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title: "能量流失怎样决定最后稳定轨道前还剩多少圈"
description: "把引力波带走的能量换算成旋近时间和波的圈数，再对照已发表的能流表，看这种算法漏掉了什么。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[极端质量比旋近，从轨道读到探测预测](https://sandboxphysics.com/zh/stories/extreme-mass-ratio-inspirals/)

# 能量流失怎样决定最后稳定轨道前还剩多少圈

Sandbox Physics · 2026-11-12

小天体不会一直待在同一条轨道上。它在辐射、下沉、越转越快。因为能量流失得极慢，可以把它看成从一条测地线轨道滑到下一条。这一章把这个图像算成数字：从 $r=10$ 落到最后一条稳定轨道要多久，期间有多少个波周期。

## 开始前需要什么

第一章里的圆轨道能量和 ISCO，以及一次换元积分。

## 两只钟，差一个质量比

把小天体质量写成 $\mu=qM$。在不转黑洞的 $r=10$ 处，一圈要 $2\pi\,r^{3/2}\approx199\,M$。$M=10^6\,M_\odot$ 时 $M$ 相当于4.93秒，一圈约十六分钟。$q=10^{-5}$ 时，从这里落到 ISCO 约需1.4年。

两段时间之比与 $q$ 成正比。任何一圈里能量只变化 $q$ 量级的一小份，所以在这个精度上，每一圈都是测地线。这里说的“绝热”就是这个意思。

对应阅读：Barack & Pound (2019)

## 能量平衡

Barack 和 Pound 给出这一阶用到的平衡律：按一圈平均，轨道失去多少能量，就有多少能量辐射到无穷远或落进视界。圆轨道只需要能量这一条。按单位小天体质量写，

$E(r)$ 是圆轨道能量，$\mathcal F$ 是单位 $\mu$ 的能流。圆轨道的波以 $2\Omega_\phi$ 振荡，单位时间完成 $\Omega_\phi/\pi$ 个周期。除以径向速度，两者都化成对半径的积分。

$$
\frac{dE}{dt}=-\mathcal F_\infty-\mathcal F_H,\qquad t(r_0\to r_1)=\int_{r_1}^{r_0}\frac{dE/dr}{\mathcal F}\,dr,\qquad N=\int_{r_1}^{r_0}\frac{\Omega_\phi}{\pi}\,\frac{dE/dr}{\mathcal F}\,dr
$$

两个积分都按 $1/q$ 增长，因为按单位 $\mu$ 写时能流与 $q$ 成正比。

对应阅读：Barack & Pound (2019)

## 牛顿极限下算一遍

取牛顿轨道：$E=1-1/(2r)$，$\Omega_\phi=r^{-3/2}$，圆轨道双星的四极能流 $\mathcal F=\tfrac{32}{5}\,q\,\Omega_\phi^{10/3}=\tfrac{32}{5}\,q\,r^{-5}$。于是 $dE/dr=1/(2r^2)$，积分可以手算。

$q=10^{-5}$，从 $r=10$ 到 $r=6$，得到 $t=1.70\times10^{7}\,M$，$N=226\,842$ 圈。

$$
t=\frac{5}{256}\,\frac{r_0^4-r_1^4}{q},\qquad N=\frac{r_0^{5/2}-r_1^{5/2}}{32\pi\,q}
$$

这就是经典的牛顿啁啾公式，只是这里小天体质量远小于大黑洞。

## 换成相对论能量，圈数减半

能流仍用四极公式，但 $E(r)$ 和 $\Omega_\phi$ 改用 Kerr 精确值。斜率 $dE/dr$ 比牛顿的小：$r=10$ 处是 $0.00341$，牛顿值是 $0.005$；到 ISCO 处降到零，轨道在那里再也不能一点一点地放掉能量。

每单位半径要放的能量少了，下落就快了。从 $r=10$ 到 ISCO 外侧，圈数降到 $N=112\,045$，时间降到 $8.96\times10^{6}\,M$，$M=10^6\,M_\odot$ 时约1.40年。两个积分都按 $1/q$ 变化，所以下表只需算一次。

| 质量比 $q$ | 从 $r=10$ 到 ISCO 的圈数 | $M=10^6\,M_\odot$ 时的年数 |
| --- | --- | --- |
| $10^{-4}$ | $11\,205$ | $0.140$ |
| $10^{-5}$ | $112\,045$ | $1.40$ |
| $10^{-6}$ | $1\,120\,453$ | $14.0$ |

## 四极能流有多准

Fujita 和 Tagoshi 对圆赤道轨道求解 Teukolsky 方程，把到 $\ell=6$ 为止的光度列成表。他们的表VII可以直接检验我们的能流。远处，这张表、Tagoshi 与 Sasaki 的四阶后牛顿级数和四极公式符合预期：$r=100$、零自转时前两者五位有效数字一致，四极公式偏高2.6%。

靠近黑洞时，四极公式差几十个百分点，偏高还是偏低取决于自转和半径。下表是我们的能流与已发表值之比。

零自转时，误差在 $r=6$ 与 $r=10$ 之间变号，大部分相互抵消：用表中能流，从 $r=10$ 到 ISCO 是112,981圈，只比我们的112,045多0.8%。自转0.9时，四极能流在这段范围里处处偏大，从 $r=10$ 到 $r=6$ 少算了15%的圈数。本系列的教程会用这张表亲手复算这些数。

| 半径 | 自转 $-0.9$ | 自转 $0$ | 自转 $0.9$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $r=6$ | $0.506$ | $0.879$ | $1.194$ |
| $r=10$ | $0.889$ | $1.041$ | $1.154$ |
| $r=20$ | $1.026$ | $1.069$ | $1.101$ |

对应阅读：Fujita & Tagoshi (2004) · Tagoshi & Sasaki (1994)

## 这一阶没算进去的

视界项。自转黑洞会吸收能量；当轨道转得比视界还快，$\Omega_\phi>\Omega_H=a/(2r_+)$，它反而会把一部分转动能交给轨道。Fujita–Tagoshi 的表和我们的实验室都没有这一项。

相位的下一阶。Barack 和 Pound 把轨道相位写成 $\varphi=\eta^{-1}\bigl[\varphi^{(0)}+\eta\,\varphi^{(1)}+O(\eta^2)\bigr]$，$\eta$ 是质量比。绝热项 $\varphi^{(0)}$ 只需要一阶自力中按轨道平均的耗散部分，能量平衡给的正是这一部分。下一项约一弧度，需要完整的一阶自力，再加二阶自力的一部分。几十万圈的匹配滤波，一个弧度不能不管。

$$
\varphi=\frac{1}{\eta}\,\varphi^{(0)}(\tilde t)+\varphi^{(1)}(\tilde t)+O(\eta)
$$

这是 Barack 和 Pound 式(74)展开后的形式，$\tilde t=\eta t$ 是慢时间。

对应阅读：Barack & Pound (2019) · Brito

## 在实验室里试一试

### [改质量比，数圈数](https://sandboxphysics.com/zh/labs/emri-spacetime-mapping/)

1. 读出默认轨道的“剩余波周数”。
2. 把质量比从 $10^{-5}$ 调到 $10^{-4}$。圈数变成十分之一，轨道图样不变。
3. 切到“最后的圆轨道”，比较剩余年数与默认轨道。

实验室在绝热阶上、沿圆轨道、用四极能流数圈数。

## 练习与答案

由牛顿能量和四极能流推出 $N=(r_0^{5/2}-r_1^{5/2})/(32\pi q)$。

$dE/dr=1/(2r^2)$ 与 $\mathcal F=\tfrac{32}{5}q\,r^{-5}$ 给出 $dt/dr=5r^3/(64q)$。乘以 $\Omega_\phi/\pi=r^{-3/2}/\pi$ 得 $dN/dr=5r^{3/2}/(64\pi q)$，再积分：$\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{5}{64\pi q}=\tfrac{1}{32\pi q}$。

$dE/dr$ 在 ISCO 处为零，为什么相对论圈数仍然有限？

被积函数正比于 $dE/dr$，斜率为零让被积函数变小，而不是变大。物理上，靠近 ISCO 时放掉一点点能量，轨道就往里移很远，小天体很快穿过最后一段。绝热图像在 ISCO 处本身失效，所以积分停在它外侧一点。

自转0.9时，在 $r=10$ 到 $r=6$ 之间四极能流比已发表值高15%到19%。圈数会算多还是算少？

算少。能流大，轨道能量放得快，小天体在每个半径停留的时间短。复算结果：四极能流222,719圈，表中能流260,673圈，比值0.854。

## 一手来源，以及每篇读了哪些部分

1. [Barack & Pound (2019), Self-force and radiation reaction in general relativity, Rep. Prog. Phys., doi:10.1088/1361-6633/aae552](https://arxiv.org/abs/1805.10385v2)

   arXiv 第2版，2018年11月19日。第5.2节与式(72)至(74)：双时间尺度相位展开，以及绝热阶与后绝热阶各需要什么；第5.3节瞬时共振；第6.1节与式(77)至(78)，按轨道平均的平衡律，包括为负的视界能流。

2. [Fujita & Tagoshi (2004), New numerical methods to evaluate homogeneous solutions of the Teukolsky equation, Prog. Theor. Phys. 112, 415](https://arxiv.org/abs/gr-qc/0410018v1)

   arXiv 第1版。表VII，七种自转下圆赤道轨道到 l = 6 的引力波光度；表III，r = 6M 处逐个模式的光度。单位归一化以及“到达无穷远的能流”这一解读是我们的推断，已用四极与后牛顿极限检验。

3. [Tagoshi & Sasaki (1994), Post-Newtonian expansion of gravitational waves from a particle in circular orbit around a Schwarzschild black hole, Prog. Theor. Phys. 92, 745](https://arxiv.org/abs/gr-qc/9405062v1)

   arXiv 第1版。式(43)：到四阶后牛顿的无穷远能流与四极值之比；只用作能流表弱场一端的独立检验。

4. [Brito, Cardoso & Pani, Superradiance, Lecture Notes in Physics 971 (2020), arXiv:1501.06570 version 8](https://arxiv.org/abs/1501.06570v8)

   arXiv 第8版，只读第6.7节式6.29：轨道频率超过视界角速度时，流入自转黑洞视界的能流改变符号。

## 继续阅读

极端质量比旋近 · 阅读路径

### 小黑洞为大黑洞测绘

1. [文章 **绕上几十万圈的轨道，能读出大黑洞的什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/extreme-mass-ratio-inspirals/what-hundreds-of-thousands-of-orbits-reveal/)
2. [文章 **自转黑洞周围的轨道怎样进动，又在哪里失去稳定**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/extreme-mass-ratio-inspirals/geodesics-precession-and-the-last-stable-orbit/)
3. [当前页面 **能量流失怎样决定最后稳定轨道前还剩多少圈**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/extreme-mass-ratio-inspirals/radiation-reaction-and-the-adiabatic-inspiral/)
4. [文章 **偏心轨道的引力波为什么是一排谱线**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/extreme-mass-ratio-inspirals/fundamental-frequencies-and-harmonics/)
5. [文章 **用已发表的能流表复算一条 EMRI 频率演化**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/extreme-mass-ratio-inspirals/recompute-a-frequency-evolution/)
6. [文章 **怎样读 EMRI 的探测预测、自力、共振与多极矩检验文献**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/extreme-mass-ratio-inspirals/reading-emri-forecasts-self-force-resonances-multipoles/)