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title: "Kresling 折纸与它的无应力形状"
description: "一个由三角形折成的圆筒，只要折痕允许在自然长度下出现第二种形状，就会合住不开。推出这个形状、它何时存在，以及 90 度起始扭转为何没有刚度。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/geometric-elasticity/kresling-folds-and-stress-free-states/"
last_modified: "2026-10-30"
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[几何弹性 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/)

L3 · 第 7 章

# Kresling 折纸与它的无应力形状

Kresling 单元是用三角形连起来的两个多边形，Yasuda 等人（2017）把纸面换成沿折痕的弹簧。折痕长度同时取决于高度和扭转角，所以可能不止一个形状能让所有折痕回到自然长度。算下来，只要高度公式给出实数，就在扭转 $\pi-2\theta_{0}$ 处存在第二个所有折痕都处于自然长度的形状。这样的单元是双稳的；没有这个形状，它就弹回去，或者一路塌到两板相碰。$\theta_{0}=90^{\circ}$ 时两个形状合二为一，第一下按压感受不到刚度。

Sandbox Physics · 2026-10-30

这一章

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开始前

第三章的结论：结构受推时，保持力一降到零，它就脱离推压物；余弦定理和恒等式 $\sin^{2}\beta-\sin^{2}\alpha=\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha)$；二元函数的偏导数。

## 一个由弹簧组成的圆筒

把一条纸折成一圈三角形再首尾相接，就得到一个越扭越短的圆筒。Yasuda 等人称之为三角化圆柱折纸。纸面在折叠时会翘曲、磨损，他们干脆只留下折痕：$n$ 条谷折痕长 $a$，$n$ 条峰折痕长 $b$，每条都是劲度 $k$ 的线性弹簧。弹簧两端连着两个正 $n$ 边形，顶点都在半径 $R$ 的圆上。

单元有两个坐标：相对起始高度 $h_{0}$ 的压缩量 $u$，以及顶板相对起始角 $\theta_{0}$ 多转的角度 $\phi$。每条折痕都是一个直角三角形的斜边，两条直角边是高度和圆上的一根弦，这就是论文方法部分的式 1。储存的能量是各弹簧能量之和。

$$
a^{2}=(h_{0}-u)^{2}+4R^{2}\sin^{2}\alpha,\quad b^{2}=(h_{0}-u)^{2}+4R^{2}\sin^{2}\beta,\quad \alpha,\beta=\frac{\theta_{0}+\phi}{2}\mp\frac{\pi}{2n},\quad U=\frac{nk}{2}\bigl[(a-a_{0})^{2}+(b-b_{0})^{2}\bigr]
$$

## 第二个无应力形状

不储存能量的形状要求同时 $a=a_{0}$、$b=b_{0}$。两条折痕公式相减，高度就消掉了：$b^{2}-a^{2}=4R^{2}\sin(\alpha+\beta)\sin(\pi/n)$。它必须保持初值，所以 $\sin(\alpha+\beta)$ 也必须保持。除了起点本身，唯一的办法是 $\alpha+\beta=\pi-\theta_{0}$，即总扭转角 $\pi-\theta_{0}$，多转 $\phi_{2}=\pi-2\theta_{0}$。

把这个扭转角代回任一条折痕，就得到高度 $H_{2}$。只有 $H_{2}^{2}>0$ 时这个形状才存在。弹簧能量最低就是零，所以这个形状是第二个极小：单元是双稳的，单靠几何就能合住。

$$
\phi_{2}=\pi-2\theta_{0},\qquad H_{2}^{2}=h_{0}^{2}+4R^{2}\Bigl[\sin^{2}\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}-\frac{\pi}{2n}\Bigr)-\cos^{2}\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}+\frac{\pi}{2n}\Bigr)\Bigr]
$$

## 三种单元

Yasuda 等人做的单元取 $R=90\ \mathrm{mm}$、$n=5$。$(h_{0},\theta_{0})=(150\ \mathrm{mm},40^{\circ})$ 时沿能量谷有两个极小；$(90\ \mathrm{mm},46^{\circ})$ 时能量只升不降。公式与此一致：前者 $H_{2}=49.2\ \mathrm{mm}$，后者 $H_{2}^{2}=-10108\ \mathrm{mm^{2}}$，没有第二个形状。

还有第三种结局，在公式之外。没有第二个形状时，能量仍可能沿着谷一路下降，单元就一直塌到两板相碰。单靠弹簧，两块板可以互相穿过、变成镜像单元，真实的圆筒做不到。实验因此自己加了一条论文桁架里没有的假设：一个很硬的接触，让两板至少相距 0.1 R，也就是 9 mm。

## 没有刚度的起点

让扭转自由，往下按。单元最初的抵抗就是起点处的轴向刚度，等于能量 Hessian 的行列式除以其扭转分量。把折痕导数写出来，分子正比于 $(\sin2\alpha_{0}-\sin2\beta_{0})^{2}$，当 $\alpha_{0}+\beta_{0}=\pi/2$，即 $\theta_{0}=\pi/2$ 时为零，与 $h_{0}$、$R$、$n$、$k$ 都无关。Yasuda 等人指出这种零刚度模式与 $k$ 和 $h_{0}$ 无关，证明放在补充材料里。

第二个形状能解释这一点。$\theta_{0}=90^{\circ}$ 时 $\phi_{2}=0$、$H_{2}=h_{0}$：两个无应力形状重合，起点附近能量随压缩量的四次方增长。$92^{\circ}$ 时两者相距 3.2 mm、$4^{\circ}$，刚度为 $6.86\times10^{-4}\,nk$，是单稳单元 0.610 nk 的 0.112%、双稳单元 0.853 nk 的 0.080%。论文对带 $9.7^{\circ}$ 校正角的样机给出 0.26% 和 0.18%；两组数都极小。

$$
\frac{k_{\mathrm{axial}}}{nk}=\frac{\bigl(a_{u}b_{\phi}-a_{\phi}b_{u}\bigr)^{2}}{a_{\phi}^{2}+b_{\phi}^{2}}\ \propto\ \bigl(\sin2\alpha_{0}-\sin2\beta_{0}\bigr)^{2}=0\quad\text{当}\quad\theta_{0}=\frac{\pi}{2}
$$

## 一直折到薄片碰到自己

Diamant 和 Witten（2011）在另一种薄片里遇到了同样的结局。他们那张漂在液面上的薄膜屈曲成一道褶，越推越深。褶的精确解一直算到褶与自身相碰之后，相碰时推力约为 0.040、端部位移约为 5.6（他们的单位）；再往后，解会穿过自身，没有物理意义。

两种情形里，单靠弹性能都不知道薄片不能穿过自己。模型必须另加这条规则，运动在哪里停下，就取决于它。

完整例题

## 咔嗒合上的那个单元

取 $h_{0}=150\ \mathrm{mm}$、$\theta_{0}=40^{\circ}$、$n=5$、$R=90\ \mathrm{mm}$。于是 $\pi/2n=18^{\circ}$，折痕初始长度 $a_{0}=(150^{2}+32400\sin^{2}2^{\circ})^{1/2}=150.13\ \mathrm{mm}$、$b_{0}=(150^{2}+32400\sin^{2}38^{\circ})^{1/2}=186.50\ \mathrm{mm}$。

$H_{2}^{2}$ 里的方括号为 $\sin^{2}2^{\circ}-\cos^{2}38^{\circ}=0.00122-0.62096=-0.61974$，所以 $H_{2}^{2}=22500-20080=2420\ \mathrm{mm^{2}}$，$H_{2}=49.2\ \mathrm{mm}$，顶板再转 $180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。总扭转角为 $140^{\circ}$ 时，$32400\sin^{2}52^{\circ}+2420=22539=a_{0}^{2}$，$32400\sin^{2}88^{\circ}+2420=34781=b_{0}^{2}$。实验里，夹具在压缩 $0.233\,h_{0}=34.9\ \mathrm{mm}$ 处松手，那里要保持住就得往上拉；单元最后停在 49.2 mm、$100^{\circ}$。

$$
H_{2}=\bigl(22500-32400\times0.61974\bigr)^{1/2}=49.2\ \mathrm{mm},\qquad \phi_{2}=100^{\circ}
$$

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 按之前先判断：$h_{0}=140\ \mathrm{mm}$、$\theta_{0}=40^{\circ}$ 的单元会咔嗒合上、弹回去，还是一路压扁？用条件 $H_{2}^{2}>0$ 来判断。
2. 在 Kresling 实验里依次播放“双稳态单元咔嗒合上”“单稳态单元弹回原形”和“起初几乎没有刚度”。然后把高度设为 140 mm、扭转角设为 40°，亲手按压顶板。
3. 用 $H_{2}^{2}$ 解释每种结局，并说明 92° 的单元为什么几乎不抵抗第一下按压，往里压却又很硬。

[按压一个 Kresling 折纸圆筒](https://sandboxphysics.com/zh/labs/kresling-origami/)

Kresling 实验采用 Yasuda 等人的桁架模型，把每条折痕当成线性弹簧，两块板相距 9 mm 时由接触挡住。

## 试着自己解释

### 1. $\theta_{0}=40^{\circ}$、$n=5$、$R=90\ \mathrm{mm}$ 时，最矮多高的单元仍是双稳的？

展开答案与解释

双稳要求 $h_{0}^{2}>32400\times0.61974=20080\ \mathrm{mm^{2}}$，即 $h_{0}>141.7\ \mathrm{mm}$。145 mm 的预设刚好在它之上，$H_{2}=30.7\ \mathrm{mm}$；140 mm 时没有第二个形状，实验中的单元会一直塌到接触面上。

### 2. 证明 (90 mm, 46°) 的单元没有第二个无应力形状。

展开答案与解释

$\pi/2n=18^{\circ}$，方括号为 $\sin^{2}5^{\circ}-\cos^{2}41^{\circ}=0.0076-0.5696=-0.5620$，$H_{2}^{2}=8100-18208=-10108\ \mathrm{mm^{2}}$。没有哪个实数高度能让两条折痕同时复原，所以沿能量谷能量只升不降，单元弹回去。

### 3. 保持 $(150\ \mathrm{mm},40^{\circ})$，但改用六边形，$n=6$。单元还是双稳的吗？

展开答案与解释

此时 $\pi/2n=15^{\circ}$，方括号为 $\sin^{2}5^{\circ}-\cos^{2}35^{\circ}=-0.6634$，$H_{2}^{2}=22500-21495=1005\ \mathrm{mm^{2}}$，$H_{2}=31.7\ \mathrm{mm}$。仍然双稳，但折得更扁，因为双稳的高度门槛升到了 146.6 mm。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Diamant & Witten, Compression induced folding of a sheet: an integrable system, Physical Review Letters 107, 164302 (2011), arXiv:1107.5505v1](https://arxiv.org/abs/1107.5505v1)

   完整读过：液面上薄片的褶皱波长，精确的折叠形状（式 12），压力随推入量按二次式精确下降，以及对称折叠自身接触的位置，此时压力约为 0.040（论文的单位）。

2. [Yasuda, Tachi, Lee & Yang, Origami-based tunable truss structures for non-volatile mechanical memory operation, Nature Communications 8, 962 (2017), arXiv:1702.05402v1](https://arxiv.org/abs/1702.05402v1)

   读过正文和方法部分：含两种折痕长度的桁架模型及其储存能量（方法部分式 1、2），四个样机 (90 mm, 46°)、(150 mm, 40°)、(140 mm, 92°)、(119 mm, 0°)，多边形半径 90 mm，校准角 9.7°；起始扭转角为直角时的零刚度单元，刚度比 0.26% 和 0.18%，以及劲度 3.32 kN/m 的弹簧。补充材料没有读。

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