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title: "涨落电动力学：窄缝两侧的热流与吸引力"
description: "比波长还窄的真空缝两侧，热流和吸引力怎样变化：热辐射、表面波、近场传热与 Casimir 力，一门连续课程。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/fluctuational-electrodynamics/"
last_modified: "2026-10-30"
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[涨落电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/)

FR32 · 连续互动课程

# 涨落电动力学：窄缝两侧的热流与吸引力

Sandbox Physics · 2026-10-30

两块温热的平板隔开几十微米时，它们交换的是普通的热辐射，不会超过两块黑体之间的传热。把间隙缩到 10 纳米，热流就是两块黑体之间的一千多倍；同样的涨落场还会把两块板拉向对方，力气大到能让微机械平板偏转。这门课从同一幅图景推出这两件事：热材料里的随机电流，以及它们发出的波。

[从热辐射开始](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/thermal-emission-and-kirchhoff/) 先动手试试

温度为 $T_1$ 和 $T_2$ 的两块平板，中间是宽 $d$ 的真空间隙。行波（琥珀色）的面内波矢小于 $k_0$，可以直接穿过；倏逝波（青色）从两个表面向外衰减，只有当 $d$ 与衰减长度相当时才能隧穿过去。原创示意图，未按比例。

## 从一块温热的表面，到隔着缝的吸引力

第一章把 Planck 谱写成“一个模式的能量乘模式的数目”，再用 Kirchhoff 定律把发射和吸收连起来。第二章说明面内波矢很大的场只能贴着表面，并找出碳化硅的表面波。第三章用涨落–耗散定理算出热表面上方的能量密度，以及离表面 100 nm 时出现的那条窄谱线。第四章数一数两块平板之间有多少传热通道，从黑板推回 Stefan–Boltzmann 定律。第五章沿着隧穿通道一路走到 10 nm 的间隙，看热流为什么随间隙按平方反比增长。第六章让两边温度相等，同样的涨落场变成作用在扭转振子上的 Casimir 力。最后一章逐图读 Shchegrov 等人 2000 年的那封信。

需要会写均匀介质中的 Maxwell 方程、会算复数、学过近代物理入门里的 Planck 谱，会读双对数坐标图。涨落–耗散定理、Fresnel 系数和邻近力近似在第一次用到时再介绍。 [FR32](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/62)

1. 01 · L1

   ## [热的表面为什么发光，好镜子为什么发光弱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/thermal-emission-and-kirchhoff/)

   从一个模式的平均能量和模式数目搭出 Planck 谱，推出 Stefan–Boltzmann 定律，再用 Kirchhoff 定律解释碳化硅的发射低谷。

2. 02 · L2

   ## [倏逝波与碳化硅的表面声子极化激元](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/evanescent-waves-and-surface-polaritons/)

   面内波矢大于自由空间波数的场只能贴着表面衰减。推导碳化硅表面波的色散关系、衰减长度，以及表面波集中出现的频率。

3. 03 · L3

   ## [离热表面 100 nm，宽谱为什么缩成一条线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/near-field-spectrum/)

   用涨落–耗散定理写出热表面上方的能量密度，推出近距离下的负三次方规律，算出碳化硅在 100 nm 处几乎单色的谱线。

4. 04 · L3

   ## [两块平板隔着真空传热，按通道一个个数](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/heat-across-a-vacuum-gap/)

   把两块平板之间的辐射热流写成频率、面内波矢和偏振三者确定的通道之和，从黑板极限推出 Stefan–Boltzmann 定律，并检查细致平衡。

5. 05 · L3

   ## [近场传热为什么与间隙的平方成反比](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/tunnelling-channels-and-the-inverse-square-law/)

   在准静态极限下数出两块碳化硅之间的隧穿通道，推出传热系数与间隙平方成反比，并说明阻尼和材料搭配为什么会改变结果。

6. 06 · L3

   ## [Casimir 力怎样让一块微机械平板有两种摆幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/casimir-force-and-a-bistable-oscillator/)

   从理想镜面的 Casimir 压强出发，用 Lifshitz 折减因子处理真实的金，再用邻近力近似算出 Chan 等人扭转振子的频移、非线性系数和迟滞。

7. 07 · L4

   ## [跟着 Shchegrov 等人 2000 年的信，看碳化硅远看和近看的光谱为什么不同](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/reading-shchegrov-2000/)

   按顺序读这篇四页的 PRL：抓住式 (7) 这个转折点，自己复算谱线位置、远场低谷、166 处的衰减和负三次方规律，并看清图 1 画的是什么、没画什么。

## 沿途的实验

[01 **把探针移近热表面** 把探针降向热的碳化硅表面，看宽阔的热辐射光谱怎样收缩成一条亮线：表面束缚波接管了能量。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thermal-near-field-probe/) [02 **隔着真空缝传热** 把冷热两块板的间隙从 20 微米缩到 10 纳米，看热流超过黑体极限上千倍。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/near-field-heat-transfer/) [03 **被真空拉住的平板** 让金球靠近以 2748 Hz 驱动的扭转平板，看 Casimir 力把共振拉低，直到摆幅在两个值之间跳变。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/casimir-torsional-oscillator/)

三个实验算的都是各章推出的那几条公式，不拟合，也不重画发表的曲线。探针实验计算 SiC 或金半空间上方的能量密度，并在旁边画出远场光谱和黑体表面作比较。传热实验把两块平板之间的通道加起来，并画出两块黑板作为精确的参照。Casimir 实验把邻近力近似和三种镜面模型的 Lifshitz 折减因子结合起来；振子常数取自 Chan 等人的论文，他们测到的数据点在基准记录里比较，没有画进实验。

## 来源与复算范围

1. [A. V. Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati and J.-J. Greffet, Near-field spectral effects due to electromagnetic surface excitations, Physical Review Letters 85, 1548–1551 (2000), HAL hal-01624761v1](https://hal.science/hal-01624761v1)

   HAL 存档中已发表信件的全文。式 (1)：Planck 谱等于模式能量乘模式密度。式 (2) 至 (5)：由涨落–耗散定理给出热电流，再求发射电场的能量密度。式 (6)：表面波色散关系。式 (7)、(8)：近场光谱等于模式能量乘局域模式密度，后者按高度的负三次方增长。第 1549 页给出 SiC 参数。图 1：300 K 的 SiC 上方 1000、2、0.1 µm 处的光谱，谱线位于 178.7（单位 10 的 12 次方 rad/s）。图 3：166 与 210（同一单位）处随高度的衰减。我们复算了谱线位置、高度规律和 166 处的衰减，没有数字化图中曲线。

2. [K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)](https://arxiv.org/abs/physics/0504068v2)

   2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。

3. [H. B. Chan, V. A. Aksyuk, R. N. Kleiman, D. J. Bishop and F. Capasso, Nonlinear micromechanical Casimir oscillator, arXiv:quant-ph/0109046v2; Physical Review Letters 87, 211801 (2001)](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0109046v2)

   2001 年 9 月 21 日 v2。装置：一块 500 µm 的多晶硅平板，镀金，由两根扭转杆支撑；对面是半径 100 µm 的镀金小球。式 (1)：把 Casimir 力展开到三阶的运动方程。式 (2)、(3)：移动后的共振频率与非线性系数。式 (4)：他们拟合时用的理想镜面力梯度，拟合给出最近距离 85.9 nm、力臂 131.0 µm。式 (5)：振幅方程。图 4 图注：Q 为 7150，四个距离，四个非线性系数，摆幅 39 nm，(b) 图驱动频率固定在 2748 Hz。正文：双稳区里两种摆幅最多相差 6 倍。我们复算了非线性系数和迟滞曲线，没有数字化实验数据。

4. [A. Lambrecht and S. Reynaud, Casimir force between metallic mirrors, arXiv:quant-ph/9907105v2; European Physical Journal D 8, 309–318 (2000)](https://arxiv.org/abs/quant-ph/9907105v2)

   v2。式 (1)、(2)：理想镜面之间的 Casimir 能量与力。式 (3) 至 (6)：等离子体波长，以及力和能量的折减因子。式 (7)：热长度，室温下约几微米。式 (8)：球–平面几何下的邻近力近似。式 (14)、(15)：短距离下的斜率。第 V 节与表 (20)：金的等离子体频率 9.0 eV（等离子体波长 136 nm）、阻尼 35 meV，以及由光学数据表算出的 0.1、0.5、3 µm 处折减因子。正文：弛豫对力的影响小于 2%。我们用模型介电函数复算了渐近式和这张表。

5. [NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty: speed of light in vacuum, reduced Planck constant, Boltzmann constant and Stefan–Boltzmann constant](https://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html)

   这四个常量的数值页面。2019 年起，光速、Planck 常量和 Boltzmann 常量在国际单位制中都是精确值，由它们算出的 Stefan–Boltzmann 常量与 NIST 列出的 5.670374419 十位数字全部一致。