从 $0.02$ 到 $0.3$。功率谱最大误差为 $2.0\times10^{-6}$，Wronskian 最大偏差为 $4.0\times10^{-7}$。最低阶慢滚公式在 $\epsilon=2\times10^{-4}$ 时偏差 $1.1\times10^{-4}$，在 $\epsilon=0.045$ 时偏差 $2.6\%$。检验因此要用闭式解，而不是慢滚近似。 只要有一项检查不通过，脚本就以错误退出。在你的机器上通过之前，不要往下做。 ``` python verify_benchmarks.py my-benchmarks.json ``` 对应阅读：Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1 · Original background and mode calculations with an independent Python reference ## 复算一个固定模型 每个输入文件写明势能、以 $M_{\mathrm{pl}}^4$ 为单位的振幅 $V_0$、初始场值、$N_*$、台阶参数，以及 $27$ 个以 $\mathrm{Mpc}^{-1}$ 为单位的波数。台阶采用 Adams、Cresswell 与 Easther 式1的 tanh 形式，位置和宽度以场值为单位。 输出先给背景：总 e 倍数、主尺度处的场值和 $\epsilon$；然后每个波数一行，含标量与张量功率、慢滚估计、离开视界的时刻和当时的场值。每个预设约需一秒。 在相同软件版本下，我们全新运行的结果与预期文件完全一致。换一个 SciPy 版本，最后几位数字可能变化；比较脚本的门槛是 $10^{-4}$，远大于求解器误差，也远小于本课程讨论的任何物理效应。 ``` python recompute_inflation_spectrum.py inputs/step-ripples.json my-step.json python compare_with_expected.py my-step.json expected/step-ripples.json ``` 对应阅读：Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2 · Original background and mode calculations with an independent Python reference ## 亲手测出谱指数和张量比 在主尺度附近取三个点作输入，对功率的对数做差分。下面的代码以高原为例。 我们的结果：高原 $n_s=0.96490$、$r=0.00355$；加上默认台阶，小数点后四位不变；二次势 $n_s=0.96338$、$r=0.14403$；更短的再加热（$N_*=46$）$n_s=0.95826$、$r=0.00498$。 振幅要小心处理。高原的 $V_0$ 是按 $A_s=2.0989\times10^{-9}$ 选的，对应 Planck 的 $\ln(10^{10}A_s)=3.044$。同样的 $V_0$ 下，$N_*=46$ 的模型给出 $1.4880\times10^{-9}$。由于固定 $N_*$ 时 $\mathcal{P}_{\mathcal{R}}\propto V_0$，把 $V_0$ 乘以 $1.4105$ 就能恢复，谱指数和 $r$ 都不变。 ``` import json, math, subprocess model = json.load(open('inputs/smooth-plateau.json')) model['kGridMpc'] = [0.049, 0.05, 0.051] json.dump(model, open('tilt-input.json', 'w')) subprocess.run(['python', 'recompute_inflation_spectrum.py', 'tilt-input.json', 'tilt-output.json'], check=True) low, mid, high = json.load(open('tilt-output.json'))['spectrum'] print('n_s =', 1 + math.log(high['scalar'] / low['scalar']) / math.log(0.051 / 0.049)) print('r =', mid['tensor'] / mid['scalar']) ``` 对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 ## 与已发表的限制对照 Planck 2018 X 给出 $n_s=0.9649\pm0.0042$、$\ln(10^{10}A_s)=3.044\pm0.014$；PDG 2025 给出 $r<0.036$（$95\%$ 置信度）。高原正好落在谱指数色带中央。二次势的谱指数符合，$r$ 却是上限的四倍。$N_*=46$ 的高原谱指数偏低 $1.6\sigma$。 这些都是原初参数之间的比较，而这些参数本身是在幂律谱假设下拟合出来的。带台阶的模型必须经过 Boltzmann 程序和似然函数才能比较。CLASS 可以通过 external\_Pk 选项接收你自己的谱表，这是自然的下一步；本课程停在原初谱。 对应阅读：Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 · Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) · CLASS explanatory.ini, lesgourg/class\_public commit c5d93d01990116162b408b789b62ec5669fc4ea4 ## 我们真正遇到过的失败 绝对容差。早期版本用了固定的 $\mathrm{atol}=10^{-30}$。$N_*=46$ 时，在这套单位里各波数的起始 $|\mathcal{R}|$ 约在 $2\times10^{-29}$ 到 $10^{-24}$ 之间，这个容差其实很松。在 $27$ 个波数上，功率最多错了 $0.55\%$，Wronskian 最多偏离 $0.88\%$，积分器却报告成功。$N_*=55$ 的高原误差仍低于 $10^{-4}$。修正办法是让容差随各分量的起始大小缩放。 台阶位置。台阶放在结束前 $58$ 个 e 倍数时，振荡一直延伸到主尺度，改变了报告的谱指数。默认台阶因此移到 $59$ 个 e 倍数，每次修改后都把主尺度谱指数和平滑模型比一比。 $r$ 的主尺度。默认台阶不改变 $0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 处的 $r$，仍为 $0.00355$；但把 $0.002\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 处的值从 $0.00318$ 抬高到 $0.00441$。Lab 因此报告 $0.05\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ 处的 $r$。 对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2 ## 这次复算不能说明什么 模型只有一个标准标量场，引力是广义相对论，初态是 Bunch–Davies 真空，$\epsilon=1$ 之后没有动力学。它只给出原初谱，没有经过转移函数和似然函数，所以不声称拟合了数据。 Lab 积分器与这个参考程序在五个预设上相差不超过 $2.5\times10^{-4}$，说明两套代码解的是同一组方程。 对应阅读：Original background and mode calculations with an independent Python reference · Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025) ## 练习与解释性答案 1. 调整 $N_*=46$ 模型的 $V_0$，让 $A_s$ 与 Planck 一致。$n_s$ 和 $r$ 会怎样？ 展开解释 把 $V_0=1.1322\times10^{-10}$ 乘以 $2.0989/1.4880=1.4105$，得到 $1.597\times10^{-10}$。两种功率谱都与 $V_0$ 成正比；改变 $V_0$ 只缩放 $H$，e 倍数的历史不变，$n_s=0.95826$、$r=0.00498$ 保持不变。 2. 固定容差为什么在 $N_*=46$ 时失败，在 $N_*=55$ 时却没事？ 展开解释 在这套单位里，$\mathcal{R}$ 的绝对大小取决于 $a=1$ 放在哪里，而这是任意的。$N_*=46$ 时主尺度晚约九个 e 倍数才起步，起始模式函数小了约六个数量级，固定的 $10^{-30}$ 就不再算小。容差必须相对于各变量自身的大小来设。 3. 换了更新的 SciPy 后，比较脚本报告差别 $3\times10^{-5}$。需要担心吗？ 展开解释 不需要。它低于 $10^{-4}$ 的门槛，和自适应积分器的细微变化相当。先确认基准脚本仍然通过；如果通过，这个差别就是数值噪声。 ## 动手检验预测 ### [拿 Lab 和你的复算结果对照](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inflation-mode-freezing/) 1. 默认预设下，Lab 显示谱指数 $0.965$、张量标量比 $3.55\times10^{-3}$。与你算出的 $0.96490$ 和 $0.00355$ 对照。 2. 选“更短的再加热历史”。Lab 显示 $0.958$ 和 $4.98\times10^{-3}$。Lab 会重新归一化 $A_s$，所以只有振幅与你的原始结果不同。 3. 选“陡坡与强引力波”，确认 $r\approx0.144$。 ## 自己复算这些谱 [下载 Python 参考程序、基准、输入与预期输出](https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/materials/inflation-spectrum-recompute-v1.zip) (23973 B) NumPy 与 SciPy 积分背景演化，并把每个模式从真空态积分到冻结。预期结果由 Python 3.9.6、NumPy 2.0.2 和 SciPy 1.13.1 生成。ZIP 不含浏览器 Engine，也不含论文原文。 SHA-256 与文件说明 `01825a57661f03e95e517178320bf1bd20f1bf050aae74318a37deb51a799a77` 五个输入是 Lab 预设背后的固定模型。预期输出是自有模型计算，不是观测数据。在相同软件版本下，全新解压后的复算结果与之完全一致。 [上一篇：谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/what-tilt-tensors-and-squeezed-triangles-measure/) [下一篇：怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/read-feature-and-non-gaussianity-searches/) ## 来源与计算范围 1. [Planck Collaboration, Planck 2018 results. X. Constraints on inflation, arXiv:1807.06211v2](https://arxiv.org/abs/1807.06211v2) 核读 v2 全文（2019年8月2日），重点是第4.2节与第7.1至7.3节：式47至48、式57至62的台阶模板、表11先验、表12台阶结果与图28。课程引用的谱指数与振幅取自其参数表。 2. [Ellis, Vennin & Wands, Review 23: Inflation, Review of Particle Physics (PDG 2025, revised August 2025)](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-inflation.pdf) 通读全文。使用第23.3.4节式23.55至23.57及其中关于 ACT 组合结果的说明、第23.6节关于再加热与主尺度离开视界后 e 倍数的讨论，以及第23.7.3.2节式23.101至23.103 中局域非高斯幅度的符号约定和单场挤压极限值。 3. [Adams, Cresswell & Easther, Inflationary perturbations from a potential with a step (2001), astro-ph/0102236v2](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0102236v2) 通读 v2。式1给出我们采用的 tanh 台阶；式6至19给出以 e 倍数为时间的模式方程与初值。我们的代码独立编写，台阶加在 Starobinsky 高原和二次势上，不只是原文的二次势情形。 4. [Stewart & Lyth, A more accurate analytic calculation of the spectrum of cosmological perturbations produced during inflation (1993), gr-qc/9302019v1](https://arxiv.org/abs/gr-qc/9302019v1) 通读 v1，并对照扫描页第4至6页。式31、41、43 给出幂律暴胀的精确谱，我们的求解器必须复现它们。 5. [CLASS explanatory.ini, lesgourg/class\_public commit c5d93d01990116162b408b789b62ec5669fc4ea4](https://github.com/lesgourg/class_public/blob/c5d93d01990116162b408b789b62ec5669fc4ea4/explanatory.ini) 核读原初谱选项：主尺度波数设置、数值暴胀 inflation\_V，以及用 external\_Pk 把自己的谱表交给 CLASS 的方式。本课程没有运行 CLASS。 6. [Original background and mode calculations with an independent Python reference](https://sandboxphysics.com/stories/inflation-perturbations/materials/inflation-spectrum-recompute-v1.zip) 自有计算：Lab 积分器与独立的 NumPy/SciPy 参考在五个预设上相对差别小于万分之三。ZIP 内含 Python 参考、闭式基准、五个输入与预期输出，不含 Engine 代码或论文原文。 ## 继续阅读 从量子涨落到宇宙纹理 · 阅读路径 ### 离开视界、模式方程与谱的限制 1. [文章 **一个量子涨落怎样长成宇宙结构**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/how-a-quantum-ripple-becomes-cosmic-structure/) 2. [文章 **被拉伸的涨落离开视界后为什么不再变化**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/why-a-stretched-ripple-stops-changing/) 3. [文章 **推导算出原初谱所用的模式方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/slow-roll-and-the-mode-equation/) 4. [文章 **谱指数、张量比和挤压三角形各在测量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/what-tilt-tensors-and-squeezed-triangles-measure/) 5. [当前页面 **复算一条原初谱，并检验求解器**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/recompute-a-primordial-spectrum/) 6. [文章 **怎样读 Planck 对暴胀特征与非高斯性的搜索**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/inflation-perturbations/read-feature-and-non-gaussianity-searches/)