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title: "冻结无序怎样让快裂纹的路径变粗糙"
description: "让每个格点的断裂应变略有不同，快裂纹就不再走直线。用六个随机种子的系综量出路径偏离有多远。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[断裂力学 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fracture-mechanics/)

L4 · 第 8 章

# 冻结无序怎样让快裂纹的路径变粗糙

在动态格点模型里，驱动力为连续介质断裂能 1.86 倍的裂纹，在所有格点相同时走得笔直。给断裂应变加上 5% 的冻结随机起伏，路径平均偏离约半个过程区尺寸；起伏增大到 15%，偏离约 1.6 个。在这个载荷下，分叉仍然很少。这些是同一个二维模型的统计结果，每种无序强度用六个种子。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

读过第七章。会算平均值和标准差，知道对独立随机样本求平均的意义。

## 把无序放进断裂应变

每个格点有自己的临界应变：均匀值乘一加无序强度与一个随机数之积。随机场是方差为一的高斯场，在选定的格点数范围内做平滑，并且是冻结的：裂纹出发前就固定，不随时间变。断裂能随临界应变增大，于是材料里出现了较弱和较韧的小块。

随机场由种子和格点的全局位置生成。跟着裂纹向前滑动的长条新增的格点列，与同一样品之前的任何视图都一致。这样计算就能重复：同一个种子给出同一条路径。

$$
\epsilon_c(\mathbf x)=\epsilon_c\big[1+\eta\,\zeta(\mathbf x)\big],\qquad \langle\zeta\rangle=0,\quad\langle\zeta^2\rangle=1
$$

完整例题

## 量整条路径，不只看一张图

对裂纹穿过的每一列格点，找出断开格点的中心位置。横向散布就是这个中心沿路径的标准差，以过程区尺寸为单位。分叉比例是含有不止一段独立断开区的格点列所占的份额。

系综采用半宽 15、间距 0.5 的长条，弛豫参数 2，载荷为连续介质断裂能的 1.86 倍，无序在两个格点范围内相关，种子取 11 到 16。没有无序时，六次计算完全相同，路径笔直。无序强度 0.05 时，平均散布 0.52，单次结果在 0.28 到 0.87 之间。强度 0.15 时，平均散布 1.62，分叉出现在 0.15% 的格点列里。各无序强度下，裂纹平均前进 72 到 74 个过程区尺寸。

无序较弱时，种子之间的差别和平均值一样大，所以单次计算说明不了多少。六个种子只给出一个平均值，谈不上分布；要讨论分布的形状，需要多得多的样本。

$$
s_y=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\big(\bar y_j-\langle\bar y\rangle\big)^2},\qquad \langle\bar y\rangle=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\bar y_j
$$

## 这些数说明了什么，还留下什么

系综表明，在这个模型里，冻结无序把路径横向推开，推开的程度随无序强度增大，而裂纹的速度和长度几乎不变。它没有回答：散布怎样随传播距离增长、会不会饱和、和长条宽度有什么关系。这些都需要更长的长条和更多种子。

真实断面是三维的。Bouchbinder、Fineberg 和 Marder 描述了快裂纹中微分叉怎样在断面上留下痕迹，那里的动力学已超出线弹性断裂力学。二维反平面模型没有可以弯曲的裂纹前沿，它的路径统计不能直接与实测断面粗糙度比较。要和实测的粗糙度指数比较，需要三维模型，也需要梳理那方面的文献，两者都留待以后。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 在动态裂纹分叉实验里选“无序让路径变粗糙”，先预测：连续三次计算会不会走同一条线？
2. 让实验换新种子重新开始，比较叠在一起的路径；再把无序强度调到零。
3. 用散布读数说明，路径差别有多少来自无序强度，有多少来自具体的种子。

[驱动快裂纹，直到它摆动或分叉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dynamic-crack-branching/)

断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。

## 试着自己解释

### 1. 同一个种子、同样的设置，两次计算给出不同路径。这说明什么？

展开答案与解释

除了冻结无序，还有别的东西不同，比如时间步长或初始种子裂纹。种子、设置和代码都相同时，计算是确定性的，路径必须完全一样。

### 2. 无序强度 0.05 时，六个散布值在 0.28 到 0.87 之间。平均值 0.52 精确吗？

展开答案与解释

不太精确。这六个值的样本标准差约为 0.22，平均值的标准误约为 0.22 除以根号 6，大约 0.09。种子越多，它越小。

### 3. 为什么二维反平面模型预测不了真实断面的粗糙度指数？

展开答案与解释

它没有裂纹前沿。固体断面的粗糙来自一条能够弯曲、沿长度方向留下不同高度的前沿；二维模型只记录一条线。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)](https://arxiv.org/abs/0911.0173)

   第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。

2. [Karma & Lobkovsky, Unsteady crack motion and branching in a phase-field model of brittle fracture, Physical Review Letters 92, 245510 (2004); arXiv:cond-mat/0401056](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0401056)

   arXiv 版本的方程（1）至（7）定义反平面相场模型、无量纲单位和流向裂尖的能量，其中方程（5）是稳态能量平衡。图 3 给出三种载荷下的路径：短暂分叉后的直裂纹、蛇形路径和混乱分叉。课程用格点离散在相同名义参数下重算，只比较路径形状。

[上一章 动态相场模型中的快裂纹与分叉](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fracture-mechanics/fast-cracks-and-branching/)