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title: "自由能与稀有事件"
description: "从山谷占据走到 umbrella、MBAR、metadynamics 与反应路径。八章推导、完整例题、习题答案和三个交互实验。"
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language: "zh-CN"
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[自由能与稀有事件](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/)

FR15

# 自由能与稀有事件

Sandbox Physics · 2026-10-28

一条很长的轨迹，也可能始终漏掉另一座谷。从小珠怎样分配山谷占据开始，逐步学会偏置采样和重加权，再问：自由能已经算对，反应速度为什么仍可能错？沿途的三个实验把地形、路径和概率放在一起，让每一步推理都能亲手检查。

## 先问常待在哪里，再问多久能到达

第一章从数构型开始。第二、三章建立随机运动与 umbrella 窗口，第四、五章合并记录并检查误差。第六章发展另一种增强采样方法，最后两章用反应路径和已发表论文检验曲线能回答什么。每章都有完整例题、动手前的预测任务和解释性答案。

开始只需基础概率与对数。导数、积分和边值问题在需要时解释。热学与统计基础可以随学随补。 [FR25](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/55) · [教材计划](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/27)

1. L1 · 1

   ## [为什么最低的势阱不一定最常被访问](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/boltzmann-and-projection/)

   从 Boltzmann 权重出发，算出宽窄势阱的占据概率，理解投影自由能怎样把隐藏方向的熵算进去。

2. L2 · 2

   ## [一万帧轨迹能提供多少次独立观察](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/trajectories-and-correlation/)

   从过阻尼 Langevin 运动与详细平衡出发，计算相关轨迹的有效样本数，并区分慢交换和拍摄太密。

3. L2 · 3

   ## [怎样用一串重叠窗口走过势垒](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/umbrella-windows/)

   推导 umbrella 偏置的重加权关系，计算窗口宽度，并用断开的重叠与隐藏慢坐标检查采样设计。

4. L3 · 4

   ## [MBAR 怎样把不同窗口接成同一份分布](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/multistate-reweighting/)

   从混合采样密度推导 MBAR 方程，用一个可手算的双状态例子计算权重，并解释重叠不足时为何无法接图。

5. L3 · 5

   ## [误差条为什么会漏掉最严重的错误](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/uncertainty-and-validation/)

   区分权重集中、时间相关和未平衡偏差，用分块 bootstrap、独立种子与留出区域检验自由能重建。

6. L3 · 6

   ## [Metadynamics 怎样让走过的谷逐渐变浅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/well-tempered-metadynamics/)

   从高斯小丘推导 well-tempered metadynamics 的偏置极限，计算自由能缩放，并解释坏集体变量为何拖慢收敛。

7. L4 · 7

   ## [自由能相同，反应速度为什么可以不同](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/committor-and-rates/)

   用摩擦的时钟伸缩与 committor 方程区分占据和速度，再从路径集合解释隐藏坐标与反应坐标的选择。

8. L4 · 8

   ## [沿着一篇 MBAR 论文检查自己的计算](https://sandboxphysics.com/zh/stories/free-energy/reading-the-mbar-paper/)

   读懂 Shirts 与 Chodera 论文图 1，再用独立积分和 PyMBAR 比较二维教学数据，区分算法复算与采样质量。

## 沿途的三个实验

- [转动投影，看看哪些构型被压在一起](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projected-free-energy/)
- [布置 umbrella 窗口，重建平衡概率](https://sandboxphysics.com/zh/labs/umbrella-mbar/)
- [保持平衡分布，拉长反应时钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/equilibrium-vs-kinetics/)

三个实验共用反射方盒内的无量纲二维势，把随机轨迹与独立积分参考分开标示。采样实验台保留有限样本与隐藏坐标造成的失败，便于追查原因。

## 把新概念接回熟悉的实验

[Morse 分子键](https://sandboxphysics.com/zh/labs/morse-molecular-bond-breaking/)展示势能形状与量子逃逸；本课程接着研究经典热占据与采样。[光镊标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/)把谐阱与涨落联系起来，适合准备窗口宽度的概念。论文中的 DNA 发夹仍是另一套实验系统。

## 来源与复算范围

例题与示意图是原创教学材料。数值切片在自建二维模型上复算指定估计方程，并与独立积分、PyMBAR 比较。最后一章阅读 MBAR 论文图 1，同时列明本次计算没有包含的实验材料。

[模型定义、脚本与数值记录](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/tree/main/docs/frontier/fr15)

1. [Sandbox Physics, fixed-length reversible path-ensemble model and validation (2026)](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/frontier/fr15/path-sampling-model.md)

   原创离散端点桥接目标、可逆保留切片更新的推导、独立路径求和参考与限制。计算步数与网页 Langevin 时钟分开。

2. [Sandbox Physics, reproducible endpoint-bridge benchmark script (2026)](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/scripts/frontier/fr15/path-sampling-benchmark.mjs)

   运行四个固定种子，保留接受与拒绝记录，计算序列相关诊断，并生成 path-sampling-summary.json 与 path-sampling-raw.json。

3. [PyMBAR 4.0.3, MBAR module documentation](https://pymbar.readthedocs.io/en/4.0.3/mbar.html)

   核读 MBAR 输入、约化能量矩阵、自由能差与独立样本要求。本次比较检查相同记录上的方程解，没有用 PyMBAR 的独立样本协方差估计解释相关帧。

4. [PLUMED Masterclass 21.2, Statistical errors in MD (documentation v2.9)](https://www.plumed.org/doc-v2.9/user-doc/html/masterclass-21-2.html)

   核读 Background 与练习 2、7–9：边缘概率、相关样本、分块和 bootstrap。原教程说明练习使用 PLUMED 2.7.0；本课程另行定义二维模型。

5. [Giovanni Bussi, PLUMED Masterclass 21.3, Umbrella sampling (2021; documentation v2.9)](https://www.plumed.org/doc-v2.9/user-doc/html/masterclass-21-3.html)

   核读静态约束、多窗口 binless WHAM、另一坐标的重加权与误差练习。本课程未使用原教程的丙氨酸二肽轨迹。

6. [Michael R. Shirts and John D. Chodera, Statistically optimal analysis of samples from multiple equilibrium states, J. Chem. Phys. 129, 124105 (2008)](https://arxiv.org/abs/0801.1426v3)

   冻结 arXiv v3。核读第二至四节、式 (9)、(11)–(14)、第五节图 1 与附录 A–C。复算范围是自建模型上的平衡估计方程；图 1 用于读图教学，未复现 DNA 发夹轨迹或图中数值。

7. [Alessandro Barducci, Giovanni Bussi and Michele Parrinello, Well-Tempered Metadynamics, Phys. Rev. Lett. 100, 020603 (2008)](https://arxiv.org/abs/0803.3861v1)

   冻结 arXiv v1。核读式 (2)–(6) 的自适应沉积与长时极限；推导要求给定集体变量时，微观自由度能充分平衡。原文丙氨酸二肽数值实验不在本次复现范围内。

8. [Max Bonomi, PLUMED Masterclass 21.4, Metadynamics (2021; documentation v2.9)](https://www.plumed.org/doc-v2.9/user-doc/html/masterclass-21-4.html)

   核读理论概要、自由能重建、分块误差以及好坏集体变量练习。长时偏置关系保留采样前提；有限时间偏置不标为精确自由能。

9. [Weinan E and Eric Vanden-Eijnden, Towards a theory of transition paths, J. Stat. Phys. 123, 503–523 (2006)](https://doi.org/10.1007/s10955-005-9003-9)

   核对作者机构收录的已发表路径理论与前向 committor 定义；低维计算形式同时参照下一篇原始研究。

10. [Mauro Lapelosa and Cameron F. Abrams, Transition-Path Theory Calculations on Non-Uniform Meshes in Two and Three Dimensions using Finite Elements, Comput. Phys. Commun. 184, 2310–2315 (2013)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3760196/)

    核读该链接所载 2013 年 Transition-Path Theory Calculations on Non-Uniform Meshes in Two and Three Dimensions using Finite Elements 的后向 Kolmogorov 方程与反应流部分；未复制其网格数据或原图。