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title: "从一条测地线算出区间纠缠熵"
description: "逐步求解 AdS3 等时测地线，积分有限截断长度，再消去共同发散项，得到区间熵差。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/holography/regulated-geodesics/"
last_modified: "2026-10-28"
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[全息与量子引力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/holography/)

L3 · 第 4 章

# 从一条测地线算出区间纠缠熵

Sandbox Physics · 2026-10-28

在具有经典引力描述的二维共形场论真空中，一个区间的主阶纠缠熵由 AdS3 中一条最短曲线给出。曲线长度本身在边界发散；比较两个区间时，使用同一个截断，共同发散项就会消掉。真正值得计算的，是这个过程如何从几何长出对数。

## 开始前需要什么

先读第三章的 Poincaré 度规和第二章的约化态。需要求导与定积分；本章逐步说明长度泛函、一阶守恒量和变量代换。端点坐标和截断约定在下面固定。

- 推导双曲平面上的测地圆，而不是仅凭外观认出半圆。
- 分清有限截断几何、连续极限及截断无关的长度差。

## 把最短路写成可求极值的量

在 Poincaré 坐标中取 $t=0$，边界坐标为 $x$，向内部增加的坐标为 $z>0$。$x,z,L$ 都用同一长度单位。两端点放在 $(-\ell/2,\epsilon)$ 和 $(\ell/2,\epsilon)$，其中 $\ell$ 专指截断面上两锚点的水平间距。我们固定同一个 $\epsilon>0$，让曲线在上半平面中寻找最短路。

把曲线写成 $z(x)$，每一段的实际长度是 $L\sqrt{dx^2+dz^2}/z$。因子 $1/z$ 意味着贴近边界行走代价很高；曲线可以向内部下探，减少沿水平方向移动的代价。两种代价竞争决定它有多深。

$$
\mathcal L[z]=L\int_{-\ell/2}^{\ell/2}\frac{\sqrt{1+(z')^2}}{z}\,dx
$$

这是正定的空间长度泛函，曲线处处类空。它不是发光粒子的轨迹，后者要沿整个时空满足零间隔。

来源：João Penedones · Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi

## 平移对称性给出圆

被积函数 $F(z,z^{\prime})=\sqrt{1+(z^{\prime})^2}/z$ 不显含 $x$，因此 Euler–Lagrange 方程有一阶积分 $F-z^{\prime}\,\partial F/\partial z^{\prime}=\mathrm{constant}$。在最深处，斜率为零；把该处深度记为 $R$，常数就是 $1/R$。

整理后得到 $z\sqrt{1+(z^{\prime})^2}=R$。分离变量，积分并利用左右对称，得 $x^2+z^2=R^2$。端点必须恰好落在指定截断面，因此 $R=\sqrt{(\ell/2)^2+\epsilon^2}$。若直接用半径 $\ell/2$ 的边界锚定圆，再在截断面裁掉两端，实际截断端点就会向内移动；那是另一种约定。

$$
\frac{1}{z\sqrt{1+(z')^2}}=\frac1R,\qquad z(x)=\sqrt{R^2-x^2}
$$

平移守恒量与边界条件一起确定曲线。圆心在坐标边界上，实际绘制的两端在有限截断面上。

原创坐标示意。两个金色锚点位于同一截断面，圆弧按空间双曲度规求得；它是类空曲线。

## 把圆弧长度积出来

令 $x=R\cos\theta$、$z=R\sin\theta$。欧几里得小段为 $R\,d\theta$，除以深度后变成 $L\,d\theta/\sin\theta$。两端对应 $\theta_0$ 与 $\pi-\theta_0$，且 $\sin\theta_0=\epsilon/R$。积分的原函数为 $\log\tan(\theta/2)$。

代入两端，得到下面的精确式。$\operatorname{arsinh}u=\log(u+\sqrt{1+u^2})$ 是反双曲正弦。当 $\epsilon/\ell$ 很小时，根号内可以按小量展开，长度的主项成为对数。误差从截断比值的平方开始。

完整例题：取 $L=1$、$\ell=2$、$\epsilon=0.1$。精确长度为 $2\operatorname{arsinh}10\simeq5.99645$，主阶近似为 $2\log20\simeq5.99146$。二者相差约 $0.00498$。把截断减半，误差约缩成四分之一，但精确长度还会增加接近 $2\log2$。

$$
\mathcal L_\epsilon(\ell)=2L\log\frac{R+\ell/2}{\epsilon}=2L\operatorname{arsinh}\frac{\ell}{2\epsilon}
$$

这条精确式对应等高有限锚点，直接用于 Lab 的几何读数和独立积分比较。

$$
\mathcal L_\epsilon(\ell)=2L\log\frac\ell\epsilon+2L\frac{\epsilon^2}{\ell^2}+O\!\left(L\frac{\epsilon^4}{\ell^4}\right)
$$

近似要求截断远小于区间。有限截断圆的长度不能直接升级成任意截断场论的精确熵。

## 先相减，再移走截断

比较宽度 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 的区间，让它们使用相同截断。对数里的 $-2L\log\epsilon$ 完全相同，差值有有限极限。有限截断下的精确差仍带有幂次修正，不能在任意截断时都写成纯对数。

例如把宽度从二增为四，长度差趋于 $2L\log2$。在 $\epsilon=0.1$ 时，精确差约 $1.38256L$，比极限 $1.38629L$ 稍小。独立数值积分应当重现前者，截断收敛扫描则检验它怎样走向后者。

$$
\lim_{\epsilon\to0}\left[\mathcal L_\epsilon(\ell_2)-\mathcal L_\epsilon(\ell_1)\right]=2L\log\frac{\ell_2}{\ell_1}
$$

必须采用相同截断规则。单个发散量的有限常数还会受方案影响，公共局域发散相消的比较更直接。

## 何时可以把长度读作熵

Ryu–Takayanagi 关系把静态、同调于边界区间的极小曲线长度除以 $4G_3$。这里用 $\hbar=1$，三维 Newton 常数 $G_3$ 也带长度单位，结果为无量纲熵。对具有 Einstein 引力描述的 AdS3/CFT2，中心荷 $c=3L/(2G_3)$ 衡量边界理论的自由度规模。

于是单区间真空熵的主阶是 $(c/3)\log(\ell/\epsilon)$，宽度翻倍时主阶熵差为 $(c/3)\log2$。这个结论使用半经典体几何、大中心荷及受控的引力近似。面积法则中的体量子修正留到第七章；它们可能改变对“零互信息”的解释。

$$
S_A^{(0)}=\frac{\mathcal L(\gamma_A)}{4G_3},\qquad \Delta S_A^{(0)}=\frac c3\log\frac{\ell_2}{\ell_1}
$$

上标零标记经典主阶。精确有限截断长度与连续场论主阶熵在页面上分别命名。

来源：Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi

## 把推理带进实验

### [用截断扫描检验一个对数](https://sandboxphysics.com/zh/labs/ads-interval-entanglement/)

1. 选择“大区间探得更深”，把区间宽度设为一。先预测宽度增到二时最深处与总长度分别怎样变，再拖动端点检验。
2. 固定区间，展开截断设置，逐次减小径向截断。用本章公式计算主阶对数，与单条曲线的截断总长比较，检查误差是否约按截断平方下降。
3. 用同一截断比较当前区间与单位宽区间，读左图中的长度差。解释为什么差值收敛而两个长度各自发散。

## 练习与解释性答案

1. 两区间宽度比为三，$c=6$。连续主阶熵差是多少？

   展开解释

   先消去共同截断，再乘 $c/3=2$，得到 $2\log3\simeq2.197$ nat。不能从这个差值反推单个区间的绝对熵。

2. 有人在图上沿直线连接两端点，认为它比下探的圆弧短。错在哪里？

   展开解释

   他比较的是图上的欧几里得长度。双曲长度还要逐段除以深度。靠近边界的水平直线虽然画得短，每一小段都被很大的尺度因子放大。极值计算已经把这项代价算入。

[上一章：从体内的场读出边界关联](https://sandboxphysics.com/zh/stories/holography/fields-at-the-boundary/) [下一章：两个区间怎样共用一片内部](https://sandboxphysics.com/zh/stories/holography/intervals-and-wedges/)

## 来源与复算范围

课程自行推导例题、绘制示意图，数值参考复算指定的解析几何和有限五比特编码。下面按实际核读位置列出计算范围与理论阅读内容。

1. [João Penedones, TASI lectures on AdS/CFT, arXiv:1608.04948v1 (2016)](https://arxiv.org/html/1608.04948v1)

   第 3.1—3.3 节的整体与 Poincaré 坐标、固定背景场、边界源和动力学引力，以及第 4.1 节的弱耦合体理论条件。课程据这些度规和场方程推导径向光路与标量场近边界指数。

2. [Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi, Holographic Derivation of Entanglement Entropy from AdS/CFT, hep-th/0603001v2; PRL 96, 181602 (2006)](https://arxiv.org/html/hep-th/0603001v2)

   式 (5) 的静态面积公式；式 (6)—(10) 和图 1 的真空 AdS3 区间几何与圆周结果。这里独立积分 Poincaré 测地线并比较截断极限；等高有限截断端点另作几何诊断。多区间取极小值采用 Headrick 的结果，不采用这篇早期论文的式 (12)。