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title: "从入选的二十六个源，怎样推回一类星系的数量"
description: "先计算亮度迁移与漏选的响应，再用入选计数推导泊松似然、归一化和斜率的轮廓曲线。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/selection-response-and-selected-counts/"
last_modified: "2026-11-12"
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[从遥远的光走到星系计数](https://sandboxphysics.com/zh/stories/high-redshift-galaxies/)

L2 · 光、图像与筛选

# 从入选的二十六个源，怎样推回一类星系的数量

Sandbox Physics · 2026-11-12

筛选会漏掉源，噪声也会把它们推到别的亮度箱。要由留下的计数研究总体，先计算每一种本征源会怎样进入测量箱，再把这个响应作用到假设的总体上。这样可以直接比较预期计数与真正留下的计数，连空箱也提供信息。

## 开始前需要什么

先读有限像素与已知位置测量。需要矩阵乘法的求和含义、对数与一次导数；这里会定义泊松计数和轮廓似然。

## 先固定这次巡天究竟在找什么

先做一个条件完全已知的小巡天：红移在九点五至十点五之间，天空面积五平方角分。所有源都用零点三千秒差距的物理半光半径、规定的尘屏与相同连续谱斜率，像素噪声也固定。每个源的位置和光形预先提供给测量程序。

这与随手改变一颗源的尺寸是两个实验。改变尺寸可以看见某个源如何变难测；要研究总体，还要指定整个总体的尺寸分布，并重新计算对应的筛选概率。下面的响应始终属于这组固定校准。

在较红波段中通过检出的源，还会按测得的亮度进入不同箱。真值相同的源，受到不同噪声后可能落在相邻箱；有些会落到最亮或最暗边界之外。把这些去向一起保留，才能追踪总概率。

对应阅读：Sandbox Physics · Sandbox Physics

## 一列响应描述一种源的全部去向

把本征绝对星等分成六箱，箱内密度$\phi_j$取常数，单位为每等、每立方百万秒差距。测量去向用$i$标记，包含八个入选类别和一个未入选类别。入选类别还保留明亮与暗弱两端的越界源。

响应需要沿着本征亮度和红移范围积分。一个矩阵元素同时含有这段空间有多大、这个本征箱有多宽，以及源落到指定测量类别的概率。它的单位因此已经带着“等”和体积。

$$
A_{ij}=\int_{M_j}^{M_{j+1}}\int_{z_1}^{z_2}P(i\mid M,z,\mathcal C)\,\frac{dV}{dz}\,dz\,dM
$$

条件$\mathcal C$包括给定光谱、尺寸、噪声与筛选。面积已经计入体积元；概率无量纲，响应单位为等乘立方百万秒差距。

$$
\sum_{i\,\mathrm{including\ nonselection}}A_{ij}=V_{\rm geom}\,\Delta M_j
$$

将一列的全部去向加起来，就回到这一箱覆盖的几何体积乘本征箱宽。只留下入选行时，总和通常较小。

| 本征星等区间 | 箱宽（等） |
| --- | --- |
| −22.5至−21.5 | 1 |
| −21.5至−20.5 | 1 |
| −20.5至−19.5 | 1 |
| −19.5至−18.5 | 1 |
| −18.5至−17 | 1.5 |
| −17至−16 | 1 |

对应阅读：Sandbox Physics · Sandbox Physics

## 把本征密度送过响应，再与计数比较

预期的一个测量箱，可以接收多个本征箱的源。把各箱密度乘上相应响应，再加起来，就是这个箱的预期计数。非对角元素在这里描述亮度迁移。只给每个箱除一个“完整度”，会漏掉这种跨箱流动。

六个本征箱的宽度并不全相同。宽度已经进入响应，计算预期计数时不再乘一次。把一列响应除以该本征箱宽，可以得到这一条件下平均的有效体积；矩阵本身则更适合直接预测测量计数。

保存的八个入选类别计数依次为零、零、零、四、十四、八、零、零，共二十六个。未入选类别没有观测计数传给拟合。知道校准里存在“没选上”这一去向，不等于观测到了有多少源没选上。

$$
\mu_i=\sum_{j=1}^{6}A_{ij}\phi_j
$$

这里只取八个入选行。密度乘响应后，星等与体积单位消去，得到预期个数。

对应阅读：Sandbox Physics · Sandbox Physics

## 空箱怎样进入泊松似然

设总体源数服从泊松计数，各源按已知概率独立进入类别。经过这种独立分流，入选箱仍可以按独立泊松计数建模。泊松分布用一个预期数，描述重复巡天可能出现的非负整数个数。

似然比较的是同一份实际计数，在不同预期数下出现的相对可能性。把各箱概率相乘，再取对数，得到一个便于求和的量。高似然表示这组模型计数更能解释已经留下的数据。

$$
\ell=\sum_i\left[n_i\ln\mu_i-\mu_i-\ln\Gamma(n_i+1)\right]
$$

观测个数为零时，第一项按零处理，仍保留负的预期数项。一个模型若预言空箱里本应有许多源，就会受这项惩罚。正观测却对应零预期时，似然为零、对数似然趋于负无穷。

对应阅读：SciPy · Sandbox Physics · Sandbox Physics

## 先解总体尺度，再沿斜率寻找形状

二十六个入选源不足以让任意六箱密度都同样精确。这里先选一个受限的形状族：采用Schechter形状，把特征星等固定在负二十点六，只让斜率和总体归一化变化。每个本征箱都在中点计算一次密度，并在箱内保持这个值。

这个中点约定定义了正在拟合的模型。它与把一条连续Schechter函数在每个箱内精确积分不同。对某个斜率，响应会给出单位归一化的预期计数。归一化同时放大所有预期数，最佳尺度可以先解析求出。

$$
q_j(\alpha)=0.4\ln10\,x_j^{\alpha+1}e^{-x_j},\qquad x_j=10^{0.4(M_\star-M_{j,\rm mid})},\quad\phi_j=\phi_\star q_j
$$

特征星等固定，斜率限定在负三点五至负一。归一化的单位为每立方百万秒差距。

$$
b_i(\alpha)=\sum_jA_{ij}q_j(\alpha),\qquad \widehat\phi_\star(\alpha)=\frac{\sum_i n_i}{\sum_i b_i(\alpha)}
$$

对归一化求导并令其为零，得到“实际入选总数除以单位归一化的预期入选总数”。最优模型的入选总数会与数据一致；它怎样分配到各箱，仍约束着斜率。

对应阅读：Sandbox Physics · Sandbox Physics

## 看完整轮廓，而不只看一个最优数字

将每个斜率的最佳归一化代回似然，就得到轮廓似然。保存的四百零一个点显示，斜率约负二点零零四时最好，归一化约为每立方百万秒差距零点零零零四四三五。这个数属于上述模型和校准。

从最佳对数似然下降零点五，对应的斜率区间约为负二点三零四至负一点七二五。它是一种描述轮廓宽度的办法。在合适的大样本条件下有渐近解释；对这份小计数，它没有自动获得精确置信覆盖率。若区间碰到事先规定的斜率边界，还要标成截断。

图中的暗弱本征列大部分流向未入选。数据对这些列的限制较弱。一个受限形状族能把明亮端的信息传到暗弱端，但这种联系来自模型假设。要检验更自由的暗弱密度，需要更深测量、更多源或新的独立信息。

![包含未入选类别的完整响应概率，以及保存的四百零一点斜率轮廓似然](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/response-and-profile-zh-desktop.svg)

上图将每列响应除以几何体积与本征箱宽，显示所有去向的平均概率；下图直接读取保存的轮廓，虚线表示对数似然下降零点五。它们属于固定模拟巡天，没有用未检出源数拟合。列代表离散本征箱；低于十万分之一采用最低显示色，下载值保持原精度。

对应阅读：Sandbox Physics · Sandbox Physics

## 从下载的小包重算这一步

小包只需要选中计数、完整响应、箱边界和原数值函数。解压后，在声明的Python环境运行replay.py，就会写出全轮廓与检查结果。输出已经存在时程序会拒绝覆盖，便于保留一次失败。

这份包实际冷重跑通过三十九项检查，含独立泊松概率、双参数最优点、导数、空计数和坏输入。它重放的是固定矩阵上的推断。原响应的像素与噪声试验有各自的记录；真实巡天还需要针对自身观测和选源流程测量响应。

对应阅读：Sandbox Physics · Sandbox Physics · Sandbox Physics

## 下载小包，从头重算

包内有入选计数、完整固定响应、原函数与全轮廓；实际在新目录冷重跑通过39项检查。

- [入选计数Python复算包（25,834字节）](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/selected-counts-replay.zip)
- [实际冷重跑检查与冻结包身份](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/cold-replay-evidence.json)

解压后先看README与LICENSE，在声明的Python环境运行replay.py，并使用新的输出文件名。原创代码的MIT许可与来源事实的归属分别列出。

## 亲手观察

### [把个体测量与固定巡天的推断分开读](https://sandboxphysics.com/zh/labs/high-redshift-dropout-survey/)

1. 改变一个源的尺寸，观察像素与误差怎样改变。
2. 再看固定巡天面板，指出它标明的红移、尺寸、尘屏和面积。
3. 对照完整响应与轮廓曲线，解释为何最暗本征箱的信息较弱。

群体面板重放固定模拟巡天的响应和二十六个入选计数；个体操作计算另外一个给定源的有限像素测量。

## 练习与答案

把最宽的本征箱再额外乘一点五，会怎样影响预期数？

它的贡献会被重复放大一点五倍，因为响应已经积过这一箱的宽度。响应的星等单位已经包含这个宽度。

一个测量箱没有源，能否从似然里删掉？

不能。若模型预言这里应有很多源，空箱正好提供反对该模型的信息。泊松对数似然保留负的预期数项。

把所有入选计数加倍而相对分布保持相同，固定校准下的最佳形状和归一化怎样变？

轮廓最大值的斜率保持相同，归一化加倍。泊松噪声相对减小，轮廓宽度通常会变窄；仍需用实际曲线检查。

改变个体源的尘屏后，能否继续把旧矩阵称为新总体的筛选响应？

旧矩阵仍描述原尘屏和原总体条件。要研究新的总体，需给出尘屏分布并重算响应，或明确只展示一个源与旧校准的区别。

## 核对数值例子

这两份摘要记录本文采用的模型参数、保存测量和有限独立检查。图里是受控模拟源；下载材料不含观测星系目录。

- [距离、通带与五组保存例子（JSON）](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/model-numerical-examples.json)
- [58项有限独立模型检查（JSON）](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/model-commission-summary.json)
- [准确文件大小与SHA256身份](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/public-reproduction.json) · [署名与使用许可](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/LICENSE.txt)

[上一篇：总光量相同，星系摊大后为什么更难测](https://sandboxphysics.com/zh/stories/high-redshift-galaxies/size-pixels-and-known-source-recovery/) [下一篇：用三个真实源，复算一份有条件的JADES体积](https://sandboxphysics.com/zh/stories/high-redshift-galaxies/replay-a-conditional-jades-volume/)

## 一手来源与计算说明

1. [Sandbox Physics, frozen synthetic response checks](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/statistical-model-checks.json#response)

   原25项响应记录，包括矩阵精度、有限高斯恢复与另列的公开目录计数身份检查。固定源条件不标定真实巡天。

2. [Sandbox Physics, selected-only inference checks](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/statistical-model-checks.json#inference)

   实际接受的18项推断结果：独立似然、最优点与导数。原首次失败保留为历史记录；公开包只使用接受的源与入选观测。

3. [Sandbox Physics, selected-count cold replay](https://sandboxphysics.com/stories/high-redshift-galaxies/materials/selected-counts-replay.zip)

   两个积分阶数的完整9乘6响应、八类入选计数、六个不等本征箱、原数值函数与全部四百零一轮廓点。实际冷重放39项检查；不含隐藏总体真值或新抽样。

4. [SciPy, Poisson probability and logpmf](https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.poisson.html)

   概率质量函数、非负整数取值与零均值情况。实际独立冷重放固定SciPy 1.17.1；阅读当前文档不会改变复算环境。