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title: "普通导数为什么认不出同一个物理态？"
description: "从一次相位变换推导协变导数，再用电荷守恒理解规范固定与 Ward 恒等式各自解决什么问题。"
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last_modified: "2026-10-26"
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[规范理论与 EFT](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/)

L2 · 第 2 章

# 普通导数为什么认不出同一个物理态？

Sandbox Physics · 2026-10-26

普通导数会把局域相位刻度的变化也算进去。加上一项规范势，就能把这部分扣除，比较真正属于物理态的变化。这种改过的导数叫协变导数。它把上一章逐条链的相位换算变成连续空间里的运算。

## 开始前需要什么

第一章的相位与链变量；一元微分和乘积求导。偏导数只让一个坐标变化，其余坐标保持不动。末节涉及量子振幅，只要求把它看作计算探测概率的复数。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/local-phase-links/)

- 用乘积求导检验协变导数的变换。
- 说明规范固定为什么不能改变场强。
- 用电流守恒解释纵向光子为何不提供新的可观测振幅。

## 一次求导，多出了一项

在连续时空中，把带电复标量场写作 $\psi(x)$，电荷为 $q$。取自然单位 $\hbar=c=1$。现在选一个依赖位置的实函数 $\alpha(x)$，令场乘上 $e^{iq\alpha(x)}$。求导时，指数因子也要参与乘积求导。

多出的那一项只来自我们新选的相位刻度。若直接拿普通导数计算能量，便会把刻度的变化当成物理态的变化。需要一个能跟着局部刻度一起变换的比较规则。

$$
\partial_\mu(e^{iq\alpha}\psi)=e^{iq\alpha}\bigl(\partial_\mu\psi+iq(\partial_\mu\alpha)\psi\bigr)
$$

下标 $\mu$ 表示时间或某个空间方向。多出的项正比于该方向的刻度变化率。

## 用规范势补上比较规则

引入规范势 $A_\mu$，定义 $D_\mu=\partial_\mu-iqA_\mu$。为了抵消刚才多出的项，规范势应增加 $\partial_\mu\alpha$。把两条变换一起代入，协变导数的结果只乘上与场相同的相位。

这种“跟着一起变”的性质叫协变。于是 $|D_\mu\psi|^2$ 不依赖规范选择，可以用来写物质场的动能。场强则由两个方向比较的次序差给出：先沿一个方向，再沿另一个方向，与反过来走的结果可能不同。

$$
A_\mu^\prime=A_\mu+\partial_\mu\alpha,\qquad D_\mu^\prime\psi^\prime=e^{iq\alpha}D_\mu\psi
$$

先定义场与电荷的符号约定，再据此确定规范势的变换，正负号便不会靠记忆猜。

$$
[D_\mu,D_\nu]\psi=-iqF_{\mu\nu}\psi,\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu
$$

括号表示两个运算顺序之差。规范函数的二阶混合导数抵消，场强保持不变。

$$
U_{ij}=\exp\!\left[-iq\int_i^j A_\mu\,dx^\mu\right]
$$

本章采用的链变量从站点 j 搬运到 i，积分方向从 i 指向 j。离散相位转角等于电荷乘连续规范函数，和第一章的端点变换一致。

来源：David Tong

## 选一个方便计算的代表

若同一个场强对应许多规范势，求解方程时便可以选一种较方便的写法。例如 Lorenz 规范要求 $\partial_\mu A^\mu=0$。这叫规范固定。它限制代表的选取，不能把有场强的情况变成没有场强。满足 $\Box\alpha=0$ 的残余变换仍保持这个条件。

看一个具体例子。在平面内取 $A_x=0$、$A_y=Bx$，磁场垂直纸面，大小为常数 $B$。选择 $\alpha=-Bxy/2$，新势变成对称形式。两个势的箭头分布明显不同，旋度却相同。

$$
(A_x,A_y)=(0,Bx)\longrightarrow\left(-\frac{By}{2},\frac{Bx}{2}\right),\qquad \partial_xA_y-\partial_yA_x=B
$$

这两种写法描述同一个均匀磁场。对任意闭合曲线，它们给出的有向磁通也相同。

在同一个点比较两套势。仅作解析参考，单位随所选磁场和长度单位确定。

| 位置 | 第一套势 | 第二套势 | 磁场 |
| --- | --- | --- | --- |
| $(x,y)=(2,1)$ | $(0,2B)$ | $(-B/2,B)$ | $B$ |

## 从局部变换走到守恒关系

电流 $j^\mu$ 与规范势的耦合包含 $\int d^4x\,A_\mu j^\mu$。变换规范势后，对新增项作分部积分。如果边界项消失，变化量正比于电流散度。局部规范不变性因此要求电流守恒。

在量子理论中，相关函数之间也有这样的关系，统称 Ward–Takahashi 恒等式。最直观的后果出现在外部光子上：给偏振矢量加一个沿光子四动量的分量，散射振幅不变。这个额外分量对应规范冗余。

写外部光子振幅为 $\mathcal A=\epsilon_\mu\mathcal M^\mu$，动量为 $k^\mu$。外部光子与其余物理外态均在壳、对应电流无异常时，完整计算满足 $k_\mu\mathcal M^\mu=0$；故改变 $\epsilon_\mu\to\epsilon_\mu+\beta k_\mu$ 不改变振幅。这常用来查漏掉的图。它要求完整的同一阶计算；任意删去一张图可能破坏抵消。

$$
\delta S_{\mathrm{int}}=\int d^4x\,(\partial_\mu\alpha)j^\mu=-\int d^4x\,\alpha\,\partial_\mu j^\mu
$$

这是经典层面的推导。量子恒等式还要求调节和量子测度保持对应对称性；异常分支会讨论这个条件。

## 把推理带进实验

### [把连续推导带回四条链](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gauge-links/)

1. 预测一个随位置缓慢变化的相位刻度会怎样改变相邻链。
2. 改动局域相位，记录势或链相角与闭环。比较“各处数值改变”和“闭环相位不变”能否同时发生。
3. 用本章的乘积求导解释，为什么只改振幅而不改链变量，会出现额外的物理相位差。

## 练习与解释性答案

1. 若 $\alpha(x)$ 为常数，普通导数还会多出一项吗？

   展开解释

   不会。常数的导数为零。问题出在逐点变化的相位刻度；这也解释了从全局相位走到局域相位为什么需要新结构。

2. 在表中的两套势里，哪一套更接近“真正的势”？

   展开解释

   两套都可以用。它们的场强和闭环相位相同，选择取决于边界条件和计算便利。势不是完全任意的，允许的规范变换仍须遵守边界要求。

3. 某个振幅计算给出 $k_\mu\mathcal M^\mu\ne0$。这足以证明发现了量子异常吗？

   展开解释

   不足以。应先检查漏图、符号、外态条件和调节方法。只有在说明哪些对称性由调节保持、哪些无法同时保持，并完成相应量子推导后，才能讨论异常。

[上一章：换一套相位刻度，粒子会改变运动吗？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/local-phase-links/) [下一章：比较规则为什么也会相互作用？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/yang-mills-higgs/)

## 来源与复算范围

推导、表格和图由本课程编写。下面列出实际核读的位置，并区分原文结果与教学扩展。数值示例属于模型参考或明确标出的合成观测，没有复制实验数据集或原文图。

1. [David Tong, Gauge Theory (2018 lecture notes)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory/gt.pdf)

   第 2.1—2.1.3 节（联络与 Wilson 环）、2.7.3 节（Higgs 相）、3.1.1—3.2.2 节（二维异常与 Ward 恒等式）、4.2.1 节（链端点）及 4.3.1—4.3.3 节（格点费米子）；印刷页码 26—37、105—108、122—139、207—210、220—228。

2. [Aneesh V. Manohar, Introduction to Effective Field Theories, arXiv:1804.05863v1 (2018)](https://arxiv.org/html/1804.05863v1)

   第 3.5 与第 4 节（积分掉自由度与幂次计数）、5.5—5.7 节（匹配）、5.10.1 节 PDF 式 (5.51)—(5.60)（QCD 运行与算符混合）、6.2—6.3 节（场重定义）。标量散射算例由本课程推导。已知对数的边界展开用于检查原文运行因子的截断，不计算有限硬匹配。