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title: "把恒星、气体和暗晕的引力加起来"
description: "从有符号径向力到总圆轨速度，推导NFW与平核球晕的质量，并区分理想薄指数盘与原生有限厚度盘。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/galaxy-rotation-curves/adding-starlight-gas-and-a-halo/"
last_modified: "2026-11-05"
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[星系旋转曲线与质量分解](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galaxy-rotation-curves/)

星系旋转曲线 · L2

# 把恒星、气体和暗晕的引力加起来

Sandbox Physics · 2026-11-05

质量分解先算每一部分的径向引力，再把它们相加。几条速度曲线的高度不能直接相加，因为圆周加速度取决于速度平方。

## 开始前需要什么

先读“先分清球体与圆盘的引力”。需要平方根、指数与对数；球晕积分会逐步展开，薄盘的特殊函数用于数值计算。

## 一颗测试粒子同时受到几种拉力

设气体、恒星盘与球晕在半径 $R$ 处的内向加速度分别为 $g_g,g_d,g_h$。牛顿引力满足叠加原理；测试粒子感受到的是它们的和。给每项乘上同一个半径，可把它们写成速度平方量纲的贡献。

资料表常把这些贡献开平方后列成等效速度。它们描述“如果只有这一部分引力，圆轨会需要怎样的速度”，不是三群物质各自正在流动的速度。恒星盘的原生一列先用单位质量光度比计算，再由所选质量光度比缩放。

把恒星盘质量光度比在太阳单位下的数值记作 $\Upsilon_d$，气体等效速度记作 $V_g$，单位质量光度比下的恒星列记作 $V_d$。本课程选取无核球对象，便先不加核球项。SPARC气体列已经乘过含氦修正，读取后不再重复乘 $1.33$。

$$
v_c^2=V_g|V_g|+\Upsilon_d V_d|V_d|+v_h^2,\qquad v_h^2=\frac{G M_h(<R)}R
$$

绝对值保留原生等效速度的符号。总和为正，才支持这个半径处的实数圆轨速度。

对应阅读：Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

## 负的气体项表示一部分力向外

圆环外侧的气体可以把盘内测试点向外拉。原生资料用负的等效速度标记这种情形。读取这些列时，要先保留每项的力方向。

例题取 $V_g=-20\,\mathrm{km\,s^{-1}}$、$V_d=80\,\mathrm{km\,s^{-1}}$、$\Upsilon_d=0.5$ 与 $v_h=100\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。先算各项：气体 $-400$，恒星 $3200$，球晕 $10000$，单位都是 $(\mathrm{km\,s^{-1}})^2$。总和为 $12800$，开平方得到 $v_c=113.137\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。

若把负气体项也平方成正数，就会得到 $116.619\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。如果有符号总和不大于零，则所指定的场在该半径不支持这类圆轨；不能把负数取绝对值后继续画轨道。

再单看恒星盘：把 $\Upsilon_d$ 从 $0.25$ 增至 $1$，恒星引力增至四倍，恒星等效速度增至两倍。总速度的倍数还要把原来的气体与晕项一起重新计算。

对应阅读：Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

## NFW尖峰的速度为何仍趋向零

NFW模型用尺度密度 $\rho_s$ 和尺度半径 $r_s$ 描述球晕，令 $x=R/r_s$。它的密度在小半径处大致与半径成反比；尺度密度并不是有限的中心密度。这个中心上升的形状称为尖峰。

在球壳质量积分里换用无量纲半径，积分变为 $\int_0^x t/(1+t)^2\,dt$。把分子拆成 $t=(1+t)-1$，就能分别积分成对数与倒数，再代入上下限。

$$
\rho_{\rm NFW}(R)=\frac{\rho_s}{x(1+x)^2},\qquad M_{\rm NFW}(<R)=4\pi\rho_s r_s^3\left[\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\right]
$$

密度用 $\mathrm{M}_\odot\,\mathrm{kpc}^{-3}$、尺度用 $\mathrm{kpc}$，质量的单位便是 $\mathrm{M}_\odot$。这里的 $\ln$ 为自然对数。

对应阅读：Navarro, Frenk & White (1997), fixed astro-ph/9611107v1 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

## 平核晕与尖峰晕在小半径处怎样分开

先从密度看：中心附近 $\rho(R)\simeq\rho_s r_s/R$，一个薄球壳的质量是 $4\pi R^2\rho(R)\,dR\propto R\,dR$，累加后便随 $R^2$ 增长。精确质量式中的NFW括号在小 $x$ 时也相应趋近 $x^2/2$。再除以 $R$ 求速度平方，可知 $v_h\propto R^{1/2}$。密度有尖峰，并不表示中心圆轨速度发散；越小的球内仍包含越少质量。

另一种演示模型采用有限中心密度 $\rho_0$，令 $x=R/r_c$。它的质量积分含 $\int_0^x t^2/(1+t^2)\,dt$。写成 $1-1/(1+t^2)$ 后，结果是 $x-\arctan x$。这里 $\arctan x$ 指正切等于 $x$ 的角度，以弧度计；它的导数为 $1/(1+x^2)$。

小半径时，这个括号约为 $x^3/3$，质量随 $R^3$ 增长，速度随 $R$ 一次增长。尖峰与平核的局部斜率由此不同。观察能否分清它们，还取决于角分辨率、恒星盘贡献与非圆运动。

$$
\rho_{\rm core}(R)=\frac{\rho_0}{1+x^2},\qquad M_{\rm core}(<R)=4\pi\rho_0r_c^3(x-\arctan x)
$$

这是伪等温平核球模型。它和未截断NFW模型都没有这里已经量出的有限总质量；显示窗的外边缘只是所选半径。

对应阅读：Navarro, Frenk & White (1997), fixed astro-ph/9611107v1 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

## 指数盘的计算保留盘几何

理想薄指数盘有 $\Sigma(R)=M_d e^{-R/R_d}/(2\pi R_d^2)$。将环的牛顿势积分写成轴对称形式，可以得到便于数值求值的表达式。$I_n$ 和 $K_n$ 是修正贝塞尔函数；它们是在圆柱几何问题中出现的标准函数，复算程序用科学计算库求值。

独立检查另走一条路：直接积分真实圆环的牛顿势，再用两个径向步长求导。两种计算在注册的有限半径内作比较，不会用同一个贝塞尔表达式充当自己的参照。

真实SPARC恒星分量保留原资料的有限厚度与非指数细节。读取这列，再按质量光度比缩放，是采用原生质量模型；它与用薄指数盘解释数学关系是两种用途。

$$
v_d^2(R)=\frac{2GM_d}{R_d}y^2\left[I_0(y)K_0(y)-I_1(y)K_1(y)\right],\qquad y=\frac{R}{2R_d}
$$

这条式子只用于这里声明的薄指数盘。远处趋向有限总质量的点质量极限，中心的形状含有对数项。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation · Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157

## 计算机里的两个很接近的数

当 $x$ 很小时，直接算 $x-\arctan x$ 会把两个极近的浮点数相减，有效数字可能丢光。程序改算相同函数的收敛级数 $x^3/3-x^5/5+x^7/7-\cdots$，并用正密度积分独立检查。

这是数值精度问题，不是另一种核心物理。失败的直接相减例子保存在复算输出中；平核密度律与原来的误差门槛都保持原样。算得稳定之后，才能继续讨论观测是否支持某一质量分布。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation

## 练习与解释性答案

1. 一处原生气体项为 $-10\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，恒星项为 $50\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，$\Upsilon_d=1$，晕项为 $40\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。总圆轨速度是多少？

   展开解释

   有符号速度平方之和为 $-100+2500+1600=4000\,(\mathrm{km\,s^{-1}})^2$，故速度约 $63.25\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。气体项向外，减弱了总内向引力。

2. 尖峰晕与平核晕的中心圆轨速度都可以趋于零，那么它们在哪里不同？

   展开解释

   它们趋零的标度不同。此处NFW模型是 $v_h\propto R^{1/2}$，有限密度核心是 $v_h\propto R$。比较局部斜率需要同时处理恒星盘、分辨率与非圆运动，不能只看“中心速度很小”。

3. 为什么让薄盘贝塞尔公式与原生恒星列数值相等，不是本课程的验收要求？

   展开解释

   两者几何和径向质量分布并不相同。独立数学检验应针对同一薄盘；原生列则应按原来源的厚度、单位与质量光度比约定解释。强迫两者相等会换掉物理对象。

## 动手检验预测

### [比较恒星盘与条件暗晕](https://sandboxphysics.com/zh/labs/galaxy-rotation-curves/)

1. 暂停测试轨道，只改质量光度比，预测并观察恒星等效速度的平方根标度。
2. 比较中心尖峰与平核预设，移动探针，观察相同半径处的分量与总速度。
3. 把总速度与各分量对照，解释为什么几条速度曲线的高度不能直接相加。

[上一篇：先分清球体与圆盘的引力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galaxy-rotation-curves/why-a-disk-is-not-a-sphere/) [下一篇：距离与倾角为什么会改变整条曲线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galaxy-rotation-curves/moving-a-whole-rotation-curve/)

## 来源与计算范围

1. [Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157](https://astroweb.cwru.edu/SPARC/)

   官方固定Table1与Rotmod\_LTG.zip，只使用具名NGC2403成员。主论文第3.1至3.3及5.1至5.3节、原Table2说明用于核读气体符号、单位恒星质量光度比、有限厚度与误差语义。新取源与缓存复算分别记录；原观测与实测派生图留在本地。

2. [Navarro, Frenk & White (1997), fixed astro-ph/9611107v1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9611107v1)

   核读固定原文的密度律、数值分辨率背景、第3.2至3.3节与原式2至3。课程对给定球对称密度作数学积分，没有重跑宇宙学模拟，也不把数学极限当作任意物理尺度的认证。

3. [Independent saved-observation rotation-curve calculation](https://sandboxphysics.com/stories/galaxy-rotation-curves/materials/galaxy-rotation-science-v1.zip)

   自有MIT Python实际生成合成观测、六起点拟合、轮廓、共同几何场景、正密度/圆环势/Jacobian参照与SVG。可选具名源获取、73点保存转换和拟合均实际执行。默认离线，ZIP不含Lab引擎、原SPARC行、论文或实测派生图。