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title: "平面容不下的生长"
description: "生长让圆盘每一圈的长度都比平面所需的短，圆盘只能拉伸或弯曲。从圆周长读出曲率，看平的薄片为什么做不到。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/geometric-elasticity/growth-that-no-flat-sheet-can-hold/"
last_modified: "2026-10-30"
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[几何弹性 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/)

L2 · 第 5 章

# 平面容不下的生长

各处不均匀的生长，告诉每一小块该有多长，而不是该放在哪里。假如生长让圆盘每一圈都短于 $2\pi r$，半径却保持不变，这正是球面上的长度。高斯证明，曲面的弯曲程度单凭长度就能读出来。平面不弯，所以平的圆盘不可能具有这些长度：它要么在面内拉伸，要么弯出平面，变成恰好具有这些长度的一块球面。实验中要求 $K=1$ 的圆盘，可选的球冠高 0.541。

Sandbox Physics · 2026-10-30

这一章

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开始前

第一章里拉伸与弯曲的比较；弧长和圆周长；二阶导数；某一节还会用到：半径为 $R$ 的球面在各个方向弯得一样。

## 生长给的是长度，不是形状

Efrati、Sharon 和 Kupferman（2009）从一块凝胶圆盘讲起：它边缘收缩得多，中心收缩得少。每一小块沿厚度方向收缩得一样，所以凝胶没有理由向上或向下弯。它得到的是相邻点之间一套新的“理想距离”，即目标度规。

如果空间中有某个曲面具有这些距离，薄片就能取那个形状，中面没有应变。如果没有这样的曲面，薄片无论取什么形状，总有地方受应变。Efrati 等人把这种薄片叫作非欧板，把它的弹性能写成两项：相对目标度规的拉伸能，加上弯曲能。

## 从圆周长读出曲率

设想一个圆盘，沿半径的距离不变，但半径 $r$ 处那一圈的周长应为 $2\pi\Phi(r)$。目标度规就是 $d\bar{s}^{2}=dr^{2}+\Phi^{2}d\theta^{2}$，即 Efrati 等人的式 4.1，它的高斯曲率为 $K=-\Phi''/\Phi$。平的薄片上 $\Phi=r$，$K=0$。

实验取 $\Phi=\sin(\sqrt{K}\,r)/\sqrt{K}$，各处 $K$ 相同。$r$ 较小时，每一圈比 $2\pi r$ 短 $Kr^{2}/6$ 的比例。在薄片上拿直尺和卷尺量一量，就能求出 $K$。

$$
d\bar{s}^{2}=dr^{2}+\Phi(r)^{2}\,d\theta^{2},\qquad K=-\frac{\Phi''}{\Phi},\qquad \Phi=\frac{\sin(\sqrt{K}\,r)}{\sqrt{K}}\approx r\Bigl(1-\frac{Kr^{2}}{6}\Bigr)
$$

## 平的薄片为什么做不到

高斯证明：曲面只弯不拉时，高斯曲率不会改变，因为它完全由曲面内量出的长度决定。平的薄片 $K=0$，只弯不拉，怎么也弯不出 $K=1$。如果躺平，它就必须拉伸。

半径为 $1/\sqrt{K}$ 的球面恰好具有目标长度：沿球面离极点 $r$ 的那一圈，半径正是 $\sin(\sqrt{K}\,r)/\sqrt{K}$。圆盘只要变成这个球面上的一个环带，也就是球冠，就不必拉伸。球冠仍是弯的，仍然储存能量：Efrati 等人强调，非欧板不存在无应力的状态。它的镜像，即翻过来的球冠，长度相同、弯曲相同，是同样好的选择。

## 弯曲的薄片不肯被压平

薄片一旦弯起来，同样的道理让它变得很硬。把半径为 $R$ 的球壳向内推 $w$，每一圈都缩短 $w/R$ 的比例。这就是拉伸，代价与 $Eh\,(w/R)^{2}$ 成正比，远大于把平板弯同样多。

Pandey 等人（2014）在描述球冠振动的式 9 里用的正是这一项，研究对象是能从桌上跳起来的跳跳碗。实验里把球冠翻面时，能量先升到球冠的约六倍，因为中间的形状保不住目标长度。

$$
\rho_{s}h\,\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}+B\,\nabla^{4}w+\frac{Eh}{R^{2}}\,w=0
$$

完整例题

## 长足之后的实验圆盘

实验的圆盘是 $0.1\le r\le1.1$ 的圆环，要求 $K=1$。外缘应长 $2\pi\sin1.1=5.600$，平的外缘在半径 1.1 处长 $2\pi\times1.1=6.912$，目标短了 19.0%，与小曲率估计 $Kr^{2}/6=20.2\,\%$ 相近。目标面积 $2\pi(\cos0.1-\cos1.1)=3.402$，比平圆环的 3.770 少 9.8%。

无拉伸的选择，是单位球面上离极点 0.1 到 1.1 之间的环带，高 $H_{0}=\cos0.1-\cos1.1=0.541$。实验里，薄圆盘预设最终的穹顶高度是这个球冠的 0.999。Efrati 等人凝胶的 $K=0.11\ \mathrm{cm^{-2}}$，相当于半径 $1/\sqrt{0.11}=3.02\ \mathrm{cm}$ 的球面。

$$
\frac{2\pi\sin1.1}{2\pi\times1.1}=\frac{5.600}{6.912}=0.810,\qquad H_{0}=\cos0.1-\cos1.1=0.541
$$

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 播放“薄圆盘长成球冠”之前先猜：圆盘会升到球冠的全高 $H_{0}=0.541$，还是远低于它？翻过来的球冠能量更高、更低，还是一样？
2. 在非欧板实验里先播放“薄圆盘长成球冠”，再播放“球冠一下翻面”。比较最后的穹顶高度，以及翻面前后的能量读数。
3. 用高斯的结论和球面上圆圈的半径 $\sin(\sqrt{K}\,r)/\sqrt{K}$，解释薄圆盘为什么几乎正好停在球冠上，镜像球冠的能量又为什么相同。

[让平的圆盘长成穹顶](https://sandboxphysics.com/zh/labs/non-euclidean-plate/)

圆盘实验在 80 个径向单元上，随给定的生长逐帧求 Efrati、Sharon 与 Kupferman 轴对称能量的平衡形状。

## 试着自己解释

### 1. Efrati 等人的凝胶 $K=0.11\ \mathrm{cm^{-2}}$。沿薄片量，离中心 2 cm 的那一圈有多长？

展开答案与解释

$2\pi\sin(0.3317\times2)/0.3317=11.66\ \mathrm{cm}$，平的薄片上是 $4\pi=12.57\ \mathrm{cm}$，短了 7.2%。估计值 $Kr^{2}/6=7.3\,\%$ 很接近，因为 $\sqrt{K}\,r=0.66$ 仍然不大。

### 2. 预设“轻微生长，浅浅的球冠”要求 $K=0.3$。无拉伸球冠多高？外缘短了多少？

展开答案与解释

$H_{0}=(\cos0.0548-\cos0.6025)/0.5477=0.319$。外缘目标长 $2\pi\sin(0.6025)/0.5477=6.501$，平的是 6.912，短 5.9%，所以这个圆盘只需升起很少。

### 3. 一张纸能卷成圆筒而不拉伸，却包不住一个球。用高斯曲率解释这两件事。

展开答案与解释

圆筒只在一个方向弯，两个主曲率之积，即高斯曲率，为零，与平纸相同。球面 $K=1/R^{2}>0$，高斯定理不允许不改变长度就到达它，所以纸只能起皱或撕开。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Pandey, Moulton, Vella & Holmes, Dynamics of snapping beams and jumping poppers, EPL 105, 24001 (2014), arXiv:1310.3703v2](https://arxiv.org/abs/1310.3703v2)

   连同补充材料完整读过：动力学梁方程与积分形式的胡克定律（式 1、2），d/S 的三个区间与 S 形分支上的力（式 3），线性稳定性问题（式 4、5），增长率 24.113 与临界附近的近似式（式 6、7），振荡频率 42.38 和 44.36，弹跳玩具的壳方程（式 9），以及图 1 至图 5。

2. [Efrati, Sharon & Kupferman, Elastic theory of unconstrained non-Euclidean plates, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 57, 762 (2009), arXiv:0810.2411v1](https://arxiv.org/abs/0810.2411v1)

   完整读过：非欧板的定义，以及它为什么不能既平又无应变（第 3 节）；能量等于拉伸项乘 h 加弯曲项乘 h 的三次方；轴对称参考度规与能量（式 4.1、4.2）；约 0.3 的屈曲厚度、更小的交叉厚度以及能量不平分（4.2 节，图 4.1、4.2）；还有靠不均匀收缩获得每平方厘米 0.11 高斯曲率的凝胶圆盘。

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