---
title: "表面张力为什么能把水拉成珠"
description: "从增加一小块界面所需的功出发，认识曲率压差、接触角与毛细长度。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/surface-energy/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/dynamic-interfaces/surface-energy/"
last_modified: "2026-10-28"
---

[动态界面](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/)

L1 · 第 1 章

# 表面张力为什么能把水拉成珠

Sandbox Physics · 2026-10-28

水滴变圆，是因为同样多的水围成球时表面积最小。细水柱却会自己分成水珠：在体积相同的条件下，分开的水珠也可能比长水柱省下更多表面积。表面张力追求的是界面能降低，平整只是某些几何形状下的结果。

## 开始前需要什么

会算面积和体积，知道压强等于力除以面积即可。接触角、曲率和毛细长度都在本章引入；后面的动力学章节才需要导数。

- 用界面能解释水滴变圆，并分清表面拉力与体内压强。
- 通过量级计算判断重力是否足以改变水滴形状。

## 拉出一块新表面需要做功

想象一根可以滑动的细杆架在液膜上。向外拉杆，液膜面积增加，手必须做功。温度和成分固定时，每增加单位面积所需的可逆功叫表面张力。它也可以看成沿界面、垂直于边界线的单位长度拉力。

用 $\gamma$ 表示表面张力，单位是 $\mathrm{N\,m^{-1}}$，也等于 $\mathrm{J\,m^{-2}}$。这里先讨论一个液气界面；肥皂膜两面都接触空气，拉出同样的平面面积，要把两面的能量都算上。

$$
\mathrm dE=\gamma\,\mathrm dA
$$

这一步假设表面张力均匀且温度、成分固定。

来源：John W. M. Bush

## 弯曲把沿面的拉力变成压差

把球形水滴从中间切开，只看一半。切口上的内外压差试图把两半推开，圆周上的表面张力把它们拉在一起。压差作用在圆面积上，拉力作用在圆周上；平衡以后，半径越小，所需压差越大。

定义 $\Delta p=p_{\mathrm{liquid}}-p_{\mathrm{gas}}$。对凸向气体的球面取正曲率；球的两个主曲率半径都等于 $R$，圆柱只有绕轴方向弯曲。于是同半径的球与圆柱，曲率压差相差一倍。

$$
\Delta p\,\pi R^2=2\pi R\gamma\quad\Longrightarrow\quad\Delta p=\frac{2\gamma}{R}
$$

半球受力给出球形界面的 Laplace 压差。

$$
\Delta p=\gamma\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)
$$

一般曲面要把两个彼此垂直方向的曲率相加；有凹有凸时需要保留符号。

$\Delta p_{\rm sphere}=2\gamma/R$ $\Delta p_{\rm cylinder}=\gamma/R$

半径相同，两个主方向的曲率之和不同。两种曲面均为示意；圆柱取远离端部的区域。

来源：John W. M. Bush

## 完整例题：一毫米水滴里面多出多少压强

取教学用的室温水近似值 $\gamma=0.072\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$，半径 $R=1.00\,\mathrm{mm}$。先把毫米换成米，代入球形压差，得到 $144\,\mathrm{Pa}$。这是内外局部压强差。求水滴的净外力，还要把整个表面受到的力相加。

同样高度的重力压强变化约为 $\rho gR=9.81\,\mathrm{Pa}$。用重力与毛细压强的量级相比，就得到 Bond 数。这里它约为 $0.136$；水滴近似圆润。半径增到原来的十倍，Bond 数增大一百倍，重力便不能再忽略。

$$
\mathrm{Bo}=\frac{\rho gR^2}{\gamma}=\left(\frac{R}{\ell_c}\right)^2,\qquad \ell_c=\sqrt{\frac{\gamma}{\rho g}}\simeq2.71\,\mathrm{mm}
$$

重力影响随尺寸连续增强，毛细长度标记重力与毛细效应相当的量级。

## 接触角还要听固体表面的

水滴落在固体上，同时存在固液、固气和液气三个界面。接触线向外挪一点，液气面积变化，原来的固气界面也被固液界面替换。总能量对这个位移取极小，便得到平衡接触角。角度从液体一侧量。

对光滑、均匀、理想平衡的固体，Young 关系写成下式。真实表面的粗糙和化学不均匀会钉住接触线，留下前进角和后退角之间的一段范围。静态毛细实验可以施加这些角；要计算角度随速度怎样变化，还需要接触线附近的模型。

$$
\gamma_{\mathrm{SG}}-\gamma_{\mathrm{SL}}=\gamma\cos\theta_e
$$

下标分别表示固气与固液界面能；平衡角取液体内部的夹角。

来源：John W. M. Bush · Oron

## 先预测，再动手解释

### [用细管比较曲率与润湿](https://sandboxphysics.com/zh/labs/capillary-wetting/)

1. 先预测管半径减半会让液面高度怎样变化，再比较两根管。
2. 保持液体参数不变，切换前进角与后退角。写出高度能确定的参数组合，再说明单独求表面张力还要测什么。

## 练习与解释性答案

1. 同半径的球形水滴与很长的圆柱水柱，哪一个内外压差更大？

   展开解释

   球形水滴大一倍。球面在两个主方向都弯曲，圆柱只在绕轴方向弯曲；端部远离观察区域。

2. 把例题中的半径减为 $0.10\,\mathrm{mm}$，压差和 Bond 数各怎样变？

   展开解释

   压差增为 $1440\,\mathrm{Pa}$，Bond 数降到 $0.00136$。更小的水滴内部压差更大，重力相对更弱。

[下一章：把一层液体的运动收进高度方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/lubrication-flow/)

## 来源与计算范围

例题与示意图由课程编写。论文比较复算指定解析关系；阅读指南另行解释实验照片与分子模拟各自回答的问题。

1. [John W. M. Bush, Surface Tension Module, MIT lecture notes](https://web.mit.edu/1.63/www/Lec-notes/Surfacetension/Lecture1.pdf)

   第一讲第 1.1–1.3 节：界面能、法向与切向应力、毛细标度。教学来源；本课程例题另行计算。

2. [Oron, Davis & Bankoff, Long-scale evolution of thin liquid films, Rev. Mod. Phys. 69, 931 (1997)](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.69.931)

   已发表的长波约化综述。实际采用的方程进一步用下列可读作者稿逐式核对。