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title: "红移分布有两座峰，就保留两种答案"
description: "构造归一化的多峰红移后验，精确积分正振幅，再分清峰高、峰内概率与区间各自说明什么。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/galaxy-colors/when-redshift-has-two-answers/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从星系颜色读到红移分布](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galaxy-colors/)

L3 · 星系测光

# 红移分布有两座峰，就保留两种答案

Sandbox Physics · 2026-10-28

红移后验把恒星年龄、尘埃和亮度的不确定性一起考虑，再给每个试探红移分配权重。两座峰就是仍然存活的两种解释。比较它们的概率，需要先说明其他参数怎样加权，并把它们积分或求和；每个红移只挑一个最优拟合，会回答另一个问题。

## 开始前需要什么

前两章已定义光谱模型与滤镜平均流量。概率密度通过曲线下的面积给区间分配概率。高斯误差模型让标准化残差较小的预测得到较大权重。

## 把五次测量写在线性流量里

用 $f_b$ 表示第 b 波段测得的平均频率流量密度，单位为纳摩吉，标准差为 $\sigma_b$。固定红移、年龄与尘埃后，将五个预测波段均值都除以预测 r 波段均值，得到 r 分量为一的形状 $s_b$。正振幅 A 随后有明确含义：模型在观测 r 波段的平均流量，单位仍为纳摩吉。

假设这些线性流量的高斯误差互相独立。测量为负也保留，因为正的真实预测周围可以出现负的带噪估计。真实巡天的定标误差可能跨波段相关，独立性在这里是一项教学近似。

$$
\chi^2(A,z,t,E)=\sum_{b\in\mathrm{used}}\frac{(f_b-A s_b(z,t,E))^2}{\sigma_b^2},\qquad p(\boldsymbol f\mid A,z,t,E)\propto e^{-\chi^2/2}
$$

误差固定，省略的高斯归一化对各组参数相同。若方差随模型改变，归一化也必须保留。

对应阅读：Brammer · SDSS DR17 imaging fluxes and flux calibration

## 振幅先验要有尺度，也要可归一化

自由振幅让总恒星质量与距离不再决定颜色。若对振幅套用不能归一的均匀先验，积分会留下任意尺度，尤其在模板归一化不同时。这里先定义观测 r 波段的归一化，再采用尺度固定为一万纳摩吉的半正态振幅先验。

它只允许正亮度，积分为一，尺度比默认的一百纳摩吉信号宽很多。它仍是一项模型选择：暗弱、难以确定的源会更依赖先验。若用光谱红移来调尺度，再用同一批光谱红移报告独立验证，就混用了答案。

$$
p(A)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{\tau}\exp\!\left(-\frac{A^2}{2\tau^2}\right),\quad A\geq0,\quad \tau=10^4\,\mathrm{nMgy}
$$

这是带有流量倒数单位的概率密度。改变振幅单位或重新归一模板时，先验也要跟着变换。

对应阅读：Hogg et al. · Brammer

## 配成平方，完成振幅积分

先展开残差平方。振幅的二次项与先验精度相加，一次项是数据和模型形状的加权重叠。把它配成一个平移高斯，就能求出振幅大于零这一侧的面积。

这个积分与选出残差最小的振幅不同。多出来的宽度因子，体现一片参数区域能在多宽的振幅范围内解释数据；高斯累积分布处理正振幅边界。比较不同颜色或低信噪比测量时，两项都会影响权重。

$$
S=\sum_b\frac{s_b^2}{\sigma_b^2}+\tau^{-2},\quad B=\sum_b\frac{f_bs_b}{\sigma_b^2},\quad C=\sum_b\frac{f_b^2}{\sigma_b^2}
$$

只对实际使用的波段求和。S 是加入先验后的振幅精度，B 是加权重叠，C 是数据平方项。

$$
I(z,t,E)=\frac{2\Phi(B/\sqrt S)}{\tau\sqrt S}\exp\!\left[-\frac12\left(C-\frac{B^2}{S}\right)\right]
$$

除去固定的测量归一化，I 就是振幅边缘化后的似然。Phi 为标准正态累积分布。程序在对数域求值，并与独立数值积分比较。

对应阅读：Brammer · Hogg et al.

## 加上其他模型，再归一红移面积

即使最终只关心红移，预测数据仍然需要年龄和尘埃，这类量叫干扰参数。对六档尘埃和每个红移处允许的年龄节点，分别赋予相同离散先验权重。超过宇宙年龄的恒星族排除后，在该红移处重新归一年龄权重，便定义了条件年龄先验。

红移先验在零至一点二之间取均匀密度。每隔零点零零五计算一个红移，按先验权重把所有年龄、尘埃解释加起来，再用梯形积分归一面积。细小峰与台阶可能来自有限模板网格。这是有限离散先验；若改变年龄节点数量或间隔，却保留相同权重，就改变了模型。

每个红移只保留最小残差，得到的叫剖面似然，它描述“这里最好能拟合到什么程度”。这里画出的则是在已声明先验下的后验，包含所有允许的干扰参数状态与振幅解析积分。

$$
p(z\mid\boldsymbol f)=\frac{p(z)\sum_{t,E}p(t,E\mid z)I(z,t,E)}{\int_0^{1.2}p(z')\sum_{t,E}p(t,E\mid z')I(z',t,E)\,dz'}
$$

分母归一概率，没有再调整最优拟合。数值积分在两个端点各用半权重，分开的峰都保留下来。

对应阅读：Brammer · Bruzual & Charlot

## 逐项读默认观测的保存结果

源的红移为零点三二五，年龄二十一点五四亿年，连续谱色余零点一，真实 r 波段均值一百纳摩吉。固定高斯抽样得到下表流量；标准差由指定相对误差与零点五纳摩吉下限合成。回到同一组参数时，沿用同一组抽样。

最高峰在零点三二零，中央百分之六十八区间约为零点二六八至零点四二七。次峰在零点四二五附近，相邻局部低谷围出的盆地约占总概率百分之三十六点七。峰高与积分概率不同，较宽但较低的一座山，也可能容纳更多概率。

从拟合里去掉 u，最高峰移到零点五四五，中央区间扩大到约零点二六三至零点五四七。生成观测的真实红移没有改变，更多歧义来自少看了一个波段。白色模板标记是最高峰处的条件拟合，也不同于后验平均光谱。

| 波段 | 模拟流量 | 标准差 |
| --- | --- | --- |
| u | $3.087$ | $0.573$ |
| g | $24.187$ | $0.974$ |
| r | $99.453$ | $3.041$ |
| i | $174.991$ | $5.930$ |
| z | $230.349$ | $11.781$ |

对应阅读：Doi et al. · EzGal model distribution

## 亲手观察

### [追踪概率，不只追踪一个答案](https://sandboxphysics.com/zh/labs/galaxy-colors-photometric-redshift/)

1. 在默认状态寻找最高峰与次峰，和保存结果比较。
2. 关闭 u，在看最高峰读数前，先辨认仍然存活的两片红移区域。解释为什么条件拟合残差更小，也没有把失去的信息补回来。

## 练习与答案

后验中位数落在两峰之间的低谷，是数值计算出错了吗？

未必。中位数把积分概率分成两半，不要求局部密度最高。应同时报告曲线和各峰位置。中央区间也可能跨过低密度谷底，仅看两个端点会隐藏分开的解释。

在偏好的尘埃值附近加倍节点，并继续等权，是否只是提高分辨率？

这样会增加附近的先验概率。若要逼近连续尘埃先验，应按单元宽度乘先验密度赋权。本 Lab 明确采用有限离散先验，节点及其权重本身就是模型的一部分。

现在可以增加一个红外波段，应该怎样选位置来分开两种红移？

先让两种候选解释各自调好年龄、尘埃和振幅，再比较其预测光谱。优先选择预测差异超过可达到测量与模型误差的波段。两条光谱几乎成比例的位置，主要改善振幅，未必能分开红移。

[上一篇：红移拉长光谱，尘埃改变光谱形状](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galaxy-colors/dust-and-moving-spectra/) [下一篇：复算二十四个真实 SDSS 星系的红移分布](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galaxy-colors/sdss-five-band-tutorial/)

## 来源与计算范围

1. [Hogg et al., The K correction, astro-ph/0210394v1 (2002)](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0210394v1)

   式 (2)—(12)：光谱密度、光子响应、红移因子与 AB K 改正。本课程采用光度距离，波长谱密度按每埃定义。

2. [Doi et al., Photometric Response Functions of the SDSS Imager, arXiv:1002.3701v1 (2010)](https://arxiv.org/abs/1002.3701v1)

   采用表 4 响应曲线的 speclite 分发版本，固定提交 8159ea61f1c8539136660b4c2e87fbbf94a70097。sdss2010 光子透过率已经包含大气质量为一点三的大气，原文件与 BSD 声明一并保留。

3. [Bruzual & Charlot, Stellar population synthesis at the resolution of 2003, astro-ph/0309134v1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0309134v1)

   第 2—3 节说明恒星族模型与光谱随年龄的演化。太阳金属丰度、Salpeter 单次形成模型来自 EzGal 固定文件；课程固定这些假设，不把拟合年龄当成一般星系年龄。

4. [EzGal model distribution, commit 133c62b383fae964701b673e62517293161b41d5](https://github.com/cmancone/easyGalaxy/tree/133c62b383fae964701b673e62517293161b41d5)

   读取 tests/data/bc03\_ssp\_z\_0.02\_salp.model 的主图像与 vs、ages FITS 表。README 明确说明模型作者授予转载许可，仓库 MIT 声明已保留。原光谱是十秒差距处的频率流量密度，课程只保留相对形状。

5. [SDSS DR17 imaging fluxes and flux calibration](https://www.sdss4.org/dr17/algorithms/fluxcal/)

   AB 零点与物理流量小节给出近似 u 偏移、尚不确定的 z 偏移及其误差。教程固定取 specObjID 排序前二十四个干净主样本星系光谱，保留线性 modelFlux 与逆方差。

6. [Brammer, van Dokkum & Coppi, EAZY: A Fast, Public Photometric Redshift Code, arXiv:0807.1533v1 (2008)](https://arxiv.org/abs/0807.1533v1)

   第 2.1—2.5 节依次讨论模板组合、模板误差、先验与输出红移；第 3.3 节及第 4 节，尤其图 8—11，把误差模型和先验接到真实验证。课程的有限恒星族后验是独立教学计算。