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title: "把晚到的元素接到气体演化里"
description: "从闭箱解析解推到归一化延迟卷积，用完整例题计算晚到的铁，并解释预增丰初态、有限时间窗和转弯的含义。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/galactic-chemical-evolution/calculate-a-delayed-enrichment-track/"
last_modified: "2026-11-05"
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[星系化学演化](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galactic-chemical-evolution/)

星系化学演化 · L2

# 把晚到的元素接到气体演化里

Sandbox Physics · 2026-11-05

晚到的元素源来自过去形成的恒星。先算某一代在各个年龄能送回多少新元素，再把所有已经出生的恒星世代相加，就得到气体今天收到的供给。

## 开始前需要什么

先读“先跟随气体，再计算新生元素”。需要指数、对数与变化率。积分在下面从按出生时间求和引入，卷积和概率归一化都会给出定义。

## 先用没有延迟的闭箱检查方程

先取一个独立理想极限：没有流入、没有风，而且只保留快速净产额$y_i$。由上一章可得$\dot G=-(1-\mathcal R)\psi$、$G\dot Z_i=y_i\psi$。两式相除，时间和星形成速率消去，留下气体分数与丰度的关系。

把$dZ_i/dG=-y_i/[(1-\mathcal R)G]$从初始气体$G_0$积到$G$，便得到对数。这里用自然对数$\ln$，与丰度方括号的十进对数不同。初始丰度$Z_{i,0}$要保留。

例题取铁净产额$0.000246$、归还比例0.4、初始铁分数$10^{-6}$。当气体剩下一半，新增铁分数为$(0.000246/0.6)\ln2=0.000284190$；加上初值，得到$0.000285190$。如果把预先存在的铁当成零，得到的起点就已经换了。

$$
Z_i=Z_{i,0}+\frac{y_i}{1-\mathcal R}\ln\frac{G_0}{G}
$$

这个关系不要求先指定星形成的具体快慢，但要求上述闭箱与快速回收条件成立。

对应阅读：Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1 · Independent one-zone chemical-evolution Python materials

## 加一条均匀风，为什么还要说明比较方式

保留恒定风携带比例$\eta$、仍没有流入，快速源满足$\dot G=-(1-\mathcal R+\eta)\psi$。同样积分可得下面的式子。

若保持剩余气体比例相同，分母随风增强而增大，新增丰度较低。若保持星形成总量或时刻相同，强风留下的气体更少，对数又会增大；这两种变化要一起计算。

取初始气体十亿太阳质量，在一十亿年内按同一恒定速率形成三亿太阳质量恒星。无风时剩8.2亿太阳质量，风携带比例为1时剩5.2亿。快速铁理想解分别给出$8.2365\times10^{-5}$和$1.01541\times10^{-4}$，强风这一组反而较富铁。两组都等到气体剩一半时，顺序则相反。

$$
Z_i=Z_{i,0}+\frac{y_i}{1-\mathcal R+\eta}\ln\frac{G_0}{G}
$$

风从当时的混合物取走金属；推导没有使用选择性喷出刚合成金属的假设。

对应阅读：Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1 · Independent one-zone chemical-evolution Python materials

## 给一代恒星规定送达时间

用$D(\tau)$描述某一代恒星出生后，年龄为$\tau$时的相对供给。$D(\tau)d\tau$是这个小年龄区间占完整延迟供给的比例，因而$D$的单位是时间的倒数。它不是每颗恒星必发生一次超新星的概率。

本系列采用$D\propto\tau^{-1.1}$，只在0.15至15十亿年内非零。先用无量纲年龄$u=\tau/(1\,\mathrm{Gyr})$计算归一化常数$A$，再恢复时间单位。净Ia产额已经含有整代恒星的元素供给幅度，不另乘一次事件数归一化。

累积函数$F(a)$表示一代年龄达到$a$时，已经送达多少比例。到8十亿年约为0.889076；余下供给属于更晚的延迟范围。把计算止于8十亿年，不等于把归一化上限也改成8。

$$
\begin{aligned}D(\tau)&=\frac{A}{\mathrm{Gyr}}u^{-1.1},\quad0.15\le u\le15\\A&=\frac{0.1}{0.15^{-0.1}-15^{-0.1}}\end{aligned}
$$

区间外的核为零。核积分为1；各时刻的供给速率仍受过去形成了多少恒星控制。

$$
F(a)=\frac{0.15^{-0.1}-(a/\mathrm{Gyr})^{-0.1}}{0.15^{-0.1}-15^{-0.1}}
$$

本式用于$0.15<a/\mathrm{Gyr}<15$。更早取0，更晚取1。

对应阅读：VICE v1.3.1 fixed effective yields and solar reference · Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1

## 把各代恒星的贡献相加

在出生时刻$b$附近，一小段时间形成$\psi(b)db$的恒星。它们到了当前时刻$t$，年龄为$t-b$，贡献速率与$D(t-b)$成比例。把所有过去出生的小段相加，就是积分。

换成延迟年龄$\tau=t-b$，同一个积分也可以写成下面的卷积形式。“卷积”在这里就是按过去形成的量与今天对应的年龄权重相乘，再相加。$C$单位与星形成速率相同。

例题用一个瞬时形成$10^6\,\mathrm M_\odot$恒星的理想单代。在年龄0.10十亿年时，它没有Ia供给；到年龄8十亿年，按积分净产额计算，已经供给约$2580\times0.889076=2293.82\,\mathrm M_\odot$新铁。另有约$8.83\times0.889076=7.85054\,\mathrm M_\odot$新镁。它们是累计新生产量，还没有扣除之后锁入恒星或被风带走的部分。

$$
\begin{aligned}C(t)&=\int_0^t\psi(b)D(t-b)\,db\\&=\int_0^t\psi(t-\tau)D(\tau)\,d\tau\\S_i(t)&=y_i^{\rm CC}\psi(t)+y_i^{\rm Ia}C(t)\end{aligned}
$$

最小延迟保证源项因果：尚未出生的恒星和年龄不足的恒星都不会贡献Ia元素。

![同一份再流入记录中的即时和延迟新铁输入率](https://sandboxphysics.com/_astro/delay.B3FRLby9.svg)

自有再流入历史。两种源使用同记录保存的形成率、延迟响应和固定净铁产额；新铁输入率不是气体中剩余的铁库存。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/delay.B3FRLby9.svg)

对应阅读：Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1 · VICE v1.3.1 fixed effective yields and solar reference

## 转弯不是第一场爆炸的时间戳

即使第一批Ia已经开始送达，快速源仍在补铁和镁。曲线要明显转弯，晚到的富铁供给必须积累到足以改变混合比例。预增丰初态也会影响起初的比例。

本系列的初始铁分数固定为百万分之一，初始镁铁比取快速净产额比。这表示已有一层背景增丰；没有重建它的前史。不同星形成史都从这个相同初态开始，便于把之后的差别归给规定历史。

补气会稀释元素。图中含晚期星形成的一组，既经历新气体稀释，也经历快速源相对增强，丰度路径因此能够回弯。只对一张元素图上的转弯位置套一个共同年份，会漏掉气体经历。

![四份实际计算气体丰度轨迹，含再流入稀释形成的回转](https://sandboxphysics.com/_astro/tracks.DKkSqJFe.svg)

从保存气体库存计算的四份自有指定历史。这些是气体轨迹，曲线长度不代表恒星出生质量；再流入使轨迹回转。图中没有实测恒星点。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/tracks.DKkSqJFe.svg)

对应阅读：Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1 · Independent one-zone chemical-evolution Python materials

## 计算时分开检查物理演化与取样

独立Python程序直接求延迟积分，再解气体与元素微分方程。它在已知最小延迟处分段，保留明确的零源起始条件。气体总量另有解析积分，元素的新生产、锁入和外流也分别累计。

数值求解足够准确，还不保证恒星分布取样足够细。初期铁分数增长快，一个过宽的出生区间，可能把本来不同的成分平均到同一个点。后面的教程因此另比较五百万年与二百五十万年的出生分箱，并对照正权时间积分。

屏幕上的气体轨迹与出生世代，是理解这些方程的一种画法。要与固定星表比较，还需把整段出生历史变成分布，再加入实际测量误差；这正是下一篇要做的事。

对应阅读：Independent one-zone chemical-evolution Python materials

## 练习与解释性答案

1. 在闭箱、快速回收模型里，把星形成速率处处乘二。达到相同剩余气体比例时，丰度会改变吗？

   展开解释

   不会。对气体质量求丰度变化时，星形成速率消去。更快的形成让系统更早到达同一气体比例；在同一个固定时刻比较，剩余气体比例则不同。

2. 程序只计算到8十亿年，为什么不能把Ia核在0.15至8十亿年内重新归一化？

   展开解释

   这样会把原来属于更晚延迟的供给提前分配给较早年龄，改变源的物理定义。同一个积分净产额下，已经送达的比例应由15十亿年归一化的累积函数给出。

3. 一代恒星已生产的新铁，能直接当成此刻气体中额外留下的新铁吗？

   展开解释

   不能。新铁进入气体后，也可能被后续恒星锁住或随风流走。源积分记录生产，元素库存方程记录它们最后在哪里；两者要通过相应的去向连接。

## 动手检验预测

### [比较同一气体库的不同历史](https://sandboxphysics.com/zh/labs/galactic-chemical-evolution/)

1. 选较快形成恒星，在两个保存时点比较快速与延迟铁速率。
2. 观察气体比例转弯的时点，解释它为什么不必等于最小Ia延迟。
3. 同一保存时点只改风强度，再用剩余气体量解释铁丰度变化。

[上一篇：先跟随气体，再计算新生元素](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galactic-chemical-evolution/follow-the-gas-and-new-elements/) [下一篇：从气体轨迹走到一群恒星的丰度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/galactic-chemical-evolution/from-gas-tracks-to-stellar-abundances/)

## 来源与计算范围

1. [Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1](https://arxiv.org/abs/1604.07435v1)

   重新完整核读固定30页正文与两附录。第2至3节用于产额、回收和解析极限，第5节用于延迟近似及出生权重。原文的氧与指数延迟例子没有换名充作本课程固定镁产额和有限幂律核；原文与气体相连的形成律也不同于这里的指定历史。

2. [VICE v1.3.1 fixed effective yields and solar reference](https://github.com/giganano/VICE/tree/v1.3.1)

   使用此前冻结的原生默认约定：Kroupa、核坍缩与Ia型的有效净镁铁产额、Asplund 2009太阳参考及声明的氢转换。公开资料仅有标量和身份，没有新产额网格或VICE可执行程序；独立Python不运行VICE。

3. [Independent one-zone chemical-evolution Python materials](https://sandboxphysics.com/stories/galactic-chemical-evolution/materials/chemical-evolution-science-v1.zip)

   自有连续卷积与DOP853实际producer，保存十四字段库存和出生群体，检查有限细化、归一化条件混合密度与数学极限。公开输入和图均为自有合成。默认离线，可选固定Hill源在读者电脑获取分析。没有Lab引擎、原论文、观测行或实测派生图。