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title: "MBAR 怎样把不同窗口接成同一份分布"
description: "从混合采样密度推导 MBAR 方程，用一个可手算的双状态例子计算权重，并解释重叠不足时为何无法接图。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/free-energy/multistate-reweighting/"
last_modified: "2026-10-28"
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[自由能与稀有事件](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/)

L3 · 第 4 章

# MBAR 怎样把不同窗口接成同一份分布

Sandbox Physics · 2026-10-28

不同窗口的原始计数不能直接相加：每个窗口偏爱的构型不同，采样量也不同。MBAR 同时估计各窗口的归一化，再给每个已保存构型一个目标权重。它利用的是构型在所有窗口下的能量，不需要先把能量分箱。

## 开始前需要什么

第三章的单窗口重加权。需要指数、对数和加权平均；本章从混合分布解释分母，再给出自洽方程。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/umbrella-windows/)

- 解释 MBAR 分母中的窗口数目、样本量和自由能常数。
- 在一个有限例子中计算目标权重，并区分估计方程与采样是否充分。

## 一张构型照片要放回每个窗口里算能量

把完整构型写作 $\mathbf r_n$，所有窗口共保存 $N$ 个构型。窗口 $k$ 有 $N_k$ 个样本，约化势能为 $u_k=\beta(U+w_k)$，无量纲自由能为 $f_k=-\ln Z_k$。已知每个构型后，可以计算它假如处在任一窗口会有多少能量。

混合样本的密度与 $\sum_k N_k e^{f_k-u_k(\mathbf r)}$ 成正比。某个构型如果在很多窗口里都很容易采到，就需要较小的目标权重；只有少数窗口能贡献它时，权重通常较大。分母中的 $N_k$ 正是采样量不等时所需的修正。

来源：Michael R. Shirts and John D. Chodera · Giovanni Bussi

## 用自洽条件求窗口间的高度

若所有 $f_k$ 已知，对目标窗口 $i$ 的权重求和就能估计它的配分函数。再要求这个估计恰好等于正在使用的配分函数，就得到自洽方程。把更新后的自由能放回分母，反复迭代到变化足够小。每轮减去第一个自由能，把整体零点固定。

同温且偏置已知时，这套方程也可写成 PLUMED 教程所用的 binless WHAM 形式。数值上要在对数域计算指数和，避免非常高的势垒造成下溢。迭代收敛只说明这份数据的方程求解成功；一组受困的轨迹也能给出稳定解。

$$
\hat f_i=-\ln\sum_{n=1}^{N}\frac{e^{-u_i(\mathbf r_n)}}{\sum_{k=1}^{K}N_k e^{\hat f_k-u_k(\mathbf r_n)}}
$$

这是 Shirts 与 Chodera 的式 (11)。所有自由能可同时加一个常数；窗口间的差才有意义。

来源：Michael R. Shirts and John D. Chodera · Giovanni Bussi

## 把求出的常数变成目标权重

目标是无偏模型，其约化势能为 $u_0=\beta U$。目标状态可以没有直接采样轨迹。先为每个保存构型计算未归一化权重 $v_n$，再除以权重总和。目标平均就是这些权重乘观测量之和。

若各窗口温度相同、只相差已知偏置，共同的 $e^{-\beta U}$ 在分子与分母里抵消。重加权可以只用偏置能量；隐藏方向仍必须在轨迹中充分采样。代数上的抵消没有替我们探索构型空间。

$$
v_n=\frac{e^{-u_0(\mathbf r_n)}}{\sum_k N_k e^{\hat f_k-u_k(\mathbf r_n)}},\qquad W_n=\frac{v_n}{\sum_m v_m},\qquad \widehat{\langle A\rangle}_0=\sum_n W_n A(\mathbf r_n)
$$

这是无采样目标状态的归一化权重。画自由能时，还要用这些权重估计指定坐标的概率密度。

## 十六个构型的完整例题

目标模型只有左、右两种等能构型。窗口甲把右边加上 $\ln 3$ 的约化能量，窗口乙反过来。甲保存十二次，出现九左三右；乙保存四次，出现一左三右。两窗口配分函数相同，可取 $\hat f_1=\hat f_2=0$。

左构型的混合分母为 $12+4/3=40/3$，右构型为 $12/3+4=8$。无偏未归一化权重分别为 $3/40$ 与 $1/8$。十个左构型加起来是四分之三，六个右构型也是四分之三；归一化后左右各一半。原始十六个计数却给左边 $10/16=0.625$。

这个例子中计数恰好等于各窗口的期望比例，便于手算。随机样本一般不会恰好恢复一半；那部分误差需要用独立重复和下一章的方法衡量。

原创双构型例题；能量以热能为单位。

| 构型 | 窗口甲计数 | 窗口乙计数 | 每个构型的目标权重 |
| --- | --- | --- | --- |
| 左 | 9 | 1 | $1/20$ |
| 右 | 3 | 3 | $1/12$ |

## 直方图仍然有自己的误差

MBAR 不对输入能量分箱；若最终要画 $F(s)$，仍须从目标权重估计密度。宽为 $\Delta s_j$ 的箱内权重总和为 $P_j$，密度近似是 $P_j/\Delta s_j$。箱太宽会抹平势垒，太窄会留下很多零计数。零计数不能靠随意加一个小数就变成观测。

还要检查窗口重叠。没有实际桥梁的两段，可能在浮点运算里保留极微小的联系；那不等于数据支持它们的相对高度。实验台会保留无支持的区域，并显示可用覆盖范围。

$$
\hat F_j=-k_{\mathrm B}T\ln\!\left(\frac{\sum_{n:\,s_n\in B_j}W_n}{\Delta s_j}\right)+C
$$

密度需要除箱宽。不等宽分箱须按各自箱宽换成密度。

来源：Michael R. Shirts and John D. Chodera · Giovanni Bussi

## 把推理带进实验

### [用同一份记录比较三个答案](https://sandboxphysics.com/zh/labs/umbrella-mbar/)

1. 保持种子和窗口不变，比较合并直方图、MBAR 结果与二维积分参考。指出哪些区别来自偏置。
2. 导出轨迹及每个样本的目标权重。选一段坐标范围，检查权重之和能否复算对应的概率。
3. 改变窗口重叠后重新采样。说明求解器收敛、有效样本数和参考误差分别回答了什么问题。

## 练习与解释性答案

1. 给所有窗口的估计自由能同时加七，会改变归一化目标权重吗？

   展开解释

   不会。所有混合分母都多同一个指数因子，未归一化权重一起缩放；除以权重总和后抵消。这是自由能整体零点任意的表现。

2. 例题中把窗口乙也采十二次，且计数仍等于期望比例。合并计数和重加权各会得到什么？

   展开解释

   甲有九左三右，乙有三左九右，合并后恰好各十二。两种方法都给一半。这个对称特例不能证明直接合并一般正确；原例题只改变采样量就破坏了这一巧合。

[上一章：怎样用一串重叠窗口走过势垒](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/umbrella-windows/) [下一章：误差条为什么会漏掉最严重的错误](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/uncertainty-and-validation/)

## 来源与复算范围

例题与示意图是原创教学材料。数值切片在自建二维模型上复算指定估计方程，并与独立积分、PyMBAR 比较。最后一章阅读 MBAR 论文图 1，同时列明本次计算没有包含的实验材料。

[模型定义、脚本与数值记录](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/tree/main/docs/frontier/fr15)

1. [Giovanni Bussi, PLUMED Masterclass 21.3, Umbrella sampling (2021; documentation v2.9)](https://www.plumed.org/doc-v2.9/user-doc/html/masterclass-21-3.html)

   核读静态约束、多窗口 binless WHAM、另一坐标的重加权与误差练习。本课程未使用原教程的丙氨酸二肽轨迹。

2. [Michael R. Shirts and John D. Chodera, Statistically optimal analysis of samples from multiple equilibrium states, J. Chem. Phys. 129, 124105 (2008)](https://arxiv.org/abs/0801.1426v3)

   冻结 arXiv v3。核读第二至四节、式 (9)、(11)–(14)、第五节图 1 与附录 A–C。复算范围是自建模型上的平衡估计方程；图 1 用于读图教学，未复现 DNA 发夹轨迹或图中数值。