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title: "倏逝波与碳化硅的表面声子极化激元"
description: "面内波矢大于自由空间波数的场只能贴着表面衰减。推导碳化硅表面波的色散关系、衰减长度，以及表面波集中出现的频率。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/evanescent-waves-and-surface-polaritons/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/fluctuational-electrodynamics/evanescent-waves-and-surface-polaritons/"
last_modified: "2026-10-30"
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[涨落电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/)

L2 · 第 2 章

# 倏逝波与碳化硅的表面声子极化激元

Sandbox Physics · 2026-10-30

热表面附近的电磁场里，有一部分永远走不到远处。它们的面内波矢太大，离开表面后按指数衰减，远处的探测器看不到它们。在碳化硅这样的极性晶体上，这些贴面的波里有一种真正的本征模：表面声子极化激元。它的频率几乎钉在一个值上，这个值就是下一章近场光谱里那条亮线的位置。

## 开始前需要什么

第一章的 Fresnel 反射系数和 SiC 介电函数；复数的平方根；指数衰减。

- 说明面内波矢大于自由空间波数时，场为什么只能贴着表面衰减。
- 由 p 偏振反射系数的极点推出表面波色散关系，并找出它的平坦渐近频率。
- 计算 SiC 在几个频率上表面波的波矢与能量衰减长度。

## 面内波矢太大的波离不开表面

在真空里，频率为 $\omega$ 的平面波波数是 $k_0=\omega/c$。把波矢拆成平行于表面的分量 $\beta$ 和垂直分量 $k_z$，有 $\beta^2+k_z^2=k_0^2$。只要 $\beta<k_0$，$k_z$ 是实数，波可以离开表面走向远处。

材料内部的热电流什么样的 $\beta$ 都能产生。当 $\beta>k_0$ 时，$k_z$ 变成虚数，场在真空一侧按 $e^{-\kappa z}$ 衰减，能量密度按 $e^{-2\kappa z}$ 衰减。这种波叫倏逝波。它沿表面方向的周期比真空波长还短，离表面越远越弱，远处的光谱仪测不到。

玻璃里的全反射是同一回事：反射面外侧也有一层倏逝场，只是平时没有东西去接它。若把第二块玻璃推到这层场里，光会隧穿过去。第四、五章的热流就靠这种隧穿。

$$
k_z=\sqrt{k_0^{2}-\beta^{2}}=i\kappa,\qquad \kappa=\sqrt{\beta^{2}-k_0^{2}},\qquad |\mathbf E|^{2}\propto e^{-2\kappa z}\quad(\beta>k_0)
$$

取 $\operatorname{Im}k_z>0$ 的一支，场在离开表面的方向衰减。

来源：A. V. Shchegrov · K. Joulain

## 反射系数的极点就是表面波

倏逝波里有一类特殊的解：没有入射波，界面两侧的场仍能自洽存在，沿表面传播，向两侧衰减。这样的解要求反射系数的分母为零，也就是反射系数的极点。

非磁性材料没有 s 偏振的表面波。s 偏振的分母是 $k_{z0}+k_{z1}$，两侧都衰减时两项的虚部都为正，加起来不可能为零。p 偏振的分母是 $\varepsilon k_{z0}+k_{z1}$，如果 $\varepsilon$ 是负的，两项可以相消。

把 $k_{z0}^2=k_0^2-\beta^2$ 和 $k_{z1}^2=\varepsilon k_0^2-\beta^2$ 代入 $\varepsilon^2k_{z0}^2=k_{z1}^2$，整理得 $\beta^2=k_0^2\,\varepsilon/(\varepsilon+1)$。要让 $\beta$ 是实数且大于 $k_0$，需要 $\varepsilon<-1$。

$$
r_p=\frac{\varepsilon\,k_{z0}-k_{z1}}{\varepsilon\,k_{z0}+k_{z1}},\qquad \varepsilon\,k_{z0}+k_{z1}=0\;\Longrightarrow\;\beta=k_0\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon+1}}
$$

Joulain 等人式 (17) 与式 (20)，Shchegrov 等人式 (6)。$k_{z0}$ 在真空一侧，$k_{z1}$ 在材料一侧。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

## 色散曲线变平的地方，模式挤在一起

SiC 的 $\varepsilon$ 在 $\omega_T$ 到 $\omega_L$ 之间为负。频率从 $\omega_T$ 往上走，$\varepsilon$ 从很大的负数升向 $-1$，$\beta/k_0$ 从略大于 1 一路增大，到 $\varepsilon=-1$ 时趋于无穷。这个频率记作 $\omega_{\mathrm{sp}}$。

色散曲线在 $\omega_{\mathrm{sp}}$ 附近几乎水平：一大片 $\beta$ 值对应几乎同一个频率。在这一窄频段里，单位面积上的表面模式数目远多于真空里同频率的传播模式。Joulain 等人把它称作电磁态密度的峰。

用 Shchegrov 等人给出的参数，$\omega_{\mathrm{sp}}=178.74\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。Joulain 等人从以波数给出的参数算出 $1.784\times10^{14}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，差 0.2%，来自单位换算时的舍入。

当 $\beta$ 远大于 $k_0$ 时，两侧的 $k_z$ 都接近 $i\beta$，反射系数不再依赖 $\beta$。它的虚部只由 $\varepsilon$ 决定，在 $|\varepsilon+1|$ 最小处最大。下一章会看到，这个虚部就是近场里每个倏逝模式的发射强度。

$$
\varepsilon(\omega_{\mathrm{sp}})=-1\;\Longrightarrow\;\omega_{\mathrm{sp}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_\infty\omega_L^{2}+\omega_T^{2}}{\varepsilon_\infty+1}}
$$

无损极限下令 SiC 的介电函数等于 $-1$ 解出的频率。

$$
\beta\gg k_0:\quad r_p\to\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1},\qquad \operatorname{Im}r_p\to\frac{2\operatorname{Im}\varepsilon}{|\varepsilon+1|^{2}}
$$

准静态极限：此时 p 偏振反射与波矢无关。在 178.7 处 $\operatorname{Im}\varepsilon/|\varepsilon+1|^2=7.70$，在 166 处只有 0.0097（单位 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$）。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

## 完整例题：166 处的表面波能伸出多远

题目。Shchegrov 等人图 3 显示，在 $\omega=166\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 处，能量密度在 1 到 5 µm 高度之间按指数衰减，而在 210 处不是。求 166 处表面波的 $\beta/k_0$ 和能量衰减长度 $1/(2\kappa)$，再说明 210 处为什么没有指数段。

建模。忽略阻尼，取 $\varepsilon(166)=-7.495$。用色散关系求 $\beta$，再求 $\kappa=\sqrt{\beta^2-k_0^2}$。

计算。$k_0=166\times10^{12}/(2.998\times10^{8})=5.537\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}$，对应真空波长 11.35 µm。$\beta^2/k_0^2=7.495/6.495=1.1540$，$\beta/k_0=1.074$。$\kappa/k_0=\sqrt{0.1540}=0.3924$，$\kappa=2.173\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}$，能量衰减长度 $1/(2\kappa)=2.30\,\mu\mathrm{m}$。

验算。课程的基准脚本用完整模型（含阻尼、含所有倏逝波）算出 2 到 5 µm 之间的能量密度，再拟合指数，得到 2.286 µm，与 2.301 µm 差 0.65%。指数段确实由这一个表面模主导。

210 处 $\varepsilon=3.30$，是正数，没有表面波。那里的倏逝能量来自一片连续的 $\beta$，衰减长度各不相同，叠加起来不是单一指数。越靠近 $\omega_{\mathrm{sp}}$，表面波贴得越紧：175 处 $\beta/k_0=1.35$，衰减长度 0.95 µm；178 处 $\beta/k_0=2.37$，0.39 µm。

来源：A. V. Shchegrov

## 到实验里试一试

### [比较两个频率怎样随高度衰减](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thermal-near-field-probe/)

1. 先预测：在 1 到 5 µm 之间，166 和 210 这两个频率，哪一个的能量密度在对数坐标下是一条直线？
2. 选“谱线浮现”预设，看“两个频率随高度的变化”图。在 1 到 5 µm 之间量出 166 那条曲线降到 1/e 所需的高度差，和例题的 2.30 µm 比较。
3. 再看“哪些波携带能量”图，找出亮带沿着哪条曲线走；把探针降到 100 nm，说明亮带为什么移向更大的面内波矢。

### [金表面为什么没有谱线](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thermal-near-field-probe/)

1. 先预测：金的表面等离激元在近紫外。300 K 时它会在探针处的光谱里出现吗？
2. 选“金：没有谱线”预设，读出最强频率，再把高度调到 10 nm。
3. 用平坦渐近频率和第一章的平均模式能量解释：金的表面模存在，只是 300 K 时几乎没有能量。

### [让倏逝波把能量带过空气隙](https://sandboxphysics.com/zh/labs/boundary-wave-tunnel/)

1. 先预测：玻璃–空气界面超过临界角时，空气里的场会把能量从表面带走吗？
2. 打开“边界波隧穿”Lab，先选“单界面全反射”预设，再选“双界面隧穿”。把空气隙调窄再调宽，看穿过间隙的功率怎样变化。
3. 用本章的衰减常数解释：一个衰减波本身为什么不带走能量，第二块玻璃靠近后能量为什么又能过去。第四章两块平板之间的隧穿通道就是同一件事。

## 练习与解答

1. 某材料在某频率上 $\varepsilon=-2$（忽略损耗）。求表面波的 $\beta/k_0$，以及能量衰减长度与真空波长之比。

   展开解答

   $\beta^2/k_0^2=(-2)/(-1)=2$，$\beta/k_0=\sqrt2=1.414$。$\kappa=\sqrt{2k_0^2-k_0^2}=k_0$，能量衰减长度 $1/(2k_0)=\lambda/(4\pi)$，约为真空波长的 8%。

2. 为什么 $-1<\varepsilon<0$ 时没有表面波？

   展开解答

   此时 $\varepsilon/(\varepsilon+1)$ 是负数，$\beta^2$ 为负，$\beta$ 不是实数，没有沿表面传播、向两侧衰减的解。SiC 在 $\omega_{\mathrm{sp}}$ 与 $\omega_L$ 之间就是这种情形，所以表面波只出现在 $\omega_T$ 到 $\omega_{\mathrm{sp}}$ 之间。

3. 金的等离子体频率 $\omega_P=1.385\times10^{16}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。在 Drude 模型里，它的表面模平坦渐近频率是多少？300 K 时 $\hbar\omega/k_BT$ 有多大，这个模式里能有多少热能？

   展开解答

   无损 Drude 模型 $\varepsilon=1-\omega_P^2/\omega^2=-1$ 给出 $\omega_{\mathrm{sp}}=\omega_P/\sqrt2=9.79\times10^{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。300 K 时 $\hbar\omega/k_BT=249$，平均模式能量约为 $249\,e^{-249}\,k_BT$，实际上为零。金的近场光谱里因此没有对应的谱线。

4. 在准静态极限下，比较 SiC 在 178.7 和 166 处的 $\operatorname{Im}r_p$（单位 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$）。

   展开解答

   178.7 处 $\varepsilon=-1.008+0.129i$，$|\varepsilon+1|^2=0.0168$，$\operatorname{Im}r_p=2\times0.129/0.0168=15.4$。166 处 $\varepsilon=-7.48+0.41i$，$|\varepsilon+1|^2=42.2$，$\operatorname{Im}r_p=0.019$。前者大约 800 倍。差别来自分母：178.7 处 $\varepsilon$ 几乎正好是 $-1$。

[上一章：热的表面为什么发光，好镜子为什么发光弱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/thermal-emission-and-kirchhoff/) [下一章：离热表面 100 nm，宽谱为什么缩成一条线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/near-field-spectrum/)

## 来源与复算范围

1. [A. V. Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati and J.-J. Greffet, Near-field spectral effects due to electromagnetic surface excitations, Physical Review Letters 85, 1548–1551 (2000), HAL hal-01624761v1](https://hal.science/hal-01624761v1)

   HAL 存档中已发表信件的全文。式 (1)：Planck 谱等于模式能量乘模式密度。式 (2) 至 (5)：由涨落–耗散定理给出热电流，再求发射电场的能量密度。式 (6)：表面波色散关系。式 (7)、(8)：近场光谱等于模式能量乘局域模式密度，后者按高度的负三次方增长。第 1549 页给出 SiC 参数。图 1：300 K 的 SiC 上方 1000、2、0.1 µm 处的光谱，谱线位于 178.7（单位 10 的 12 次方 rad/s）。图 3：166 与 210（同一单位）处随高度的衰减。我们复算了谱线位置、高度规律和 166 处的衰减，没有数字化图中曲线。

2. [K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)](https://arxiv.org/abs/physics/0504068v2)

   2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。