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title: "压进去再放出来，堆积记住了什么"
description: "比较压缩和卸载两条路径，算清一次循环里壁做的功去了哪里，再看反复压缩的堆积怎样落进一个每轮都相同的循环，以及反向剪切怎样检验剪切堵塞。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/granular-jamming/memory-and-reversal/"
last_modified: "2026-10-29"
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[颗粒与堵塞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/)

L3 · 第 6 章

# 压进去再放出来，堆积记住了什么

Sandbox Physics · 2026-10-29

把盒子压紧再放松，回到原来的堆积分数，圆盘却不在原来的位置。卸载时载荷消失的堆积分数，比压缩时载荷出现的位置高。再压一次，载荷恰好在上次消失的地方出现；几轮之后，许多堆积每一轮都回到完全相同的构型。堆积记住的是它被压过的路径。

## 开始前需要什么

第三章的压强与能量导数，第四章“阈值属于具体构型”的观点，第五章的反向剪切判据。

- 用压缩和卸载两条曲线说明堵塞的起点和终点为什么不同。
- 用每一步的能量变化证明：从未堵塞出发又回到未堵塞的循环，壁做的净功等于弛豫损失的能量。
- 读懂重复循环的数值记录，判断一个堆积是否已经进入每轮相同的循环。

## 载荷出现和消失在不同的位置

实验室的默认循环用 128 个圆盘，从 0.775 压到 0.86 再放回，分 42 步，每步约 0.002。压缩时，第一个有载荷的步在堆积分数 0.789；卸载时，直到 0.805 还有载荷，下一步才消失。我们用同一协议跑了 6 个种子，每个种子都是卸载时载荷消失得更晚：第一轮第一个有载荷的步在 0.789 到 0.805 之间，卸载时最后一个有载荷的步在 0.805 到 0.813 之间。

第四章说过，阈值属于具体的构型。随机初态是一个排得很差的构型，所以很早就堵住；压紧的过程中圆盘重新排列，变成另一个阈值更高的构型。卸载时测到的，是这个新构型的阈值。

来源：C. S. O’Hern

## 壁做的功去了哪里

每一步分两半。先把盒子和所有圆心按比例缩放，这一步没有任何圆盘重新调整，能量的增加就是壁做的功。再让堆积弛豫，能量下降，这部分在模型里被弛豫算法拿走，代表真实材料中的阻尼。

一轮循环从未堵塞出发、回到未堵塞，储存的能量起止都是零，所以壁做的净功等于整轮的弛豫损失。我们在 128 个圆盘、从 0.80 到 0.86 的循环上用 Simpson 积分计算，壁的净功为 $1.48\times10^{-2}\,\varepsilon$，与损失之差为 $-1.2\times10^{-8}\,\varepsilon$。

损失的具体数值依赖步长：步长越小，每步平滑弹性变形造成的损失越小。这个数只能在同一步长下比较。

$$
W_{\mathrm{walls}}=\sum_{\text{steps}}\Delta U_{\mathrm{affine}}=\Delta U_{\mathrm{stored}}+\sum_{\text{steps}}\Delta U_{\mathrm{relax}},\qquad W_{\mathrm{walls}}=-\oint p\,dA\;\;\text{over a closed cycle}
$$

右式就是压强—面积图上回线围出的面积。弛豫只会降低能量，所以损失非负，一整轮循环里壁做的净功也非负。

来源：J. Guénolé

## 反复压几轮，堆积落进一个固定的循环

把同一个堆积在 0.775 和 0.86 之间来回压 5 轮。每个种子的第二轮，载荷都恰好在第一轮卸载时消失的那一步出现。

6 个种子里有 4 个，分别从第 2、2、3、4 轮起，压到 0.86 时圆盘位置与上一轮的均方根差小于事先定好的 $10^{-6}$ 个小盘直径，多数只有 $10^{-13}$ 量级，就是浮点误差：堆积每一轮都回到同一个构型。另外 2 个，起点、消失点和最高压强已经逐轮相同，损失在 3 位有效数字内重复，但第 5 轮的位置仍比第 4 轮移动了 $1.3\times10^{-4}$ 和 $5.2\times10^{-4}$ 个直径，5 轮内没有停下。

进入重复循环后，每轮的损失从第一轮的 $7.7\times10^{-3}$ 到 $2.0\times10^{-2}\,\varepsilon$ 降到 $3.0\times10^{-3}$ 到 $4.9\times10^{-3}\,\varepsilon$。这些损失有一部分来自有限步长，我们没有把它和重新排列的损失分开。这是本课程自己的数值结果，只适用于这个协议和这几个种子。

## 剪切的记忆：反过来剪还撑得住吗

Zhao 等人用同样的“走回头路”检验剪切堵塞。图 2(d) 是 $\phi=0.781$ 的一次测试：先正向剪切到最大应变 $\gamma_{\max}$，再反向剪切，记录压强。图 2(e) 把反向剪切中的最低压强画成 $\gamma_{\max}$ 的函数。

正向剪切不够时，反向一剪，压强就掉到 0.3 N/m 的噪声阈值以下：力网络只记得原来的方向，是脆弱态。正向剪切超过某个最小应变 $\gamma_{SJ}$ 后，反向剪切时压强一直高于阈值，这才算剪切堵塞。最小应变随堆积分数降低而增大。在 0.74 时，剪到稳态也得不到剪切堵塞；在 0.75 时，所需应变约等于到达稳态的应变，作者用一个在下限处发散的公式拟合，同时写明数据里看不清这个发散；下限定在 $\phi_{SJ}=0.745\pm0.005$。

来源：Y. Zhao · D. Bi

## 完整例题：读一份重复循环的记录

种子 2732 的 5 轮记录如下（堆积分数、压强以 $\varepsilon/d^2$ 计，损失以 $\varepsilon$ 计）。这里的起点和消失点指第一个和最后一个有载荷的步。第 1 轮：起点 0.8054，消失点 0.8094，最高压强 0.01742，损失 $8.98\times10^{-3}$。第 2 轮：起点 0.8094，消失点 0.8114，最高压强 0.01613，损失 $9.74\times10^{-3}$，峰值构型相对上一轮移动 0.173 个直径。第 3 轮起：起点、消失点都是 0.8114，最高压强 0.01613，损失 $4.85\times10^{-3}$，峰值构型移动 $5.5\times10^{-14}$ 个直径。

第一步，看起点是否等于上一轮的消失点：第 2、3 轮都是，说明卸载留下的构型就是下一轮的起点。第二步，看峰值构型的移动：第 2 轮还移动了 0.173 个直径，说明压紧过程中仍有圆盘换位；第 3 轮只有 $10^{-14}$ 的量级，是浮点误差，构型已经重复。第三步，看损失：重复后每轮 $4.85\times10^{-3}\,\varepsilon$，平均每个圆盘 $3.8\times10^{-5}\,\varepsilon$。

结论：这个堆积在第 3 轮进入固定循环，判据是峰值构型的移动低于事先定好的百万分之一个直径。种子 2728 的起点、消失点和最高压强逐轮相同，构型却还在漂移，所以判据要比较位置，而不只比较压强。

## 到实验里试一试

### [比较载荷出现和消失的位置](https://sandboxphysics.com/zh/labs/disk-jamming-compression/)

1. 先预测：卸载时载荷消失的堆积分数，比压缩时出现的高还是低？
2. 播放默认预设，在“更多数值与计算方法”里读出本次循环的起点；再看压强图上卸载曲线回到零的位置，比较两者。
3. 暂停后拖动盒角的把手，把盒子往里压过起点再拉回来，重复两次。看压强图上标着“你的路径”的曲线：第二次载荷出现的位置，与第一次消失的位置相比如何？

## 练习与解答

1. 一轮循环从未堵塞出发，又回到未堵塞。为什么壁做的净功不可能为负？

   展开解答

   起止时储存的能量都是零，所以壁的净功等于整轮的弛豫损失。弛豫只沿能量下降的方向走，每一步的损失都不小于零，加起来也不小于零。

2. 种子 2732 的记录显示，压缩时最后一个无载荷的步在 0.8033，第一个有载荷的步在 0.8054。真实的起点在哪个范围内？

   展开解答

   在 0.8033 和 0.8054 之间。要知道得更准，就在这个区间里减小步长重做。实验室给出的起点，是把这一步和下一步的压强连成直线外推到零，并且不低于上一步。

3. Zhao 等人的反向剪切测试中，如果正向剪切的最大应变小于 $\gamma_{SJ}$，反向剪切时会看到什么？

   展开解答

   反向剪切过程中压强会在某处掉到 0.3 N/m 的噪声阈值以下：正向剪切形成的力网络只能承受同方向的载荷，反过来就松开了。如果正向剪切时压强已经高于阈值，论文把它叫作脆弱态；如果连正向剪切都没把压强建立起来，就是未堵塞态。

[上一章：加上摩擦后，剪切怎样让稀一些的颗粒堵住](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/friction-and-shear-jamming/) [下一章：剪切下的堆积，下一次会在哪里滑移](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/predicting-rearrangements/)

## 来源与复算范围

1. [C. S. O’Hern, L. E. Silbert, A. J. Liu and S. R. Nagel, Jamming at zero temperature and zero applied stress: the epitome of disorder, arXiv:cond-mat/0304421v1; Physical Review E 68, 011306 (2003)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0304421v1)

   2003 年 4 月 17 日 v1。式 (1)：软球之间有限程的排斥势。第 II 节：从无穷高温的随机构型出发，在周期性盒子里用共轭梯度法求能量极小，并用能量判断是否未堵塞。图 5 至图 7 与式 (3)：堵住构型所占比例、堵塞阈值的分布，以及分布宽度随粒子数按 −0.55 次方减小。表 I：压强与接触数的指数和系数。图 20：二维堆积的力网络。我们用自己的程序复算了阈值宽度、压强指数和接触数指数；接触数指数在 128 个盘时没有复现。

2. [J. Guénolé, W. G. Nöhring, A. Vaid, F. Houllé, Z. Xie, A. Prakash and E. Bitzek, Assessment and optimization of the fast inertial relaxation engine (FIRE) for energy minimization in atomistic simulations and its implementation in LAMMPS, arXiv:1908.02038v4 (2020)](https://arxiv.org/abs/1908.02038v4)

   2020 年 1 月 30 日 v4。算法 2：FIRE 2.0，含半隐式 Euler 积分，以及走上坡后退回半步的修正。表 1：本课程使用的默认参数。这篇只提供弛豫方法，与堵塞本身无关。

3. [D. Bi, J. Zhang, B. Chakraborty and R. P. Behringer, Jamming by shear, Nature 480, 355–358 (2011)](https://doi.org/10.1038/nature10667)

   只读了摘要。低于各向同性堵塞密度的带摩擦光弹圆盘，仅靠剪切形变就能经过脆弱态进入剪切堵塞态，力网络变得各向异性。课程只按摘要和 Zhao 等人（2019）的转述引用这一结论，没有读全文，也没有复算其数据。

4. [Y. Zhao, J. Barés, H. Zheng, J. E. S. Socolar and R. P. Behringer, Shear-jammed, fragile, and steady states in homogeneously strained granular materials, arXiv:1904.10051v2; Physical Review Letters 123, 158001 (2019)](https://arxiv.org/abs/1904.10051v2)

   2019 年 8 月 14 日 v2。图 1(b)：21 个同心环组成的 Couette 剪切台，以每步 0.6% 的应变剪切 1447 到 2101 个双分散光弹圆盘（直径 1.59 cm 和 1.27 cm，摩擦系数 0.9）。图 2(d)、2(e)：用反向剪切区分脆弱态和剪切堵塞态，压强噪声阈值为 0.3 N/m。正文：能被剪切堵住的最小堆积分数为 0.745 ± 0.005，外推得到的无摩擦堵塞密度为 0.84 ± 0.02。这些是实验数据，我们只读图，没有复算。