--- title: "Metadynamics 怎样让走过的谷逐渐变浅" description: "从高斯小丘推导 well-tempered metadynamics 的偏置极限，计算自由能缩放，并解释坏集体变量为何拖慢收敛。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/well-tempered-metadynamics/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/free-energy/well-tempered-metadynamics/" last_modified: "2026-10-28" --- [自由能与稀有事件](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/) L3 · 第 6 章 # Metadynamics 怎样让走过的谷逐渐变浅 Sandbox Physics · 2026-10-28 Metadynamics 会在刚走过的位置添一小丘，让粒子逐渐离开已经反复访问的谷。Well-tempered 方法让后加的小丘越来越低，控制探索的深浅。它能加快自由能采样，但偏置推着粒子跨过山口以后，经过的时间已经属于新的动力学。 ## 开始前需要什么 第三章的偏置分布与第五章的采样误差。高斯函数表示一个平滑小丘；本章解释历史依赖和长时极限。 [回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/uncertainty-and-validation/) - 由偏置沉积率解释长时自由能缩放。 - 判断一个集体变量是否遗漏慢运动，并区分采样加速与动力学速率。 ## 让轨迹留下会推人的小丘 用 $s$ 表示集体变量，$V(s,t)$ 表示逐渐累积的偏置。每隔 $\tau$ 在当时位置 $s_j$ 加一个宽度为 $\sigma$、高度为 $h_j$ 的高斯小丘。偏置的斜率进入力，小珠便较少停留在已经堆高的地方。 Umbrella 的弹簧在一次窗口采样中固定不变；这里的偏置由整段历史决定。有限时间的帧来自不断变化的分布，不能直接套一份固定偏置的平衡 MBAR 输入。 $$ V(s,t)=\sum_{j\tau0$。已有偏置越高，新小丘越低。为避免与摩擦混淆，把偏置因子记作 $b_{\mathrm{WT}}=(T+\Delta T)/T$。原论文中温度按能量单位写；这里显式保留 $k_{\mathrm B}$。 在偏置变化足够慢、给定 $s$ 时隐藏自由度已平衡的近似下，当前位置概率正比于 $e^{-[F(s)+V(s)]/(k_{\mathrm B}T)}$。平均沉积率还要乘上 $e^{-V/(k_{\mathrm B}\Delta T)}$。长时间中，各位置以相同速率继续抬高；令这个乘积不随 $s$ 改变，就能解出偏置的形状。 $$ h_j=h_0\exp\!\left[-\frac{V(s_j,j\tau)}{k_{\mathrm B}\Delta T}\right] $$ 偏置堆高后，同一位置的小丘高度逐渐降低。 $$ \lim_{t\to\infty}[V(s,t)-C(t)]=-\frac{\Delta T}{T+\Delta T}F(s)=-\frac{b_{\mathrm{WT}}-1}{b_{\mathrm{WT}}}F(s) $$ 减去随时间上升的空间均匀偏置后，形状才趋于稳定。有限时间仍有瞬态与统计误差；隐藏坐标若仍很慢，这个近似就会失效。 来源：Alessandro Barducci · Max Bonomi ## 从一条偏置曲线算回自由能 完整例题：令 $b_{\mathrm{WT}}=5$，在长时极限里，两点间偏置差为 $-3.2\,k_{\mathrm B}T$。乘上 $-5/4$，得到自由能差 $4.0\,k_{\mathrm B}T$。如果直接用负偏置，会少算五分之一。 对应的集体变量分布正比于 $e^{-F/(5k_{\mathrm B}T)}$，比原分布平坦。这里说的是投影分布被展宽，不是所有分子自由度都加热到了五倍温度。选择太大的偏置因子，会把计算花在不感兴趣的高自由能区域。 $$ F(s)\simeq-\frac{b_{\mathrm{WT}}}{b_{\mathrm{WT}}-1}V(s,t)+C,\qquad P_{\mathrm{WT}}(s)\propto e^{-F(s)/(b_{\mathrm{WT}}k_{\mathrm B}T)} $$ 第一式作为有限时间估计必须附带收敛检查。第二式描述理想长时投影分布。 ## 一组离线轨迹怎样显示采样加快 把同一个二维势分别做无偏采样与 well-tempered 采样，用八个配对种子比较。每条轨迹长 $120$，步长 $0.002$；每 $0.3$ 个时间单位加丘，初始高度 $0.12$、宽度 $0.25$、偏置因子六。反应物与产物分别定义为 $x\leq-0.75$ 和 $x\geq0.75$，只有到达另一集合才记一次完整换谷。 无偏轨迹平均完成 $7.38$ 次换谷，偏置轨迹平均 $29.1$ 次。这直接说明所选参数提高了横向探索。有限时间偏置缩放后的自由能形状，与积分参考在 $[-1.4,1.4]$ 上的均方根差约为 $0.377$ 个能量单位；它仍有可见误差。原始轨迹、四百次小丘沉积与所有种子都保留在离线记录中。 这些换谷计数描述受偏置推动的运动，不能当作原系统速率。比较还应检查隐藏方向有没有跟上；本组中隐藏方向平均换谷次数从约六次增到九次，远没有横向增加得那么快。 ## 横坐标铺平了，粒子仍可能困在上层 若只在 $x$ 上加丘，隐藏的 $y$ 方向仍可能有高势垒。粒子能在横向跑来跑去，轨迹看上去活跃，却一直留在同一条通道。偏置学到的是那条通道的条件地形。 先画条件分布，比较从不同隐藏谷启动的结果，再改变集体变量或加入第二变量。判断好坏的标准是它是否描述了控制慢交换的运动；一条漂亮而平坦的直方图不足以判断。 实际重建还可以采用专门处理时间依赖偏置的重加权方法，或冻结已经得到的偏置后另采平衡数据。后一种做法重新变成静态偏置问题，但仍需等待冻结后的分布平衡。两种数据要在记录中分清。 ## 把推理带进实验 ### [先挑一个可能失效的集体变量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projected-free-energy/) 1. 预测哪个投影会把两个隐藏谷叠在一起，再检查对应条件分布。 2. 设想只沿这个投影加高斯丘。指出小丘会推动哪个方向，以及哪道势垒仍可能留下。 3. 换一个方向后重新解释。把“投影分布更平坦”和“所有慢过程都已平衡”分成两个可检验的问题。 ## 练习与解释性答案 1. 把偏置因子由五改为二，同一个 $4k_{\mathrm B}T$ 自由能差在理想长时偏置中对应多大落差？ 展开解释 系数变成 $(2-1)/2=1/2$，偏置差为 $-2k_{\mathrm B}T$。较小因子留下较多原来的自由能起伏，探索更集中。 2. 加丘后每秒换谷十次，能否直接报告原系统反应速率为每秒十次？ 展开解释 偏置已经改变山口附近的力和驻留概率。必须使用适用条件明确、另外验证的动力学方法，才能从特定加速方案推断原速率。普通 metadynamics 的换谷计数首先描述偏置动力学。 [上一章：误差条为什么会漏掉最严重的错误](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/uncertainty-and-validation/) [下一章：自由能相同，反应速度为什么可以不同](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/committor-and-rates/) ## 来源与复算范围 例题与示意图是原创教学材料。数值切片在自建二维模型上复算指定估计方程，并与独立积分、PyMBAR 比较。最后一章阅读 MBAR 论文图 1，同时列明本次计算没有包含的实验材料。 [模型定义、脚本与数值记录](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/tree/main/docs/frontier/fr15) 1. [Alessandro Barducci, Giovanni Bussi and Michele Parrinello, Well-Tempered Metadynamics, Phys. Rev. Lett. 100, 020603 (2008)](https://arxiv.org/abs/0803.3861v1) 冻结 arXiv v1。核读式 (2)–(6) 的自适应沉积与长时极限；推导要求给定集体变量时，微观自由度能充分平衡。原文丙氨酸二肽数值实验不在本次复现范围内。 2. [Max Bonomi, PLUMED Masterclass 21.4, Metadynamics (2021; documentation v2.9)](https://www.plumed.org/doc-v2.9/user-doc/html/masterclass-21-4.html) 核读理论概要、自由能重建、分块误差以及好坏集体变量练习。长时偏置关系保留采样前提；有限时间偏置不标为精确自由能。