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title: "看不见重粒子，怎样算它留下的作用？"
description: "在一个重标量模型中完整推导树级匹配，计算两个展开阶次和精确余项，并找出低能近似的失效范围。"
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last_modified: "2026-10-26"
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[规范理论与 EFT](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/)

L3 · 第 4 章

# 看不见重粒子，怎样算它留下的作用？

Sandbox Physics · 2026-10-26

能量不足以直接产生一个重粒子时，它仍能通过虚交换改变轻粒子的散射。把重传播子的低能展开逐项写成局部相互作用，就得到有效场论。每多留一阶，就多保留一点随能量变化的信息。

## 开始前需要什么

复数振幅、导数与几何级数。相对论不变量在本章定义；积分掉场的推导需要分部积分。可先读振幅展开，再回看作用量。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/yang-mills-higgs/)

- 由传播子读出两个匹配系数及其量纲。
- 用精确余项检验截断精度。
- 区分树级能量展开与量子环展开。

## 只选一个可以追到底的散射过程

取两种可区分的轻实标量 $\phi,\chi$ 和一个重实标量 $S$。轻粒子在本模型中无质量；重粒子质量为 $M$。相互作用为 $\mathcal L_{\rm int}=-S(g_1\phi^2+g_2\chi^2)/2$。每个 $g_i$ 具有一个质量量纲，自然单位下可用 TeV 表示。

研究 $\phi\phi\to\chi\chi$，质心能量为 $E$，Mandelstam 不变量 $s=E^2$。这个粒子种类与耦合安排在树级只给出一个 $s$ 道重交换。将振幅约定为下面的实函数。它是树级模型的完整振幅，不包含环修正或重粒子宽度。

$$
\mathcal A_{\rm full}(s)=\frac{g_1g_2}{M^2-s}=\frac{\alpha}{1-x},\qquad \alpha=\frac{g_1g_2}{M^2},\quad x=\frac{s}{M^2}
$$

振幅与两个新变量均无量纲。极点附近需要超出这个树级模型的处理，本课程扫描保持在极点以下。

## 用短程作用替代传播

当 $|x|<1$，将分母展开成几何级数。最低阶只记住一个常量，下一阶记住能量平方项，再下一阶加入能量四次项。匹配就是要求有效描述在所保留的阶次，与完整模型给出同一个低能振幅。

写 $\mathcal A=C_0+C_2s+\cdots$，便读出 $C_0=g_1g_2/M^2$ 和 $C_2=g_1g_2/M^4$。前者无量纲，后者具有逆质量平方的量纲。不要仅凭“有效场论”就把第一个算符叫作六维算符：本模型四个标量构成的首项具有四维，增加两个导数才升到六维。

$$
\mathcal A_N(s)=\alpha\sum_{n=0}^{N}x^n,\qquad \mathcal A_0=\alpha,\quad \mathcal A_1=\alpha(1+x)
$$

此处的阶数只指数学能量展开。所有这些表达式仍在树级，并没有计算一环。

$$
\mathcal A_{\rm full}-\mathcal A_N=\frac{\alpha x^{N+1}}{1-x},\qquad \frac{\mathcal A_{\rm full}-\mathcal A_N}{\mathcal A_{\rm full}}=x^{N+1}
$$

将有限和乘以分母，中间各项两两抵消，便得到精确余项。这是检验数值实现的独立解析结果。

来源：Aneesh V. Manohar

## 在作用量里把重场消去

把两个轻场组成源 $J=(g_1\phi^2+g_2\chi^2)/2$。重场的二次作用量在分部积分后为 $-S(M^2+\Box)S/2-SJ$。先求它的经典驻值，再代回去，得到一个包含逆微分算符的作用。低能时继续展开这个逆算符，便成为一串局部项。

这一步的物理含义是：保留轻场时，重场跟随轻源的低频变化。每多加两个导数，就保留更细一点的变化。这里 $\Box=\partial_t^2-\nabla^2$，对总四动量平方为 $s$ 的平面波给出 $-s$，所以作用量中的交替符号与振幅中的同号展开相容。

$$
S_{\rm cl}=-(M^2+\Box)^{-1}J,\qquad \Delta\mathcal L_{\rm eff}=\frac12J\frac{1}{M^2+\Box}J=\frac{J^2}{2M^2}-\frac{J\Box J}{2M^4}+\cdots
$$

这是树级消元。这个仅有重场二次项和线性源的模型也可作精确高斯积分，其行列式不依赖轻场，只改真空归一化。轻场环和混合环的匹配仍须另外计算。

## 例题：能量升高，少算多少

令 $M=2\,\mathrm{TeV}$、$\alpha=0.4$，先选 $E=1\,\mathrm{TeV}$。有 $x=0.25$，完整振幅为 $0.533333\ldots$。最低阶给 $0.4$，下一阶给 $0.5$，再下一阶给 $0.525$。相对误差依次是 $25\%$、$6.25\%$ 和 $1.5625\%$。

下面把能量继续往上推。低能区每增加一阶，曲线明显贴近；接近重尺度时，增加一项的收益缩小。判断范围应先定容许误差，再决定阶次和最高能量。

纵轴：振幅 $\mathcal A$ 横轴：能量比 $E/M$

- 完整树级模型
- 最低阶
- 下一阶
- 保留两项修正

按本章标量模型绘制的原创理想参考图，耦合比取 0.4，横轴在重极点前停止。曲线是解析预测；配套实验另有模拟观测。

理想振幅的解析参考；重质量为 2 TeV，耦合比为 0.4。表格不是随机采集记录。

| 能量比 $E/M$ | $\mathcal A_{\rm full}$ | $\mathcal A_0$ | $\mathcal A_1$ | $\mathcal A_2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $0.25$ | $0.426667$ | $0.400000$ | $0.425000$ | $0.426563$ |
| $0.50$ | $0.533333$ | $0.400000$ | $0.500000$ | $0.525000$ |
| $0.75$ | $0.914286$ | $0.400000$ | $0.625000$ | $0.751563$ |

## 匹配尺度不是扫描能量

匹配通常在重尺度附近选一个重整化尺度 $\mu$，把完整理论与有效理论的低能结果对齐。实验能量 $E$ 则说明你正在散射多快的粒子。这两个尺度承担不同任务。

本模型只保留树级，匹配系数没有重整化对数，也没有需要随尺度演化的系数。移动一个标有“匹配尺度”的滑块，不应凭空改变它。第六章会单独计算一个真正含量子运行的已发表例子。这里主要检查能量范围、展开阶次和遗漏项。

## 把推理带进实验

### [让近似自己暴露失效范围](https://sandboxphysics.com/zh/labs/heavy-mediator-eft/)

1. 先用精确余项预测：若振幅相对误差要小于百分之一，最低阶与下一阶各允许多高的能量比？
2. 拖动能量探针，比较完整模型与两个阶次。记录越过容许误差的位置。
3. 固定重质量和随机种子，保存模拟振幅记录。分别保留低能端和加入高能端后拟合，比较拟合偏移与遗漏项的方向。观测量是实振幅加高斯噪声。

## 练习与解释性答案

1. 最低阶和下一阶怎样满足百分之一的相对振幅误差？

   展开解释

   最低阶要求 $x<0.01$，即 $E/M<0.1$。下一阶要求 $x^2<0.01$，即 $E/M<\sqrt{0.1}\approx0.316$。等号处恰好达到百分之一。

2. 若把两个有质量量纲的耦合固定，只把重质量加倍，最低阶振幅怎样变？

   展开解释

   减为四分之一，因为耦合乘积不变、分母变成四倍。若固定的是无量纲耦合比，结论会不同；说明控制条件是这道题的关键。

3. 振幅保留到下一阶，直接把它平方，得到的是严格同阶的振幅模方吗？

   展开解释

   平方包含更高阶项。若振幅模方也只保留到 $x$，应把 $\alpha^2(1+x)^2$ 截断为 $\alpha^2(1+2x)$。使用未截断平方可以作为另一种近似，但必须交代选择。

[上一章：比较规则为什么也会相互作用？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/yang-mills-higgs/) [下一章：换一套算符，约束为什么看起来更紧了？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/basis-and-inference/)

## 来源与复算范围

推导、表格和图由本课程编写。下面列出实际核读的位置，并区分原文结果与教学扩展。数值示例属于模型参考或明确标出的合成观测，没有复制实验数据集或原文图。

1. [David Tong, Gauge Theory (2018 lecture notes)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory/gt.pdf)

   第 2.1—2.1.3 节（联络与 Wilson 环）、2.7.3 节（Higgs 相）、3.1.1—3.2.2 节（二维异常与 Ward 恒等式）、4.2.1 节（链端点）及 4.3.1—4.3.3 节（格点费米子）；印刷页码 26—37、105—108、122—139、207—210、220—228。

2. [Aneesh V. Manohar, Introduction to Effective Field Theories, arXiv:1804.05863v1 (2018)](https://arxiv.org/html/1804.05863v1)

   第 3.5 与第 4 节（积分掉自由度与幂次计数）、5.5—5.7 节（匹配）、5.10.1 节 PDF 式 (5.51)—(5.60)（QCD 运行与算符混合）、6.2—6.3 节（场重定义）。标量散射算例由本课程推导。已知对数的边界展开用于检查原文运行因子的截断，不计算有限硬匹配。