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title: "颗粒堵塞：一堆散粒怎样变成固体"
description: "散粒怎样锁成固体：接触力、数接触、堵塞点、摩擦、剪切堵塞、记忆，以及剪切下的滑移，一门连续课程。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/granular-jamming/"
last_modified: "2026-10-30"
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[颗粒与堵塞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/)

FR27 · 连续互动课程

# 颗粒堵塞：一堆散粒怎样变成固体

Sandbox Physics · 2026-10-29

往盒子里倒一把塑料圆盘，再压盖子。起初它们像液体一样互相滑开；再挤一点，整盒圆盘突然撑住了，撑住它的是一张稀疏的接触网络。这门课从两个圆盘出发，一直走到堵塞点和更远的地方。

[从两个圆盘开始](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/contacts-and-force-chains/) 先动手试试

半径为 $R_i$ 和 $R_j$ 的两个软圆盘，圆心相距 $r$。重叠量 $\delta=R_i+R_j-r$ 画得夸大了；箭头是沿圆心连线、大小相等方向相反的推力。原创示意图。

## 从两个圆盘，到堵住的一整盒

第一章求两个重叠圆盘之间的力，再看挤满圆盘的盒子怎样让载荷沿少数几条强路径走。第二章数一数，堆积至少要多少个接触才能开始抵抗。第三章把接触力换算成压强，并和壁上的压强核对。第四章从随机起点找出堵塞点，推出过了堵塞点压强怎样增长。第五章加上摩擦，问为什么只靠剪切也能把堆积堵住。第六章把堆积压紧再放开，看它记住了什么。第七章剪切堵塞堆积，检验最软的振动能否预告它在哪里滑移。最后一章逐图读 O’Hern 等人 2003 年的论文。

需要牛顿定律、胡克定律、平面矢量，会读双对数坐标图。应力张量、标度律和计数论证在第一次用到时再介绍。 [FR27](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/57)

1. 01 · L1

   ## [两个圆盘怎样互相推，一百个圆盘怎样分担载荷](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/contacts-and-force-chains/)

   从重叠量求接触力，解出夹在两壁之间的两个圆盘，再看 128 个圆盘挤紧后，力为什么沿着少数路径走。

2. 02 · L2

   ## [堵住的堆积需要多少个接触](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/counting-contacts/)

   把受力平衡写成方程组，数未知量和方程，推出周期性盒子里的最少接触数 2N′ − 1，再用它解释松动盘和平均接触数接近 4 的原因。

3. 03 · L2

   ## [怎样从接触力算出压强](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/stress-from-contacts/)

   推导二维接触应力公式，证明它等于壁上单位长度的力，也等于能量对面积的导数，并用两个圆盘的例子把三种算法对上。

4. 04 · L3

   ## [堵塞点在哪里，越过它之后压强怎样增长](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/the-jamming-point/)

   用随机初态和二分搜索求出每个堆积的堵塞阈值，看阈值分布怎样随盘数变窄，再推导并检验压强和接触数在阈值之上的标度律。

5. 05 · L3

   ## [加上摩擦后，剪切怎样让稀一些的颗粒堵住](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/friction-and-shear-jamming/)

   写出带摩擦的接触模型，用约束计数说明摩擦为何降低堵塞所需的接触数，再读 Zhao 等人 2019 年怎样用反向剪切区分脆弱态和剪切堵塞态。

6. 06 · L3

   ## [压进去再放出来，堆积记住了什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/memory-and-reversal/)

   比较压缩和卸载两条路径，算清一次循环里壁做的功去了哪里，再看反复压缩的堆积怎样落进一个每轮都相同的循环，以及反向剪切怎样检验剪切堵塞。

7. 07 · L4

   ## [剪切下的堆积，下一次会在哪里滑移](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/predicting-rearrangements/)

   缓慢剪切堵塞堆积，它会一跳一跳地滑移。推导最软的振动模为什么先变软，再在没见过的堆积上检验它能否提前点出要动的盘。

8. 08 · L4

   ## [逐图读 O’Hern 等人 2003 年的论文，找出堵塞点](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/reading-ohern-2003/)

   逐图读这篇论文：构型怎样生成、每个构型的阈值怎样测、阈值分布怎样外推到无限大系统，哪些常数是拟合出来的，哪些我们复现了。

## 沿途的实验

[01 **挤压一盒圆盘** 把 128 个软圆盘压过堵塞点再放回，看接触、压强和力网络怎样出现又消失。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/disk-jamming-compression/) [02 **让脉冲穿过一排颗粒** 给一排珠子中的第一颗一份动能，看脉冲怎样穿过只推不拉的 Hertz 接触。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/granular-impact-chain/) [03 **预测下一次滑移** 缓慢剪切 64 个软圆盘，看最软的模在每次滑移前失去刚度，再统计它事先点中移动盘的比例。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rearrangement-precursor-test/) [04 **只靠剪切堵住松散颗粒** 在堵塞密度以下剪切 128 个带摩擦的圆盘，看力链沿被挤压的对角线长出来，再关掉摩擦或反向剪切。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/frictional-shear-jamming/)

压缩实验模拟两壁之间的无摩擦软圆盘：每一步把盒子压一点，再让圆盘弛豫到所有力平衡。压强和接触数来自模拟；用来比较的发表拟合值单独列在来源里。剪切实验把同样的圆盘放进周期单元；命中率来自模拟，在另外一组堆积上记录的平均值画成参考刻线。剪切堵塞实验给圆盘加上摩擦和滚动；它的压强完全来自模拟，旁边不画任何发表曲线。

## 来源与复算范围

1. [C. S. O’Hern, L. E. Silbert, A. J. Liu and S. R. Nagel, Jamming at zero temperature and zero applied stress: the epitome of disorder, arXiv:cond-mat/0304421v1; Physical Review E 68, 011306 (2003)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0304421v1)

   2003 年 4 月 17 日 v1。式 (1)：软球之间有限程的排斥势。第 II 节：从无穷高温的随机构型出发，在周期性盒子里用共轭梯度法求能量极小，并用能量判断是否未堵塞。图 5 至图 7 与式 (3)：堵住构型所占比例、堵塞阈值的分布，以及分布宽度随粒子数按 −0.55 次方减小。表 I：压强与接触数的指数和系数。图 20：二维堆积的力网络。我们用自己的程序复算了阈值宽度、压强指数和接触数指数；接触数指数在 128 个盘时没有复现。

2. [C. P. Goodrich, A. J. Liu and S. R. Nagel, Finite-size scaling at the jamming transition, arXiv:1204.4915v3; Physical Review Letters 109, 095704 (2012)](https://arxiv.org/abs/1204.4915v3)

   2012 年 6 月 6 日 v3。式 (2)：除整体平移外不留任何零模所需的接触数。式 (3)：要有正的体积模量，还得再多一个接触，所以二维周期性盒子里 N 个盘至少要 2N − 1 个接触。式 (4)、(5)：相应的最少接触数。正文讨论低压时常见幂律失效的有限尺寸交叉。我们在自己生成的阈值堆积上核对了 2N − 1。

3. [L. E. Silbert, D. Ertaş, G. S. Grest, T. C. Halsey, D. Levine and S. J. Plimpton, Granular flow down an inclined plane: Bagnold scaling and rheology, arXiv:cond-mat/0105071v1; Physical Review E 64, 051302 (2001)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0105071v1)

   2001 年 5 月 3 日 v1。第 II 节：带摩擦的接触模型，法向是带阻尼的弹簧，切向是受 Coulomb 条件截断的弹簧，切向与法向刚度之比为 2/7。式 (12)：应力张量等于分支矢量乘接触力之和除以体积，再加动能项。静态堆积只用式 (12) 的接触部分。

4. [J. Guénolé, W. G. Nöhring, A. Vaid, F. Houllé, Z. Xie, A. Prakash and E. Bitzek, Assessment and optimization of the fast inertial relaxation engine (FIRE) for energy minimization in atomistic simulations and its implementation in LAMMPS, arXiv:1908.02038v4 (2020)](https://arxiv.org/abs/1908.02038v4)

   2020 年 1 月 30 日 v4。算法 2：FIRE 2.0，含半隐式 Euler 积分，以及走上坡后退回半步的修正。表 1：本课程使用的默认参数。这篇只提供弛豫方法，与堵塞本身无关。

5. [K. Shundyak, M. van Hecke and W. van Saarloos, Force mobilization and generalized isostaticity in jammed packings of frictional grains, arXiv:cond-mat/0610205v1; Physical Review E 75, 010301(R) (2007)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0610205v1)

   2006 年 10 月 7 日 v1。开头几段：有摩擦时，等静定接触数从 2d 降到 d + 1。式 (1) 与图 1：摩擦力恰好达到 Coulomb 上限的“完全动员”接触，每个多出一个约束，所以每个颗粒上这类接触数至多为 z 减 d + 1。图 2：动员程度的分布分成上限处的一个峰和其下的一段平台。我们没有复算他们的模拟。

6. [D. Bi, J. Zhang, B. Chakraborty and R. P. Behringer, Jamming by shear, Nature 480, 355–358 (2011)](https://doi.org/10.1038/nature10667)

   只读了摘要。低于各向同性堵塞密度的带摩擦光弹圆盘，仅靠剪切形变就能经过脆弱态进入剪切堵塞态，力网络变得各向异性。课程只按摘要和 Zhao 等人（2019）的转述引用这一结论，没有读全文，也没有复算其数据。

7. [Y. Zhao, J. Barés, H. Zheng, J. E. S. Socolar and R. P. Behringer, Shear-jammed, fragile, and steady states in homogeneously strained granular materials, arXiv:1904.10051v2; Physical Review Letters 123, 158001 (2019)](https://arxiv.org/abs/1904.10051v2)

   2019 年 8 月 14 日 v2。图 1(b)：21 个同心环组成的 Couette 剪切台，以每步 0.6% 的应变剪切 1447 到 2101 个双分散光弹圆盘（直径 1.59 cm 和 1.27 cm，摩擦系数 0.9）。图 2(d)、2(e)：用反向剪切区分脆弱态和剪切堵塞态，压强噪声阈值为 0.3 N/m。正文：能被剪切堵住的最小堆积分数为 0.745 ± 0.005，外推得到的无摩擦堵塞密度为 0.84 ± 0.02。这些是实验数据，我们只读图，没有复算。

8. [C. E. Maloney and A. Lemaître, Amorphous systems in athermal, quasistatic shear, arXiv:cond-mat/0510677v2; Physical Review E 74, 016118 (2006)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0510677v2)

   2005 年 10 月 28 日 v2。第 IV 节：能量极小值与鞍点合并时，弹性段就到了尽头。式 (9)、(10)：沿临界模的位移按剩余应变的平方根增长。图 5(b)：动力学矩阵的最低本征值随事件前剩余应变按平方根减小。我们在自己的剪切堆积上检验了这个平方根趋近。

9. [M. L. Manning and A. J. Liu, Vibrational modes identify soft spots in a sheared disordered packing, arXiv:1012.4822v1; Physical Review Letters 107, 108302 (2011)](https://arxiv.org/abs/1012.4822v1)

   2010 年 12 月 21 日 v1。2500 个 Hertz 圆盘，堆积分数 0.95，准静态剪切。图 2：取最低 30 个振动模中各自位移最大的 20 个颗粒，拼成“软点”。式 (1)：软点与下一次重排的重合分数；图 2 的例子得分 0.64。图 4(a)：最佳软点的得分随事件前剩余应变的变化。正文：软点处接触数少 6%，自由体积多 103%，但单靠这些局部量找不到它们。课程的盲测用更小的堆积和自己选定的阈值。