--- title: "圆盘在多厚时屈曲" description: "拉伸能与厚度成正比，弯曲能与厚度的三次方成正比。找出生长的圆盘在哪里离开平面，为什么那不是球冠变便宜的地方，以及能量怎样分配。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/the-thickness-where-a-disc-buckles/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/geometric-elasticity/the-thickness-where-a-disc-buckles/" last_modified: "2026-10-30" --- [几何弹性 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/) L3 · 第 6 章 # 圆盘在多厚时屈曲 非欧板的能量是 $hE_{S}+h^{3}E_{B}$。平盘只付第一项，完美的球冠只付第二项。天真的估计是两者相等时发生转变，对实验中 $K=1$ 的圆盘，就是 $h_{C}=0.163$。实际上平盘更早就撑不住了，在 $h_{B}=0.299$ 处，Efrati 等人给出的是约 0.3。两者之间，圆盘停在一个浅穹顶上，保留一部分拉伸，能量比两个极端都低。再薄下去，穹顶变成球冠，剩下的拉伸能比弯曲能降得更快。 Sandbox Physics · 2026-10-30 这一章 [查看八章课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/) 开始前 第五章的目标度规和无拉伸球冠；第一章里拉伸与 $h$、弯曲与 $h^{3}$ 成正比的标度；求函数的极小值；第二章里稳定性临界的概念。 ## 两种价格，标度不同 Efrati、Sharon 和 Kupferman（2009）把薄非欧板的弹性能化成两个积分。$E_{S}$ 衡量中面长度偏离目标度规多少，$E_{B}$ 衡量曲面弯了多少。两者都与厚度无关，厚度只决定它们的权重：$h$ 和 $h^{3}$。 两个极端很好定价。平盘不能弯，能量是 $hE_{S}^{\infty}$，$E_{S}^{\infty}$ 是最佳平面状态的拉伸量；实验圆盘在 $K=1$、$\nu=0.5$ 时为 0.01434。第五章的球冠恰好具有目标长度，能量是 $h^{3}E_{B0}$，$E_{B0}=0.541$。 $$ E=\int_{r_{0}}^{r_{1}}\bigl(h\,w_{S}+h^{3}\,w_{B}\bigr)\,\Phi\,dr=h\,E_{S}+h^{3}E_{B},\qquad E_{B0}=\tfrac{2}{3}(1+\nu)\bigl(\cos\sqrt{K}r_{0}-\cos\sqrt{K}r_{1}\bigr) $$ ## 天真的交叉点 令两种价格相等，得 $h_{C}=(E_{S}^{\infty}/E_{B0})^{1/2}$。比它厚，平盘比球冠便宜；比它薄，球冠更便宜。代入实验的数值，$h_{C}=(0.01434/0.541)^{1/2}=0.163$。 两种价格都随曲率增长：生长较弱时 $E_{S}^{\infty}$ 正比于 $K^{2}$（算出的比例系数为 0.0135），$E_{B0}$ 正比于 $K$。两者一比，$h_{C}$ 随 $\sqrt{K}$ 增长：生长越强，越厚的圆盘也会弯。 $$ h_{C}=\Bigl(\frac{E_{S}^{\infty}}{E_{B0}}\Bigr)^{1/2}=\Bigl(\frac{0.01434}{0.541}\Bigr)^{1/2}=0.163 $$ ## 平盘实际在哪里撑不住 平盘内部的应变并不均匀。Efrati 等人的凝胶边缘收缩得比中心多，偏短的外圈挤压圆盘内部。板内的压缩靠弯曲来抵抗，相对于应力，这种抵抗随 $h^{2}$ 增长。薄到一定程度，受挤的区域就弯出平面，和第二章的薄条一样。 把平盘的所有微小离面形状都试一遍，就得到这个临界。能量的二阶变分里，应力项正比于 $h$ 且为负，弯曲项正比于 $h^{3}$ 且为正，所以 $h$ 低于 $h_{B}$ 时平盘失稳。用 40、80、160 段网格分别得到 0.29905、0.29911、0.29912；Efrati 等人给出约 0.3，并指出它大于 $h_{C}$。和 $h_{C}$ 一样，它也随 $\sqrt{K}$ 变化：$K=0.5$ 时 $h_{B}/\sqrt{K}$ 为 0.297，$K=1$ 时为 0.299。 $$ \delta^{2}E=h\,Q_{\sigma}[\zeta]+h^{3}Q_{B}[\zeta],\qquad h_{B}^{2}=\max_{\zeta}\frac{-Q_{\sigma}[\zeta]}{Q_{B}[\zeta]}\approx0.299^{2}\quad(K=1,\ \nu=0.5) $$ ## 两个厚度之间的折中 厚度在 0.163 和 0.299 之间时，尽管完整的球冠更贵，平盘仍然不稳定。出路是一个浅穹顶：稍微弯一点，缓解最严重的压缩，其余部分仍以拉伸承受。它的能量比两个极端都低。 圆盘再变薄，穹顶就向球冠升去。仍会留下一些拉伸：在自由边缘附近，穹顶稍微拉伸一点来减少弯曲，这条边带随圆盘变薄而变窄。 ## 能量并不平分 也许有人以为两种能量最后会差不多，就像许多物理系统里动能和势能平分那样。Efrati 等人发现并没有这种均分，实验也一样。从 $h=0.04$ 到 0.01，单位厚度的拉伸能下降 32 倍，从 $4.88\times10^{-5}$ 到 $1.50\times10^{-6}$；单位厚度的弯曲能下降 13 倍，从 $6.25\times10^{-4}$ 到 $4.66\times10^{-5}$。拉伸所占比例从 7.2% 降到 3.1%。 在对数坐标上，两者下降的斜率分别是 2.51 和 1.87。可见很薄的薄片几乎与目标几何等距：形状由几何选定，材料只决定价格。 ## 漂浮薄膜上的同一笔账 Diamant 和 Witten（2011）研究了另一种必须在弯曲和另一种能量之间取舍的薄片：漂在液面上、从两端受推的薄膜。波数为 $q$ 的起伏，弯曲代价为 $Bq^{4}$，把液体抬高的重力代价为 $\rho g$（都按振幅平方计），推力释放 $Pq^{2}$。 $P(q)=Bq^{2}+\rho g/q^{2}$ 在某个 $q$ 处最小，薄膜就在那里最先屈曲，给出他们的波长 $\lambda=2\pi(B/\rho g)^{1/4}$ 和临界推力 $P=2(B\rho g)^{1/2}$。和圆盘一样，临界来自弯曲代价与另一种能量的较量，单看哪一种都定不下答案。 $$ P(q)=Bq^{2}+\frac{\rho g}{q^{2}}\ \Rightarrow\ q^{4}=\frac{\rho g}{B},\qquad \lambda=2\pi\Bigl(\frac{B}{\rho g}\Bigr)^{1/4},\qquad P_{\min}=2\,(B\rho g)^{1/2} $$ 完整例题 ## 刚越过临界的那张圆盘 取预设“刚刚越过屈曲临界”：$h=0.26$、$K=1$、$\nu=0.5$。保持平坦要花 $0.26\times0.01434=3.73\times10^{-3}$；弯成完整球冠要花 $0.26^{3}\times0.541=9.52\times10^{-3}$，是前者的 2.55 倍。可由于 $0.26