--- title: "两块平板隔着真空传热，按通道一个个数" description: "把两块平板之间的辐射热流写成频率、面内波矢和偏振三者确定的通道之和，从黑板极限推出 Stefan–Boltzmann 定律，并检查细致平衡。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/heat-across-a-vacuum-gap/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/fluctuational-electrodynamics/heat-across-a-vacuum-gap/" last_modified: "2026-10-30" --- [涨落电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/) L3 · 第 4 章 # 两块平板隔着真空传热，按通道一个个数 Sandbox Physics · 2026-10-30 两块平板中间只隔一层真空，热量只能靠辐射过去。间隙比热波长大得多时，这就是课本里的黑体辐射换热，结果与间隙无关。间隙缩小以后，两侧表面的倏逝场开始重叠，原来到不了对面的波能隧穿过去，热流随之增加。本章先搭好计算框架，再用它在远场极限下重新得到熟悉的结果。 ## 开始前需要什么 第一章的模式能量和 Stefan–Boltzmann 定律；第二章的倏逝波和反射系数；第三章的涨落电流图像。 - 把净热流写成通道之和：每个频率、面内波矢和偏振是一个通道，透射率在 0 到 1 之间。 - 从黑板极限的通道数推出 Stefan–Boltzmann 定律。 - 用相同温度下热流为零、交换冷热板后热流反号这两条检验确认公式自洽。 ## 每个通道最多传一份 两块半无限大平板，温度 $T_1$ 和 $T_2$，中间是宽 $d$ 的真空。两侧都按第三章的方式发出热辐射，也都吸收对方的辐射。 把场按频率 $\omega$、面内波矢 $\beta$ 和偏振拆开。平板在面内是平移不变的，每一组 $(\omega,\beta)$ 再加一种偏振，各自独立，可以看成一条通道。板 1 送进通道的能量是 $\Theta(\omega,T_1)$，板 2 送回来的是 $\Theta(\omega,T_2)$，通道的能量透射率 $\tau$ 决定有多少过得去。 净热流就是对所有通道求和：两侧模式能量之差，乘透射率，再乘单位面积的通道数。这种写法叫 Polder–Van Hove 形式。Joulain 等人式 (90) 和 (91) 把同一个结果拆成传播波和倏逝波两项。 $$ q=\int_0^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\,\bigl[\Theta(\omega,T_1)-\Theta(\omega,T_2)\bigr]\,\Phi(\omega,d),\qquad \Phi(\omega,d)=\sum_{s,p}\int_0^{\infty}\frac{\beta\,d\beta}{2\pi}\,\tau(\omega,\beta,d) $$ $\Phi$ 是单位面积、每个单位角频率上的有效通道数，单位 $\mathrm{m^{-2}}$。真空零点能 $\hbar\omega/2$ 在两侧相同，相减后消失。 温度为 $T_1$ 和 $T_2$ 的两块平板，中间是宽 $d$ 的真空间隙。行波（琥珀色）的面内波矢小于 $k_0$，可以直接穿过；倏逝波（青色）从两个表面向外衰减，只有当 $d$ 与衰减长度相当时才能隧穿过去。原创示意图，未按比例。 来源：K. Joulain ## 传播通道与隧穿通道的透射率 面内波矢小于 $k_0$ 的通道是传播波。波离开板 1，在两板之间来回反射，形成 Fabry–Perot 式的干涉。分子是两个界面各自的透射，分母记下多次反射。 面内波矢大于 $k_0$ 的通道是倏逝波。单独一个界面上，它不带走能量；对面有第二个界面时，两侧的衰减场叠在一起，能量能隧穿过去。透射率正比于 $e^{-2\kappa d}$，间隙越小越大。分子里是两个反射系数的虚部，第二章说过，在表面波附近这个虚部很大。 两种通道的透射率都不超过 1。课程基准脚本在多组频率、波矢和间隙下抽查，最大值是 0.999999。一个通道最多把两侧模式能量之差全部送过去，不会更多。 $$ \tau=\begin{cases}\dfrac{(1-|r_1|^{2})(1-|r_2|^{2})}{|1-r_1r_2e^{2ik_zd}|^{2}}, & \betak_0\end{cases} $$ Joulain 等人式 (90)、(91) 中的透射因子。$r_1$、$r_2$ 是两块板对同一偏振、同一 $\beta$ 的反射系数。 来源：K. Joulain ## 黑板极限：数通道数得到 Stefan–Boltzmann 定律 两块黑板不反射，$r=0$。传播通道透射率为 1，倏逝通道为 0。两种偏振都算上，$\Phi=k_0^2/(2\pi)$：单位面积上的通道数和频率的平方成正比。 代入热流公式，被积函数正好是 $(c/4)\,[u_0(T_1)-u_0(T_2)]$，积分得到 $\sigma(T_1^4-T_2^4)$。第一章用能量密度乘光速再取平均得到的结果，在这里变成了数通道。 课程模型在 10 nm、1 µm 和 100 µm 三个间隙上检验了这个极限，相对误差都不超过 $2\times10^{-10}$，与间隙无关。黑板之间没有近场增强，因为黑表面根本不存储倏逝场。 真实材料在远场是灰的。对频率间隔内的干涉条纹取平均，传播项回到不考虑干涉的经典灰板公式。基准脚本在 100 µm 间隙上比较了二者，三个频率处相差 1% 以内。 $$ \Phi_{\mathrm{black}}=2\int_0^{k_0}\frac{\beta\,d\beta}{2\pi}=\frac{k_0^{2}}{2\pi},\qquad q=\int_0^{\infty}\frac{\Theta_1-\Theta_2}{4\pi^{2}c^{2}}\,\omega^{2}d\omega=\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right) $$ 每种偏振的通道数是半径为 $k_0$ 的圆面积除以 $(2\pi)^2$。 $$ q_{\mathrm{grey}}=\frac{\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right)}{1/e_1+1/e_2-1} $$ 两块不透明灰板在远场、不计干涉时的换热，$e_1$、$e_2$ 是发射率。 来源：K. Joulain · NIST Reference on Constants ## 完整例题：1 µm 间隙的 SiC 平板 题目。两块 SiC 平板，400 K 和 300 K，间隙 1 µm。模型给出净热流 $2.18\times10^{3}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，其中 70.6% 由隧穿通道携带。与同温度的两块黑板相比是几倍？间隙放大到 20 µm 时又如何？ 建模。黑板的结果与间隙无关，就是第一章例题的 $992\,\mathrm{W\,m^{-2}}$。SiC 的结果来自对通道求和的完整模型。 计算。1 µm 时，$2178/992.3=2.19$：已经超过黑体极限一倍多，而这时间隙只比热波长小一个数量级。20 µm 时模型给出 $566\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，是黑板的 0.57 倍，隧穿只占 1.3%。 解释。20 µm 时几乎只剩传播通道，SiC 在剩余射线带里几乎全反射，发射率低，所以比黑板少。1 µm 时，正是这段高反射频带里的表面波打开了大量隧穿通道。Kirchhoff 定律在远场惩罚 SiC 的东西，到了近场反而成了它的优势。 检验。把冷热板温度都设为 300 K，热流严格为零；把 SiC 与金对调并交换温度，热流反号，残差为零；两板互换时每个通道的透射率不变。这三条是细致平衡和互易性在模型里的直接体现。 来源：K. Joulain ## 到实验里试一试 ### [从黑体区走到 1 µm](https://sandboxphysics.com/zh/labs/near-field-heat-transfer/) 1. 先预测：间隙从 20 µm 缩到 1 µm，SiC 平板之间的净热流会比两块黑板多还是少？ 2. 选“黑体区”预设，读出与两块黑板之比和隧穿波所占份额；再把间隙调回 1 µm。 3. 看“热量在哪些频率流动”图，指出 1 µm 时多出来的热流集中在哪一段频率，并用第二章的表面波解释。 ### [温度相同时热流在哪里](https://sandboxphysics.com/zh/labs/near-field-heat-transfer/) 1. 先预测：两块板都在 300 K，间隙 100 nm，净热流是多少？传热系数是多少？ 2. 选“温度相同”预设，读出净热流，再打开“更多数值”读出传热系数。 3. 说明为什么净热流为零而传热系数不为零：后者描述的是温差很小时，热流随温差增长的斜率。 ## 练习与解答 1. 频率为 $178.7\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 时，两块黑板之间每平方微米、每种偏振有多少个通道（按 $k_0^2/(4\pi)$ 计）？ 展开解答 $k_0=5.961\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}$，$k_0^2/(4\pi)=2.83\times10^{10}\,\mathrm{m^{-2}}$，即每平方微米 0.0283 个。下一章会看到，10 nm 间隙时可用的隧穿通道多出四个数量级以上。 2. 两块灰板发射率都是 0.5，温度 400 K 和 300 K，间隙远大于热波长。净热流是多少？ 展开解答 分母 $1/0.5+1/0.5-1=3$，$q=992/3=331\,\mathrm{W\,m^{-2}}$。两块板之间来回多次反射，所以结果比单块板的 0.5 倍还小。 3. 一块 SiC 板和一块金板，温度都是 300 K，间隙 10 nm，近场隧穿很强。净热流会不会因为“SiC 更会发射”而从 SiC 流向金？ 展开解答 不会。每个通道的净热流正比于 $\Theta(\omega,T_1)-\Theta(\omega,T_2)$，温度相同时每个通道都是零，与透射率多大无关。再者，透射率在两板互换时不变：SiC 往金送得多的通道，金往 SiC 送得也一样多。 4. 为什么热流公式里只出现 $\Theta$，不出现零点能 $\hbar\omega/2$？ 展开解答 零点能两侧相同。每个通道的净热流是两侧模式能量之差乘透射率，零点能相减为零。Joulain 等人第 3.4 节也指出，计算能流时零点能在发射与吸收相减时抵消；计算 Casimir 力时则必须保留它。第六章会用到这一点。 [上一章：离热表面 100 nm，宽谱为什么缩成一条线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/near-field-spectrum/) [下一章：近场传热为什么与间隙的平方成反比](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/tunnelling-channels-and-the-inverse-square-law/) ## 来源与复算范围 1. [K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)](https://arxiv.org/abs/physics/0504068v2) 2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。 2. [NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty: speed of light in vacuum, reduced Planck constant, Boltzmann constant and Stefan–Boltzmann constant](https://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html) 这四个常量的数值页面。2019 年起，光速、Planck 常量和 Boltzmann 常量在国际单位制中都是精确值，由它们算出的 Stefan–Boltzmann 常量与 NIST 列出的 5.670374419 十位数字全部一致。