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title: "怎样用一串重叠窗口走过势垒"
description: "推导 umbrella 偏置的重加权关系，计算窗口宽度，并用断开的重叠与隐藏慢坐标检查采样设计。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/free-energy/umbrella-windows/"
last_modified: "2026-10-28"
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[自由能与稀有事件](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/)

L2 · 第 3 章

# 怎样用一串重叠窗口走过势垒

Sandbox Physics · 2026-10-28

给小珠加一根可移动的虚拟弹簧，就能让它在平常很少到达的地方多待一会儿。沿着反应坐标放一串这样的窗口，再把偏置造成的偏爱算回去，便能估计自由能。相邻窗口需要共享足够多的构型，才能接成一条可靠的曲线。

## 开始前需要什么

前两章的 Boltzmann 权重、相关性与详细平衡。需要二次函数；配方会在例题中逐步完成。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/trajectories-and-correlation/)

- 推导静态偏置下的重加权因子。
- 根据热宽度和实际构型重叠布置窗口，并识别隐藏方向未平衡。

## 让弹簧把罕见位置留住

选择集体变量 $s(x,y)$。第 $k$ 个窗口在 $s_k$ 附近加弹簧，刚度为 $\kappa_k$。原模型势能记作 $U$；窗口内按 $U+w_k$ 的 Boltzmann 权重采样。刚度的物理单位是能量除以坐标平方，本课程采用无量纲数值。

窗口的作用是分工：每段轨迹负责一小段区域，不必反复完成整条罕见跃迁。但每段仍需要在自己负责的区域里平衡，尤其要探索弹簧没有直接推动的方向。

$$
w_k(s)=\frac{\kappa_k}{2}(s-s_k)^2,\qquad p_k(\mathbf r)=\frac{e^{-\beta[U(\mathbf r)+w_k(s(\mathbf r))]}}{Z_k}
$$

每个窗口有自己的配分函数。偏置决定采样时常见的构型；目标仍是原模型的平衡分布。

来源：Giovanni Bussi · Michael R. Shirts and John D. Chodera

## 把弹簧偏爱的次数算回去

把有偏概率乘上 $e^{\beta w_k}$，弹簧项就在指数里抵消。归一化未知，可以把目标量的加权平均除以权重本身的平均。若某个重要区域在这个窗口里几乎从未出现，少数极大权重就会支配答案。公式成立并不保证有限样本好用。

完整例题：两类构型在窗口里出现 $80$ 次和 $20$ 次，其弹簧能量分别为零和 $k_{\mathrm B}T\ln 4$。第二类每次应乘四。总权重变为 $80$ 与 $80$，无偏占据各一半。直接看原始计数会把第一类误判为四倍常见。

$$
\langle A\rangle_0=\frac{\langle A e^{\beta w_k}\rangle_k}{\langle e^{\beta w_k}\rangle_k}
$$

分母是必要的归一化。多个窗口各有归一化常数，合并时需要同时确定它们的相对大小。

## 先估宽度，再看真正的重叠

如果局部自由能足够平坦，只有弹簧决定分布宽度，高斯标准差约为 $\sigma_s=\sqrt{k_{\mathrm B}T/\kappa}$。在热能为一、刚度为九时，宽度约 $0.333$。中心相隔三分之一时容易共享区域；相隔二时，弹簧近似下已隔了六个标准差。

实际势能会拉偏均值、压窄或撑宽分布。设计时先用宽度估计，运行后再检查实际分布、样本权重和两方向的交换。最后要看采到的构型是否真正重叠。

原创高斯设计示意图。上排的弹簧近似分布共享较多区域；下排的窗口相隔太远，中间留下缺口。实际重叠要用采到的完整构型检查。

## 横坐标接起来，隐藏方向仍可能断开

设弹簧只牵住 $x$，隐藏方向 $y$ 却有两座相隔很高的谷。相邻窗口的 $x$ 直方图可以重叠得很好，其中一个窗口始终在上谷，另一个始终在下谷。它们实际采样的完整构型仍可能几乎不相通。

从两个隐藏谷分别启动，在每个窗口里比较条件分布，再延长轨迹。如果差异一直保留，就要增加隐藏方向的采样、加入合适的第二坐标，或改用其他方法。多加几个只沿横坐标的弹簧，未必能修复问题。

如果窗口链断成两段，数据不能可靠确定两段之间的自由能零点。应分别报告各段的相对形状，保留缺口。插一条光滑曲线跨过缺口，会给读者一种数据并未提供的精度。

## 把推理带进实验

### [先布一条能接起来的窗口链](https://sandboxphysics.com/zh/labs/umbrella-mbar/)

1. 估计相邻窗口的热宽度，再选择重叠良好的预设。比较原始计数和去偏后的形状。
2. 把一个窗口拖远，或改用有缺口的预设。预测哪一段的相对高度会失去支持，再检查重叠提示。
3. 换到隐藏坐标受困的预设，比较同一横坐标处的隐藏分布。保存带种子的轨迹，给出下一次采样应改变什么。

## 练习与解释性答案

1. 只把弹簧刚度提高四倍，理想平坦区域的窗口宽度如何改变？是否总能提高精度？

   展开解释

   标准差减半。单个窗口定位更准，但相邻窗口共享的构型变少，可能令全局自由能更难估计。精度取决于覆盖与重叠，不能只看单个窗口有多窄。

2. 一组窗口所有原始直方图都有高计数，为什么仍应检查条件分布？

   展开解释

   高计数只说明选定投影被多次访问。弹簧未控制的慢坐标可能保持初始状态，导致每个窗口采到错误的条件权重。比较不同初态和隐藏分布可以发现这种偏差。

[上一章：一万帧轨迹能提供多少次独立观察](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/trajectories-and-correlation/) [下一章：MBAR 怎样把不同窗口接成同一份分布](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/multistate-reweighting/)

## 来源与复算范围

例题与示意图是原创教学材料。数值切片在自建二维模型上复算指定估计方程，并与独立积分、PyMBAR 比较。最后一章阅读 MBAR 论文图 1，同时列明本次计算没有包含的实验材料。

[模型定义、脚本与数值记录](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/tree/main/docs/frontier/fr15)

1. [Giovanni Bussi, PLUMED Masterclass 21.3, Umbrella sampling (2021; documentation v2.9)](https://www.plumed.org/doc-v2.9/user-doc/html/masterclass-21-3.html)

   核读静态约束、多窗口 binless WHAM、另一坐标的重加权与误差练习。本课程未使用原教程的丙氨酸二肽轨迹。

2. [Michael R. Shirts and John D. Chodera, Statistically optimal analysis of samples from multiple equilibrium states, J. Chem. Phys. 129, 124105 (2008)](https://arxiv.org/abs/0801.1426v3)

   冻结 arXiv v3。核读第二至四节、式 (9)、(11)–(14)、第五节图 1 与附录 A–C。复算范围是自建模型上的平衡估计方程；图 1 用于读图教学，未复现 DNA 发夹轨迹或图中数值。