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title: "堵塞点在哪里，越过它之后压强怎样增长"
description: "用随机初态和二分搜索求出每个堆积的堵塞阈值，看阈值分布怎样随盘数变窄，再推导并检验压强和接触数在阈值之上的标度律。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/granular-jamming/the-jamming-point/"
last_modified: "2026-10-29"
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[颗粒与堵塞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/)

L3 · 第 4 章

# 堵塞点在哪里，越过它之后压强怎样增长

Sandbox Physics · 2026-10-29

从一个随机构型出发，慢慢把圆盘变大，总有一刻它们开始互相顶住。这个堆积分数叫这次的堵塞阈值。换一个随机初态，阈值会稍有不同；但盘数越多，阈值越集中，大系统几乎都在同一个堆积分数堵住。越过阈值之后，压强从零开始增长，增长的方式只由接触定律决定。

## 开始前需要什么

第二章的最少接触数和第三章的压强公式。会读对数坐标，知道幂律在对数坐标里是直线。会算样本均值和标准差。

- 说出求单个堆积堵塞阈值的协议，以及判断“堵住”的能量判据。
- 用 O’Hern 等人式 (3) 估计阈值分布的宽度，并与我们的数值比较。
- 推出压强指数为接触指数减一，并说明接触数指数为什么在 128 个盘时没有复现。

## 怎样求一个堆积的堵塞阈值

O’Hern 等人的协议是这样的：在周期性盒子里随机撒下圆心，相当于无穷高温下的构型；然后求能量的局部极小值。若每个盘平均能量低于 $10^{-16}\,\varepsilon$，圆盘之间没有重叠，堆积没有堵住；否则就堵住了。

他们用共轭梯度法求极小值，我们用 FIRE 2.0，两者找的是同一种东西：力处处平衡的构型。没堵住就把所有圆盘按同一比例放大，堵住了就缩小，每次切换方向时把步长减半，直到步长小于十万分之一。最后停下的堆积分数就是这个初态的阈值。

来源：C. S. O’Hern · J. Guénolé

## 阈值是一个分布，盘数越多越窄

每个随机初态给出一个阈值。O’Hern 等人图 5 画出已堵住初态的比例怎样随堆积分数变化，对它求导就得到图 6 的阈值分布。分布的半高全宽在大系统里按式 (3) 减小，图 7 给出 $w_0=0.16\pm0.04$、$\Omega=0.55\pm0.03$。

我们对 32、64、128、256 个盘各取 24 个随机种子，用样本标准差乘 $2\sqrt{2\ln2}$ 估计半高全宽，这一步假设分布是高斯形。结果依次为 0.0259、0.0148、0.0129、0.00654，都落在式 (3) 按误差给出的范围内。平均阈值依次为 0.827、0.835、0.838、0.839，随盘数增加，向图 5(a) 中大系统约 0.84 的位置靠近。

盘数趋于无穷时，宽度趋于零：几乎所有随机初态都在同一个堆积分数堵住。这就是“堵塞点”有明确位置的依据。

$$
w=w_0\,N^{-\Omega},\qquad w_0=0.16\pm0.04,\quad \Omega=0.55\pm0.03
$$

O’Hern 等人式 (3)，只适用于大系统。他们指出，盘数很少时宽度先随盘数增大，过了最大值才按这个幂律减小。

来源：C. S. O’Hern

## 越过阈值，压强怎样增长

记 $\Delta\phi=\phi-\phi_c$。挤过阈值一点，典型的重叠量与 $\Delta\phi$ 成正比，因为多出来的面积要由重叠吸收。第一章说过 $f\propto\delta^{\alpha-1}$；接触数在阈值附近几乎不变，第三章的压强是接触力乘距离之和，所以 $p\propto\Delta\phi^{\alpha-1}$。谐振接触时压强线性增长，Hertz 接触时按 3/2 次方增长。

O’Hern 等人表 I 给出二维双分散系统：谐振 $\psi=1.01$、$p_0=0.34$，Hertz $\psi=1.50$、$p_0=0.27$。我们用 128 个盘、8 个种子，在 $\Delta\phi$ 从 0.001 到 0.1 的范围拟合，得到谐振 $1.039\pm0.021$、$p_0=0.35$，Hertz $1.52\pm0.02$、$p_0=0.233$。指数复现了；Hertz 的系数低于表 I 的误差范围。

$$
p=p_0\,(\phi-\phi_c)^{\psi},\qquad \psi=\alpha-1
$$

表 I 中 $p_0$ 的误差为 ±0.05，$\psi$ 的误差为 ±0.03。上面的论证只说明指数，系数要靠计算。

压强对“超过各自阈值的压缩量”作图，两轴均为对数坐标。圆点：本课程复算的 128 个盘、8 个种子的平均值。虚线：O’Hern 等人表 I 的拟合，谐振接触 $0.34\,\Delta\phi^{1.01}$（青色），Hertz 接触 $0.27\,\Delta\phi^{1.50}$（琥珀色），作为单独的参照。

来源：C. S. O’Hern

## 接触数的标度没有复现

表 I 还给出 $Z-Z_c=Z_0\,\Delta\phi^{\zeta}$，二维谐振 $\zeta=0.49$、$Z_0=3.6$。我们在 128 个盘时得到 $\zeta=0.577\pm0.009$、$Z_0=4.41$，明显偏陡。

Goodrich、Liu 和 Nagel 解释了小系统的问题：当 $p^{1/2}N$ 只有 1 的量级时，接触数的平方根律失效。我们只拟合 $p^{1/2}N\ge3$ 的数据，指数仍然偏陡，所以只能说它在 128 个盘时没有复现，要验证需要更大的系统。

来源：C. S. O’Hern · C. P. Goodrich

## 完整例题：挤过阈值百分之一

问题：二维谐振双分散圆盘，挤到 $\Delta\phi=0.01$，压强和平均接触数约是多少？

用表 I：$p=0.34\times0.01^{1.01}=3.2\times10^{-3}\,\varepsilon/d^2$；$Z=3.98+3.6\times0.01^{0.49}=3.98+0.38=4.36$。

与我们的数值比较。在 64、128、256 个盘的周期性盒子里各取 12 个种子，挤到 $\phi_c+0.01$，平均压强分别为 $(2.62\pm0.22)\times10^{-3}$、$(2.73\pm0.13)\times10^{-3}$、$(2.45\pm0.23)\times10^{-3}$，比表 I 的拟合值低约 15% 到 25%，且不随盘数系统地变化。表 I 的二维数值来自 1024 个盘在一段压缩范围上的整体拟合，单个点差这么多不算矛盾。表 I 的系数应当看作准确到两成左右的估计。

来源：C. S. O’Hern

## 排除假的堵塞：结晶

同样大小的圆盘容易排成六角晶格，堵住的位置会高得多。我们给每个盘算局部六重序，超过 0.85 的算作“像晶体”。挤过阈值 0.01 时，双分散堆积里这类盘平均占 14.5%，最多 21.1%；等大圆盘平均占 64.6%，平均阈值升到 0.859。

双分散堆积只要像晶体的盘超过 35%，就被标记为结晶，不计入统计。所有基准种子都没有超过这个线。实验室的“等大圆盘”预设专门展示这个反例。

来源：C. S. O’Hern

## 到实验里试一试

### [比较谐振和 Hertz 的起点](https://sandboxphysics.com/zh/labs/disk-jamming-compression/)

1. 先预测：刚过起点时，哪种接触定律的压强曲线更平？
2. 播放默认预设，看压强图离开零点后是直线还是向上弯。再选“Hertz 接触”预设，比较两条曲线在起点附近的形状。
3. 选“等大圆盘”预设，读出起点堆积分数和平均局部六重序，与默认预设比较，说明为什么基准统计要排除结晶。

## 练习与解答

1. 把挤压量从阈值之上 0.01 加到 0.02，谐振和 Hertz 接触的压强各变成几倍？

   展开解答

   按表 I 的指数，谐振约 $2^{1.01}=2.01$ 倍，Hertz 约 $2^{1.50}=2.83$ 倍。系数 $p_0$ 在比值里约掉了。

2. 按式 (3)，要让阈值分布的半高全宽小于 0.001，大约需要多少个圆盘？

   展开解答

   $N=(w_0/w)^{1/\Omega}=160^{1/0.55}\approx1.0\times10^{4}$。考虑到 $w_0$ 和 $\Omega$ 的误差，答案可能相差几倍，只能说是一万个左右。

3. 32 个盘的周期性盒子里，单个随机初态的阈值大致会落在什么范围？只做一次能说明大系统的 $\phi_c$ 吗？

   展开解答

   我们测得平均 0.827、标准差 0.011，单次结果大致落在 0.81 到 0.84 之间。它比大系统约 0.84 的值系统地偏低，单次结果的涨落又和这个偏差差不多大。要得到大系统的 $\phi_c$，必须用更大的系统。

[上一章：怎样从接触力算出压强](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/stress-from-contacts/) [下一章：加上摩擦后，剪切怎样让稀一些的颗粒堵住](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/friction-and-shear-jamming/)

## 来源与复算范围

1. [C. S. O’Hern, L. E. Silbert, A. J. Liu and S. R. Nagel, Jamming at zero temperature and zero applied stress: the epitome of disorder, arXiv:cond-mat/0304421v1; Physical Review E 68, 011306 (2003)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0304421v1)

   2003 年 4 月 17 日 v1。式 (1)：软球之间有限程的排斥势。第 II 节：从无穷高温的随机构型出发，在周期性盒子里用共轭梯度法求能量极小，并用能量判断是否未堵塞。图 5 至图 7 与式 (3)：堵住构型所占比例、堵塞阈值的分布，以及分布宽度随粒子数按 −0.55 次方减小。表 I：压强与接触数的指数和系数。图 20：二维堆积的力网络。我们用自己的程序复算了阈值宽度、压强指数和接触数指数；接触数指数在 128 个盘时没有复现。

2. [C. P. Goodrich, A. J. Liu and S. R. Nagel, Finite-size scaling at the jamming transition, arXiv:1204.4915v3; Physical Review Letters 109, 095704 (2012)](https://arxiv.org/abs/1204.4915v3)

   2012 年 6 月 6 日 v3。式 (2)：除整体平移外不留任何零模所需的接触数。式 (3)：要有正的体积模量，还得再多一个接触，所以二维周期性盒子里 N 个盘至少要 2N − 1 个接触。式 (4)、(5)：相应的最少接触数。正文讨论低压时常见幂律失效的有限尺寸交叉。我们在自己生成的阈值堆积上核对了 2N − 1。

3. [J. Guénolé, W. G. Nöhring, A. Vaid, F. Houllé, Z. Xie, A. Prakash and E. Bitzek, Assessment and optimization of the fast inertial relaxation engine (FIRE) for energy minimization in atomistic simulations and its implementation in LAMMPS, arXiv:1908.02038v4 (2020)](https://arxiv.org/abs/1908.02038v4)

   2020 年 1 月 30 日 v4。算法 2：FIRE 2.0，含半隐式 Euler 积分，以及走上坡后退回半步的修正。表 1：本课程使用的默认参数。这篇只提供弛豫方法，与堵塞本身无关。