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title: "夹紧的薄条在欧拉载荷下屈曲成拱"
description: "把夹紧薄条的两端推近，它先保持平直，到欧拉载荷才拱起来。推出屈曲临界值和拱高。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/geometric-elasticity/euler-buckling-of-a-clamped-strip/"
last_modified: "2026-10-30"
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[几何弹性 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/)

L2 · 第 2 章

# 夹紧的薄条在欧拉载荷下屈曲成拱

两端被推近时，夹紧的薄条先靠压缩来缩短。压力一旦达到欧拉载荷 $4\pi^{2}B/L^{2}$，平直的薄条就撑不住了，之后再多的缩短都变成拱，而压力保持不变。用可拉伸度来表示，临界点在 $d/S=4\pi^{2}\approx39.5$。实验里深拱的约束度是临界值的 7.6 倍，拱起长度的 8.9%。

Sandbox Physics · 2026-10-30

这一章

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开始前

第一章介绍的可拉伸度 $S$ 和薄条能量；$\cos$ 与 $\sin$ 的导数；以及这样一个观念：静止的系统处在任何微小形变都不能再降低能量的位置。

## 多出来的长度去了哪里

长度以薄条长度 $L$ 为单位，夹具位于 $x=\pm\tfrac12$，在那里保持 $w=0$ 和 $w'=0$。两端推近 $d$，$w(x)$ 是横向挠度，向上为正。

弯过的薄条比两端之间的直线长。斜率很小时，一小段的长度是 $\sqrt{1+w'^{2}}\,dx\approx(1+\tfrac12w'^{2})\,dx$。光是形状就用掉了 $\tfrac12\int w'^{2}dx$ 的缩短量，剩下的才压缩中面。胡克定律把这部分剩余应变换成压力，以 $B/L^{2}$ 为单位记作 $\tau^{2}$。这就是 Pandey 等人（2014）的式 2 沿薄条积分的结果。

$$
S\,\tau^{2}=d-\frac12\int_{-1/2}^{1/2}w'^{2}\,dx
$$

## 平直薄条在什么载荷下撑不住

受压静止的薄条满足静力梁方程：四阶导数来自弯曲，二阶导数来自压力作用在倾斜的小段上。它就是 Pandey 等人的式 1 去掉时间导数和压头之后的样子。

试一试夹紧形状 $w=\tfrac12w_{0}(1+\cos2\pi x)$。它在 $x=\pm\tfrac12$ 处满足 $w=w'=0$；代入方程得 $\tfrac12w_{0}\cos2\pi x\,[(2\pi)^{4}-\tau^{2}(2\pi)^{2}]=0$。只有当 $\tau^{2}=4\pi^{2}$ 时才可能有非零的拱，这就是夹紧薄条的欧拉载荷，换成普通单位是 $4\pi^{2}B/L^{2}$。

薄条平直时，全部缩短量都用来压缩，$\tau^{2}=d/S$。只要 $d/S<4\pi^{2}$，它就保持平直。Pandey 等人把 $d-4\pi^{2}S$ 解释为压缩尽了力之后还剩下的缩短量。

$$
\frac{d^{4}w}{dx^{4}}+\tau^{2}\frac{d^{2}w}{dx^{2}}=0,\qquad w=\tfrac12w_{0}(1+\cos2\pi x)\;\Rightarrow\;\tau^{2}=4\pi^{2}
$$

## 拱有多高

越过临界点后，压力停在欧拉值，胡克定律就把压缩量固定在 $4\pi^{2}S$，其余都要由拱来消化。拱形满足 $\tfrac12\int w'^{2}dx=\pi^{2}w_{0}^{2}/4$，由 $4\pi^{2}S=d-\pi^{2}w_{0}^{2}/4$ 得到下面的拱高。

第一章的能量给出同样的结论。以 $B/L$ 为单位，拱的能量是 $4\pi^{2}d-8\pi^{4}S$，平直薄条是 $d^{2}/2S$。两者之差是一个完全平方除以 $2S$：只要拱存在，它就更便宜，两者在临界点相等。

$$
w_{0}=\frac{2}{\pi}\bigl(d-4\pi^{2}S\bigr)^{1/2},\qquad U_{\text{平直}}-U_{\text{拱}}=\frac{\bigl(d-4\pi^{2}S\bigr)^{2}}{2S}
$$

完整例题

## 实验里的三道拱

深拱预设取 $S=7.5\times10^{-5}$、$d=0.0225$，所以 $d/S=300$。欧拉压缩量是 $4\pi^{2}S=2.96\times10^{-3}$，只占缩短量的 13%。拱高 $w_{0}=\tfrac{2}{\pi}(0.0225-0.00296)^{1/2}=0.0890$：100 mm 长的薄条拱起 8.9 mm。它的能量是 0.830（单位 $B/L$），比平直薄条的 3.375 低 4.07 倍。

浅拱预设取 $S=3\times10^{-4}$、$d=0.018$：$d/S=60$，$w_{0}=0.0500$。“刚刚屈曲”预设取 $d=0.0135$：$d/S=45$，刚好高于 39.5，$w_{0}=0.0259$。这时拱只省下 1.5% 的能量，后面几章会看到，三道拱里它最敏感。

$$
\frac{d}{S}=300:\;w_{0}=0.0890,\qquad\frac{d}{S}=60:\;w_{0}=0.0500,\qquad\frac{d}{S}=45:\;w_{0}=0.0259
$$

## 水面上的薄片屈曲方式不同

夹紧薄条屈曲的载荷由它自己的长度决定，屈曲后载荷不再变化。漂在液面上的薄片则不管多长，都在由弯曲刚度和液体决定的载荷下屈曲：单位宽度上是 $2(BK)^{1/2}$，其中 $K=\rho g$。Diamant 和 Witten（2011）证明，此后褶皱汇聚成一道折痕，压力按 $P=2-\Delta^{2}/16$ 精确下降（用他们的单位）。

本章用的是小斜率梁方程。Pandey 等人拿实验去比较的是允许大斜率的 Kirchhoff 杆模型；实验室用小斜率形式，只要拱高远小于长度就足够准确，三个预设都满足这一点。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 保持 $h/L=0.06$，把端部缩短量从 1.35% 降到 1.0%。预测 $d/S$，薄条还是拱吗？
2. 选“刚刚屈曲：慢吞吞的突跳”，把“端部缩短量（占长度的百分比）”降到 1.0%，再调回 1.2% 以上。
3. 用临界值 $d/S=4\pi^{2}$ 和拱高公式解释拱在哪里消失，以及约束度读数为什么与滑块成正比。

[压一道夹紧的拱，直到它突跳](https://sandboxphysics.com/zh/labs/arch-snap-through/)

拱实验在 48 段网格上求解含中线拉伸的夹紧梁方程，由一片只能压、不能拉的刀片在中点推压。

## 试着自己解释

### 1. $h/L=0.03$ 的薄条两端推近长度的 0.5%，会屈曲吗？拱有多高？

展开答案与解释

$d/S=0.005/7.5\times10^{-5}=66.7>39.5$，会屈曲。拱高为 $\tfrac{2}{\pi}(0.005-0.00296)^{1/2}=0.0287$，以长度为单位。

### 2. 薄条屈曲以后，压力为什么不再增长？

展开答案与解释

拱形只能平衡欧拉载荷 $\tau^{2}=4\pi^{2}$。多出的缩短量都通过 $\tfrac12\int w'^{2}dx$ 被更高的拱消化，中面应变也就停在 $4\pi^{2}S$，压力随之不变。

### 3. 证明拱的能量 $4\pi^{2}d-8\pi^{4}S$ 等于屈曲薄条的弯曲能加拉伸能。

展开答案与解释

代入拱高，弯曲能是 $\pi^{4}w_{0}^{2}=4\pi^{2}(d-4\pi^{2}S)$；拉伸能是 $(4\pi^{2}S)^{2}/2S=8\pi^{4}S$。两者相加得 $4\pi^{2}d-16\pi^{4}S+8\pi^{4}S=4\pi^{2}d-8\pi^{4}S$。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Pandey, Moulton, Vella & Holmes, Dynamics of snapping beams and jumping poppers, EPL 105, 24001 (2014), arXiv:1310.3703v2](https://arxiv.org/abs/1310.3703v2)

   连同补充材料完整读过：动力学梁方程与积分形式的胡克定律（式 1、2），d/S 的三个区间与 S 形分支上的力（式 3），线性稳定性问题（式 4、5），增长率 24.113 与临界附近的近似式（式 6、7），振荡频率 42.38 和 44.36，弹跳玩具的壳方程（式 9），以及图 1 至图 5。

2. [Diamant & Witten, Compression induced folding of a sheet: an integrable system, Physical Review Letters 107, 164302 (2011), arXiv:1107.5505v1](https://arxiv.org/abs/1107.5505v1)

   完整读过：液面上薄片的褶皱波长，精确的折叠形状（式 12），压力随推入量按二次式精确下降，以及对称折叠自身接触的位置，此时压力约为 0.040（论文的单位）。

[上一章 薄片为什么宁可弯曲，也不肯拉长](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/why-thin-sheets-bend-instead-of-stretch/) [下一章 把拱一路按下去，直到它突跳](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/pushing-an-arch-until-it-snaps/)