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title: "剪切下的堆积，下一次会在哪里滑移"
description: "缓慢剪切堵塞堆积，它会一跳一跳地滑移。推导最软的振动模为什么先变软，再在没见过的堆积上检验它能否提前点出要动的盘。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/granular-jamming/predicting-rearrangements/"
last_modified: "2026-10-29"
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[颗粒与堵塞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/)

L4 · 第 7 章

# 剪切下的堆积，下一次会在哪里滑移

Sandbox Physics · 2026-10-29

把一个堵塞堆积的顶部一点一点往旁边推，剪应力平稳上升，然后突然下跌，几个盘滑了出去。滑移之前，盘的位置看不出任何征兆，振动却有：滑移临近时，有一种集体运动的刚度按剩余应变的平方根一路降到零。在最软的几种运动里动得越多的盘，越可能滑出去，命中率接近随机挑的三倍。

## 开始前需要什么

第三章的接触力与应力，第四章“阈值属于具体构型”的观点，对称矩阵的本征值与本征矢，会读双对数坐标图。

- 把准静态剪切描述成一串能量极小值，每个极小值在与鞍点相遇时结束。
- 推导滑移前最低刚度按剩余应变的平方根趋于零，并说明接触张开在什么情况下打破这个规律。
- 在训练时没用过的堆积上，把“会在哪里滑移”的预测与随机猜测、与更简单的猜法比较。

## 慢慢剪：平稳加载，突然滑移

准静态剪切每一步把周期单元的顶部横移一个很小的应变，这里取 $2\times10^{-4}$，然后让圆盘弛豫到最近的能量极小值，再走下一步。没有惯性，也没有温度：堆积始终待在某个极小值里，剪切只是慢慢改变这个极小值的形状。只要它还在，应力就沿一条光滑曲线上升，这一步也能撤回：反向剪回去，每个承载盘都回到原位。

滑移就是这个极小值消失的时刻。圆盘落进另一个极小值，应力下跌，这一步再也撤不回来。在我们 64 个 Hertz 圆盘、$\phi=0.90$ 的堆积里，平稳段的应变中位数是 0.0098，一次滑移中动得最多的盘中位跳动约 0.1 个小盘直径。为了把滑移定位到 $10^{-9}$ 的应变以内，撤不回来的那一步会被一再对半切分，直到区间足够窄。

来源：C. E. Maloney and A. Lemaître

## 为什么总有一个模先变软

沿着即将失稳的那一种集体运动展开能量，坐标记为 $s$。在滑移附近，起作用的最低阶项是 $s$ 的三次项，加上一项随剪切逐渐消失的倾斜。只留这两项，就得到这个模的刚度：

$$
U(s)\approx U_0+b\,(\gamma_c-\gamma)\,s-\frac{a}{3}\,s^{3},\qquad \lambda_{\min}=U''(s_*)=2\sqrt{ab}\,(\gamma_c-\gamma)^{1/2}
$$

当 $\gamma<\gamma_c$ 时，$s_*=-\sqrt{b(\gamma_c-\gamma)/a}$ 处是极小值，$+\sqrt{b(\gamma_c-\gamma)/a}$ 处是鞍点。二者在 $\gamma=\gamma_c$ 相遇，极小值处的曲率，也就是这个模的刚度，按平方根趋于零。Maloney 与 Lemaître 把这种失稳称为折叠（fold）。

来源：C. E. Maloney and A. Lemaître

## 平方根在离滑移多近处成立

只有剩余应变很小时，才是平方根。在我们的 Hertz 堆积里，$\log\lambda_{\min}$ 对 $\log(\gamma_c-\gamma)$ 的局部斜率，在 $3\times10^{-8}$ 到 $3\times10^{-7}$ 之间，288 次滑移的中位数是 0.475；在 $10^{-5}$ 到 $10^{-4}$ 之间只有 0.254，那里展开式的其他项还没有退场。

谐振接触不一样。谐振接触的刚度与重叠多少无关，接触张开的瞬间才一下子掉到零。换成谐振接触，最低刚度往往一直平稳，直到滑移才骤降：只有 12% 的滑移是逐渐变软的，Hertz 接触是 98%。

## 从振动里读出软点

每种集体运动的刚度来自动力学矩阵，即能量对圆盘位置的二阶导数。它的本征矢 $\mathbf e_m$ 是振动模，本征值 $\lambda_m$ 是对应的刚度。先去掉没有承载接触的松动盘，否则每个松动盘都会多出一个刚度为零的模。

Manning 与 Liu（2011）剪切了 2500 个 Hertz 圆盘，$\phi=0.95$。他们从最软的 30 个模里，各取动得最多的 20 个颗粒，拼成一块块“软点”，约占全部颗粒的十分之一。每次重排都落在某一个软点上；他们图 2 的例子，重合分数是 0.64。软点处的接触数比其余部分少 6%，自由体积多 103%，可单凭这些局部量找不到这些软点。

$$
H_{i\alpha,j\beta}=\frac{\partial^{2}U}{\partial r_{i\alpha}\,\partial r_{j\beta}},\qquad P_i=\sum_{m=1}^{N_{\mathrm m}}\left|\mathbf e_{m,i}\right|^{2}
$$

$P_i$ 衡量盘 $i$ 在最软的 $N_{\mathrm m}$ 个模里动得有多厉害。$P_i$ 最大的 $k$ 个盘就是预测。

来源：M. L. Manning and A. J. Liu

## 在没见过的堆积上盲测

我们在更小的堆积上用更简单的分数重做这件事。每个平稳段开始时，点名 $P_i$ 最大的 $k=6$ 个盘。滑移之后，非仿射跳动最大的 6 个承载盘算作移动盘。命中比例 $h$ 是点名的盘里有多少是移动盘。另外两种简单猜法用同样的方式打分：承载接触最少的 6 个盘，和局部压强最低的 6 个盘。

模的个数只在 8 个训练堆积（96 次滑移）上选：1 个模和 2 个模得分 0.276 和 0.278，模越多得分越低，于是取 $N_{\mathrm m}=2$。然后在另外 16 个堆积上跑出 192 次测试滑移。最软的两个模点中了 26% 的移动盘，“接触最少”18%，“压强最低”15%，随机 9%。逐次相减，软模比“接触最少”平均多 0.080，标准误 0.014。192 次里有 44 次，软模一个移动盘也没点中。

这些堆积很小：64 个盘，Manning 与 Liu 用的是 2500 个；我们的分数也不是他们的重合分数，两组百分比不能直接比。更密的堆积（$\phi=0.95$）得 28%，谐振接触也得 28%，随机始终是 9%。

$$
h=\frac{\left|\mathcal P\cap\mathcal R\right|}{k},\qquad \langle h\rangle_{\text{chance}}=\frac{\left|\mathcal R\right|}{N'}
$$

在 $N'$ 个承载盘里随机挑 $k$ 个，每个移动盘被挑中的概率是 $k/N'$，所以平均得分是 $\left|\mathcal R\right|/N'$。

来源：M. L. Manning and A. J. Liu

## 完整例题：给一次滑移打分

打开实验室的默认预设，第一次滑移发生在 $\gamma_c=0.006934$。64 个盘全部承载，所以 $N'=64$。平稳段开始时，最软的两个模点名了 62、36、26、22、23、12 号盘。跳动最大的 6 个盘是 36、10、62、28、60、26 号，最大跳动 0.291 个直径。剪应力从 $2.49\times10^{-4}$ 跌到 $-1.53\times10^{-4}\,\varepsilon/d^{2}$。

第一步，命中比例：62、36、26 号同时出现在两张名单里，$h=3/6=0.5$。“接触最少”（26、32、62、28、12、48）也中了 3 个，“压强最低”（26、12、1、25、32、39）只中 1 个。

第二步，随机基线：$\langle h\rangle=6/64=0.094$。随机挑 6 个盘、至少中 3 个的概率按下式算出来不到 1%。单次滑移碰巧到这个程度很少见，但“接触最少”这次也中了 3 个，一次滑移排不出高下，所以测试要平均 192 次。

第三步，逼近过程：滑移前 $3\times10^{-8}$ 处最低刚度是 $1.44\times10^{-6}$，$3\times10^{-7}$ 处是 $5.60\times10^{-6}$，局部斜率 $\log_{10}(5.60/1.44)=0.59$。再往外一个十倍，到 $3\times10^{-6}$ 处的 $1.73\times10^{-5}$，斜率是 0.49。两段都接近折叠给出的二分之一。

$$
\Pr\!\left(h\ge\tfrac12\right)=\frac{\sum_{j=3}^{6}\binom{6}{j}\binom{58}{6-j}}{\binom{64}{6}}=\frac{642\,264}{74\,974\,368}\approx 0.0086
$$

超几何分布：64 个盘里有 6 个移动盘，随机抽 6 个，中 $j$ 个的组合数是 $\binom{6}{j}\binom{58}{6-j}$。

## 到实验里试一试

### [自己给软模打分](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rearrangement-precursor-test/)

1. 先预测：带绿圈的 6 个盘，会不会就是滑出去的那几个？
2. 播放“软点先垮”。第一次滑移时，数一数有几个绿圈盘同时带上了琥珀色圈，再把刚度图上的曲线和虚线参考线比一比。
3. 让它跑十几次滑移，比较软模柱、随机柱和测试堆积记录下来的白线。再把“用于预测的软模个数”调到 16，重跑一遍。
4. 选“弹簧接触不预警”，看滑移前的刚度图有什么不同。

## 练习与解答

1. 例题中，滑移前 $3\times10^{-6}$ 处的最低刚度是 $1.73\times10^{-5}$。如果严格按平方根下降，$3\times10^{-8}$ 处应是多少？和实测的 $1.44\times10^{-6}$ 比一比。

   展开解答

   剩余应变小 100 倍，刚度小 10 倍，应为 $1.73\times10^{-6}$。实测值低约 17%，与最后一个十倍里略陡的局部斜率 0.59 一致。

2. 一个 64 盘的堆积有 4 个松动盘，6 个移动盘都承载。随机挑 6 个承载盘，平均命中比例是多少？为什么基线不按 64 个盘算？

   展开解答

   6/60 = 0.1。预测和移动盘都只在承载盘里选，基线也必须在同一个集合里算；按 64 个盘算会把基线压到 $6/64\approx0.094$，让每种猜法都显得更好。

3. 为什么换成谐振接触，最低刚度几乎不给逐渐变软的预警？

   展开解答

   谐振接触的二阶导数 $V''=\varepsilon/\sigma^{2}$ 与重叠多少无关，一对盘直到重叠为零都保持全部法向刚度，然后一下子什么也不贡献。滑移若由接触张开触发，刚度就是骤降而不是平方根。Hertz 接触的刚度随重叠的平方根增长，接触张开时它是平滑地淡出的。

4. 模的个数在训练堆积上选，在别的堆积上打分。如果直接在测试滑移上挑，会出什么问题？

   展开解答

   在同一批滑移上从 6 个候选里挑最好的，会偏向碰巧在这批滑移上走运的那个，报出的分数系统偏高。分开的测试堆积给出公平的估计。这里 1 个模和 2 个模在训练集上几乎打平，所以挑哪个本身影响不大。

[上一章：压进去再放出来，堆积记住了什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/memory-and-reversal/) [下一章：逐图读 O’Hern 等人 2003 年的论文，找出堵塞点](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/reading-ohern-2003/)

## 来源与复算范围

1. [C. E. Maloney and A. Lemaître, Amorphous systems in athermal, quasistatic shear, arXiv:cond-mat/0510677v2; Physical Review E 74, 016118 (2006)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0510677v2)

   2005 年 10 月 28 日 v2。第 IV 节：能量极小值与鞍点合并时，弹性段就到了尽头。式 (9)、(10)：沿临界模的位移按剩余应变的平方根增长。图 5(b)：动力学矩阵的最低本征值随事件前剩余应变按平方根减小。我们在自己的剪切堆积上检验了这个平方根趋近。

2. [M. L. Manning and A. J. Liu, Vibrational modes identify soft spots in a sheared disordered packing, arXiv:1012.4822v1; Physical Review Letters 107, 108302 (2011)](https://arxiv.org/abs/1012.4822v1)

   2010 年 12 月 21 日 v1。2500 个 Hertz 圆盘，堆积分数 0.95，准静态剪切。图 2：取最低 30 个振动模中各自位移最大的 20 个颗粒，拼成“软点”。式 (1)：软点与下一次重排的重合分数；图 2 的例子得分 0.64。图 4(a)：最佳软点的得分随事件前剩余应变的变化。正文：软点处接触数少 6%，自由体积多 103%，但单靠这些局部量找不到它们。课程的盲测用更小的堆积和自己选定的阈值。