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title: "热的表面为什么发光，好镜子为什么发光弱"
description: "从一个模式的平均能量和模式数目搭出 Planck 谱，推出 Stefan–Boltzmann 定律，再用 Kirchhoff 定律解释碳化硅的发射低谷。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/fluctuational-electrodynamics/thermal-emission-and-kirchhoff/"
last_modified: "2026-10-30"
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[涨落电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/)

L1 · 第 1 章

# 热的表面为什么发光，好镜子为什么发光弱

Sandbox Physics · 2026-10-30

室温下的物体主要在红外发光，波长在 10 µm 上下。每个频率上发多少光，取决于两件事：电磁场的一个热模式里有多少能量，表面肯不肯把这个模式放出来。黑表面来者不拒，照单全收；在某个频率上反射很强的表面，在这个频率上发光就弱，因为发射和吸收是同一个透射过程，只是方向相反。

## 开始前需要什么

平面波与波矢；光在界面上的反射；Boltzmann 因子和谐振子的平均能量；对频率积分。

- 用一个模式的平均能量乘单位体积的模式数，搭出 Planck 谱。
- 由这个谱推出 Stefan–Boltzmann 定律，以及两块黑板之间的热流。
- 用 Kirchhoff 定律说明碳化硅为什么在波长 11 µm 附近发光很弱。

## 一个模式有多少能量，单位体积有多少模式

设想一个四壁温度为 $T$ 的空腔。腔里的电磁场可以拆成许多驻波，每个驻波都是一个角频率为 $\omega$ 的谐振子。量子力学给出它在基态之上的平均能量 $\Theta(\omega,T)$。频率低、$\hbar\omega\ll k_BT$ 时，$\Theta$ 就是经典的 $k_BT$；频率高、$\hbar\omega\gg k_BT$ 时，它按指数掉到几乎为零。

再数模式。两种偏振都算上，单位体积里角频率落在 $\omega$ 到 $\omega+d\omega$ 之间的模式有 $\omega^2d\omega/(\pi^2c^3)$ 个。两者相乘，就是腔内单位体积、单位角频率的能量 $u_0$。

后面每一章都沿用这个分法：一个模式的平均能量只看温度和频率，模式有多少、能不能跑出来，则由材料和几何决定。

$$
\Theta(\omega,T)=\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1},\qquad u_0(\omega,T)=\Theta(\omega,T)\,\frac{\omega^{2}}{\pi^{2}c^{3}}
$$

Shchegrov 等人式 (1)，Joulain 等人式 (47)。$u_0$ 的单位是 $\mathrm{J\,s\,m^{-3}}$，即每单位角频率的能量密度。

来源：A. V. Shchegrov · K. Joulain

## 对频率积分，得到 Stefan–Boltzmann 定律

令 $x=\hbar\omega/k_BT$，积分化成 $\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,dx=\pi^4/15$。腔内总能量密度正比于 $T^4$。

黑表面向半个空间发射。穿过一个平面的能流，等于能量密度乘光速，再乘法向速度分量在离开表面那一半方向上的平均值 $1/4$。于是黑表面的辐射通量是 $\sigma T^4$。

谱的峰值在哪里，要看用什么变量。按单位角频率算，峰在 $\hbar\omega\approx2.82\,k_BT$，300 K 时是 $1.11\times10^{14}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$；按单位波长算，峰在 10 µm 附近，也就是 Wien 定律。两个峰对不上，是因为两条谱是对不同变量的密度。

$$
\int_0^{\infty}u_0\,d\omega=\frac{\pi^{2}k_B^{4}}{15\hbar^{3}c^{3}}\,T^{4},\qquad q_{\mathrm{black}}=\frac{c}{4}\int_0^{\infty}u_0\,d\omega=\sigma T^{4},\qquad \sigma=\frac{\pi^{2}k_B^{4}}{60\hbar^{3}c^{2}}
$$

用 2019 年起精确定义的国际单位制常量，$\sigma=5.670374419\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$，与 NIST 的列值十位全同。课程的基准脚本还直接对 $u_0$ 做数值积分，得到同一个数。

来源：NIST Reference on Constants · K. Joulain

## Kirchhoff 定律：发射就是反过来的吸收

真实表面会把一部分波反射回去。Joulain 等人算出半空间向外发射的能量密度时，发现每个方向上都带着一个因子：两种偏振透射率之和的一半。材料内部本来就有黑体辐射，热发射就是这些辐射穿过界面透射出来。

把同一个透射过程反过来走，就是外面的光透进材料、被吸收。两个方向的透射率相等，所以在每个频率、每个角度、每种偏振上，发射率都等于吸收率。这就是 Kirchhoff 定律，在这里它是透射可逆性的直接结果。

碳化硅（SiC）是本课程的主角。它的介电函数来自晶格振动：横光学声子频率 $\omega_T$ 和纵光学声子频率 $\omega_L$ 之间，$\varepsilon$ 的实部是负的，晶格逆着电场响应，表面几乎把光全部反射掉。这一段叫剩余射线带。

$$
e(\omega,\theta)=\tfrac{1}{2}\left[\left(1-|r_s|^{2}\right)+\left(1-|r_p|^{2}\right)\right]
$$

Joulain 等人式 (46) 中的发射率。$r_s$、$r_p$ 是角度为 $\theta$ 时两种偏振的 Fresnel 反射振幅；黑表面 $r=0$，$e=1$。

$$
\varepsilon(\omega)=\varepsilon_\infty\,\frac{\omega_L^{2}-\omega^{2}-i\gamma\omega}{\omega_T^{2}-\omega^{2}-i\gamma\omega}
$$

Shchegrov 等人第 1549 页给出的 SiC 介电函数，与 Joulain 等人式 (22) 相同：$\varepsilon_\infty=6.7$，$\omega_L=182.7$，$\omega_T=149.5$，$\gamma=0.9$，频率单位为 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

## 完整例题：两块黑板和碳化硅的一个低谷

题目。两块黑板相距 1 cm，温度分别是 400 K 和 300 K，求净热流。再求 SiC 在 $\omega=166$ 和 $\omega=200$（单位 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$）处的法向发射率，并说明 300 K 时 SiC 在 166 处发光有黑表面几成。

建模。黑板吸收照到它上面的全部辐射，所以每块板发出 $\sigma T^4$，又全部收下对方发来的。1 cm 远大于 10 µm 的热波长，间隙大小不影响结果。净热流 $q=\sigma(T_1^4-T_2^4)$。

计算。$\sigma T_1^4=1452\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，$\sigma T_2^4=459.3\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，相减得 $q=992\,\mathrm{W\,m^{-2}}$。如果用线性近似 $4\sigma T^3\Delta T$，取 $T=300\,\mathrm{K}$ 得到 $6.12\times100=612\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，少了 38%：温差 100 K 时 $T^4$ 的弯曲已经不能忽略。

再看 SiC。166 处 $\varepsilon=-7.48+0.41i$，代入法向公式得 $|r|^2=0.966$，发射率只有 0.034。200 处 $\varepsilon=2.51+0.04i$，发射率 0.949。也就是说，在 166 处 SiC 发出的光只有黑表面的 3.4%，在 200 处有 95%。远场光谱在 150 到 180 之间出现一个宽低谷，正是 Shchegrov 等人图 1(a) 里的那一段。

$$
e_\perp(\omega)=1-\left|\frac{1-\sqrt{\varepsilon(\omega)}}{1+\sqrt{\varepsilon(\omega)}}\right|^{2}
$$

法向入射时两种偏振相同。取 $\sqrt{\varepsilon}$ 虚部为正的那一支。

来源：NIST Reference on Constants · A. V. Shchegrov

## 到实验里试一试

### [在远处看碳化硅的发射低谷](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thermal-near-field-probe/)

1. 先预测：探针离 300 K 的 SiC 表面 1 mm 时，它测到的光谱会在哪一段低于虚线画的黑表面参考？
2. 选“远场光谱”预设。对比实线和黑表面参考在 150 到 180（单位 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$）之间的差别，再读出“最强频率”。
3. 把样品温度调到 600 K。低谷的位置变了吗？用介电函数解释：在这个模型里，它和温度无关。

### [移动 Planck 峰](https://sandboxphysics.com/zh/labs/blackbody-radiation/)

1. 先预测：腔体温度从 300 K 升到 600 K，光谱峰值的波长变成原来的几倍？
2. 在黑体辐射实验里依次设两个温度，读出峰值波长；再把灰体发射率设为 0.5。
3. 说明灰体为什么只是整体缩小、峰的位置不动，而 SiC 会在一段频率里挖出一个洞。

## 练习与解答

1. 两块黑板温度为 310 K 和 300 K。分别用精确公式和线性近似求净热流。

   展开解答

   精确值 $\sigma(310^4-300^4)=5.670\times10^{-8}\times1.135\times10^{9}=64.4\,\mathrm{W\,m^{-2}}$。线性近似取 300 K 时 $4\sigma T^3\Delta T=61.2\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，取两板平均温度 305 K 时为 $64.4\,\mathrm{W\,m^{-2}}$。温差小、又用平均温度时，线性近似几乎精确。

2. 一个灰体在所有频率上的发射率都是 0.5。它的光谱和总辐射与同温黑体相比如何？SiC 为什么不是灰体？

   展开解答

   灰体的光谱在每个频率上都减半，峰的位置不变，总辐射是 $\sigma T^4/2$。SiC 的发射率随频率剧烈变化：200 处为 0.95，166 处只有 0.03（单位 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$），所以它的光谱在剩余射线带里缺一块，形状也变了。

3. SiC 的近场谱线在 $\omega=178.7\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。求 300 K 时的 $\hbar\omega/k_BT$ 和以 $k_BT$ 为单位的 $\Theta$。温度升到 600 K，$\Theta$ 变成几倍？

   展开解答

   300 K 时 $\hbar\omega/k_BT=4.55$，$\Theta/k_BT=4.55/(e^{4.55}-1)=0.0486$。600 K 时 $\hbar\omega/k_BT=2.275$，$\Theta$ 是 300 K 时的 10.7 倍。温度只翻一倍，这条线的模式能量却涨了十倍，因为它处在 Planck 谱指数下降的一侧。

4. 一个 300 K 的表面放在 300 K 的空腔里。如果它在某个频率上的发射率大于吸收率，会发生什么？Joulain 等人的推导比这个热力学论证多给了什么？

   展开解答

   它在这个频率上发出的比吸收的多，会自发变冷，空腔变热，不用做功就造出温差，违反热力学第二定律，所以两者必须相等。热力学只要求总体平衡；Joulain 等人的推导把发射率写成透射率，而透射在交换光源和探测器后不变，所以等式在每个频率、每个角度、每种偏振上分别成立。

[下一章：倏逝波与碳化硅的表面声子极化激元](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/evanescent-waves-and-surface-polaritons/)

## 来源与复算范围

1. [A. V. Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati and J.-J. Greffet, Near-field spectral effects due to electromagnetic surface excitations, Physical Review Letters 85, 1548–1551 (2000), HAL hal-01624761v1](https://hal.science/hal-01624761v1)

   HAL 存档中已发表信件的全文。式 (1)：Planck 谱等于模式能量乘模式密度。式 (2) 至 (5)：由涨落–耗散定理给出热电流，再求发射电场的能量密度。式 (6)：表面波色散关系。式 (7)、(8)：近场光谱等于模式能量乘局域模式密度，后者按高度的负三次方增长。第 1549 页给出 SiC 参数。图 1：300 K 的 SiC 上方 1000、2、0.1 µm 处的光谱，谱线位于 178.7（单位 10 的 12 次方 rad/s）。图 3：166 与 210（同一单位）处随高度的衰减。我们复算了谱线位置、高度规律和 166 处的衰减，没有数字化图中曲线。

2. [K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)](https://arxiv.org/abs/physics/0504068v2)

   2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。

3. [NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty: speed of light in vacuum, reduced Planck constant, Boltzmann constant and Stefan–Boltzmann constant](https://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html)

   这四个常量的数值页面。2019 年起，光速、Planck 常量和 Boltzmann 常量在国际单位制中都是精确值，由它们算出的 Stefan–Boltzmann 常量与 NIST 列出的 5.670374419 十位数字全部一致。