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title: "换一套算符，约束为什么看起来更紧了？"
description: "同时变换系数、预测和协方差，检查物理不确定度是否不变，并诊断换基底时产生的伪约束。"
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last_modified: "2026-10-26"
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[规范理论与 EFT](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/)

L3 · 第 5 章

# 换一套算符，约束为什么看起来更紧了？

Sandbox Physics · 2026-10-26

同一个预测可以用不同算符组合来写。换基底会改变系数的数值和误差椭圆，却不应改变同一观测的不确定度。若约束突然收紧，先检查系数、协方差和先验有没有一起变换。

## 开始前需要什么

矩阵乘法、线性函数与方差。上一章提供散射振幅的例子；这里的二维模型独立可算。协方差指两个误差共同偏向一侧的平均程度。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/heavy-field-matching/)

- 为一个二维线性模型变换预测向量和系数。
- 检验同一观测的均值与方差保持不变。
- 判断重置先验是否改变了物理假设。

## 改变坐标，不改变预测

先把归一化的低能振幅写成 $y(x)=c_0+c_1x$。这里 $x$ 是无量纲能量变量；两个系数也无量纲。用行向量 $r=(1,x)$ 与列向量 $c=(c_0,c_1)^T$，预测就是 $y=rc$。

现在选可逆矩阵 $T$，定义新系数 $c^\prime=Tc$。原系数等于 $T^{-1}c^\prime$，代回预测，便确定新预测行向量 $r^\prime=rT^{-1}$。这是普通坐标变换，实验本身没改。

$$
c^\prime=Tc,\qquad r^\prime=rT^{-1},\qquad y=r^\prime c^\prime=rc
$$

若作用量写成系数与算符向量的内积，新算符向量应按逆转置变换。不能只改一个系数的名称。

## 误差椭圆也要跟着变

记系数均值为 $\bar c$，协方差为 $\Sigma=\langle(c-\bar c)(c-\bar c)^T\rangle$。把每个误差向量乘以 $T$，其外积左右各多一个矩阵，协方差便作合同变换。

现在计算同一观测的方差。新预测行向量带一个逆矩阵，新协方差带一个正矩阵，相乘时它们抵消。图上椭圆变长、变斜，物理预测的误差却不动。判断实验多知道了多少，要比较同一个物理预测。

$$
\bar c^\prime=T\bar c,\qquad \Sigma^\prime=T\Sigma T^T
$$

均值和协方差必须使用同一次坐标变换；相关项也必须保留。

$$
\operatorname{Var}(y)=r\Sigma r^T=r^\prime\Sigma^\prime r^{\prime T}
$$

这是比较两套基底时应检验的量。行列式和椭圆面积会随坐标单位改变。

## 一个有数字的剪切变换

设原均值为 $(1,2)^T$，两个误差独立，标准差分别为 $0.2$ 与 $0.3$。取剪切变换 $c_0^\prime=c_0+c_1$、$c_1^\prime=c_1$。新均值是 $(3,2)^T$，协方差的两个对角元为 $0.13,0.09$，非对角元为 $0.09$。

在 $x=0.2$ 比较同一个观测。原写法 $c_0+0.2c_1$ 给出 $1.4$，新写法 $c_0^\prime-0.8c_1^\prime$ 也给出 $1.4$。新协方差中的相关项恰好抵消了一部分对角贡献，方差都等于 $0.0436$。

解析参考。最后一行故意漏做协方差变换，用来诊断伪变化。

| 计算 | 均值 | 方差 | 标准差 |
| --- | --- | --- | --- |
| 原基底 | $1.4$ | $0.0436$ | $0.208806$ |
| 完整变换 | $1.4$ | $0.0436$ | $0.208806$ |
| 改预测向量、沿用旧协方差 | $1.4$ | $0.0976$ | $0.312410$ |

## 把先验重置，就换了问题

假设原来给每个系数独立、同宽的高斯先验。换基底后把先验重新设为同样的独立高斯，看起来很自然，实际上挑选了另一组物理函数。原先的圆经过剪切会变成椭圆；再画一个圆就没有沿用原假设。

若数据为 $d=Xc+\epsilon$，设计矩阵必须变成 $X^\prime=XT^{-1}$。高斯似然的二次型随后不变。若还要比较完整概率密度，变量替换的 Jacobian 也要保留；归一化密度随坐标体积变换，概率本身保持不变。

一般有效场论还会使用场重定义与运动方程，删除对所研究散射不独立的算符。这比有限维可逆换坐标更进一步，需要保持相同截断阶次，并一起变换全部相关项。一般冗余算符的删除，需要在同一阶完成相应的场论推导。

来源：Aneesh V. Manohar

## 把这个检查用在一次拟合上

先选择实际要比较的散射能量，再比较该能量处的预测带。接着改变基底，检查中心和宽度。最后故意漏掉协方差变换，看看哪里出了变化。这比比较两个系数的独立误差条更容易指出错误。

换基底也不能补救模型遗漏。若高能端已经超出低能展开范围，即使所有矩阵都变换正确，同一个偏置预测仍会在两套基底中保持一致。下一章分别处理这个偏置和对未知高能理论的正性要求。

## 把推理带进实验

### [追踪同一个预测](https://sandboxphysics.com/zh/labs/operator-basis/)

1. 先预测：剪切误差椭圆后，固定能量处的预测带该不该改变？
2. 拖动基底参数，记录物理预测及其标准差。选择两个明显不同的基底，保存结果。
3. 打开故意遗漏协方差变换的比较，再判断差异来自坐标选择还是来自改变了统计假设。把结论写成可供别人检查的一条等式。

## 练习与解释性答案

1. 在原例中改取 $x=0$，同一观测的新表达是什么？

   展开解释

   原观测是 $c_0$，新表达为 $c_0^\prime-c_1^\prime$。方差是 $0.13+0.09-2(0.09)=0.04$，与原基底相同。

2. 把一个系数的单位缩小一百倍，误差数字也缩小一百倍，这算约束变强吗？

   展开解释

   不算。预测向量中的相应分量会增大一百倍，物理预测和它的误差不变。约束强弱需要比较同一个物理量。

3. 你收到两套基底的拟合结果，中心预测一致、预测带却不同。最先索取什么？

   展开解释

   索取完整协方差矩阵、基底变换、设计矩阵和先验定义。只给边缘误差无法重建相关项，通常不足以检查预测带。

[上一章：看不见重粒子，怎样算它留下的作用？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/heavy-field-matching/) [下一章：数据越精确，低能理论就越可靠吗？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/gauge-effective-theory/truncation-and-positivity/)

## 来源与复算范围

推导、表格和图由本课程编写。下面列出实际核读的位置，并区分原文结果与教学扩展。数值示例属于模型参考或明确标出的合成观测，没有复制实验数据集或原文图。

1. [David Tong, Gauge Theory (2018 lecture notes)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory/gt.pdf)

   第 2.1—2.1.3 节（联络与 Wilson 环）、2.7.3 节（Higgs 相）、3.1.1—3.2.2 节（二维异常与 Ward 恒等式）、4.2.1 节（链端点）及 4.3.1—4.3.3 节（格点费米子）；印刷页码 26—37、105—108、122—139、207—210、220—228。

2. [Aneesh V. Manohar, Introduction to Effective Field Theories, arXiv:1804.05863v1 (2018)](https://arxiv.org/html/1804.05863v1)

   第 3.5 与第 4 节（积分掉自由度与幂次计数）、5.5—5.7 节（匹配）、5.10.1 节 PDF 式 (5.51)—(5.60)（QCD 运行与算符混合）、6.2—6.3 节（场重定义）。标量散射算例由本课程推导。已知对数的边界展开用于检查原文运行因子的截断，不计算有限硬匹配。