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title: "噪声里哪一种波长会先长大"
description: "在线性稳定性推导中加入润湿能，从高度记录提取增长率，再预测最先显现的间距。"
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last_modified: "2026-10-28"
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L2 · 第 3 章

# 噪声里哪一种波长会先长大

Sandbox Physics · 2026-10-28

一层看起来平整的液膜，可以让某些起伏越长越大。曲率仍然压制短波，但基底与液膜之间的相互作用可能偏爱“薄处更薄、厚处更厚”。两种作用相争，便挑出一个增长最快的波长。

## 开始前需要什么

上一章的高度守恒和毛细通量。需要指数函数、正弦波与二阶导数；Fourier 分量在这里解释为从复杂轮廓里分离出一种波长。

- 推导平膜的色散关系并计算最快增长波数。
- 从保存的高度序列测量增长率，分清线性预测与后期液滴间距。

## 基底给薄膜增加一项高度相关的能量

把每单位基底面积的润湿能记为 $f(h)$。毛细能惩罚坡度，润湿能偏爱某些膜厚。对总能量改变一点高度，得到驱动输运的广义压强 $\mu$。本章用这个符号表示能量对高度的变分，黏度仍写成 $\eta$。

如果一小块区域变薄能降低局部能量，它会把液体排向旁边。曲率项则抵抗突然变尖的轮廓。两项都进入同一个驱动压强，因而无需给“失稳”和“平整”分别指定运动规则。

$$
F[h]=\int\left[\frac\gamma2 h_x^2+f(h)\right]\mathrm dx,\qquad \mu=-\gamma h_{xx}+f'(h)
$$

这里保留小坡度界面能。分离压力的符号约定是负的润湿能导数。

$$
h_t=\partial_x\!\left[M(h)\partial_x\mu\right],\qquad M(h)=\frac{h^3}{3\eta},\qquad \Pi(h)=-f'(h)
$$

流向降低能量的方向；正的迁移率决定流动快慢。

来源：U. Thiele · Oron

## 给平膜加上一条很小的波

令平膜厚度为 $h_0$，叠加振幅很小的余弦波。振幅若按指数增长，指数前的系数 $\sigma$ 就是增长率。正值表示增长，负值表示衰减。将这个形式代入高度方程，只保留振幅的一次项。

平膜的广义压强本来没有空间梯度，所以迁移率对高度的变化在这一阶不起作用。把 $M$ 换成 $M_0=M(h_0)$，曲率贡献波数四次方，润湿能贡献波数平方。增长率随波数变化的曲线叫色散关系。

$$
\begin{gathered}h=h_0+a_0e^{\sigma t}\cos(kx)\\\sigma(k)=-M_0k^2\left[\gamma k^2+f''(h_0)\right]\end{gathered}
$$

线性预测只适用于振幅远小于平均膜厚的阶段。

$$
\begin{gathered}f''(h_0)<0:\quad k_c=\sqrt{\frac{-f''(h_0)}\gamma}\\k_*=\frac{k_c}{\sqrt2}\\\sigma_*=\frac{M_0[f''(h_0)]^2}{4\gamma}\end{gathered}
$$

小于截止波数的非零模式增长；最快模式在零波数与截止之间。

解析增长率 $\widehat\sigma=K^2(1-K^2)$

$K_*=1/\sqrt2$ $K_c=1$

- 失稳薄膜
- 稳定薄膜（另取增长率尺度）

按 Thiele（2010）图 1 的解析式重新计算的示意图。横坐标为波数除以失稳截止波数；图中没有实验数据点。

来源：U. Thiele · Oron

## 完整例题：一条有限长薄膜能容纳什么模式

用无量纲量取 $M_0=1$、$\gamma=1$、$fprimeprime(h_0)=-1$。连续空间给出 $k_*=1/\sqrt2$ 和 $\sigma_*=1/4$。但周期长度若为 $L=20$，允许波数只有 $k_n=2\pi n/L$。

分别试 $n=1,2,3$，增长率约为 $0.0890,0.239,0.0992$。第二个模式增长最快，间距约为 $L/2=10$。无限域的最优波长为 $2\pi\sqrt2\simeq8.89$，有限容器里只能从允许的模式中选出最快者。

随机初态同时含有许多波长，每个模式又有不同初始振幅。最快增长不保证最早肉眼可见：一个起点更大的邻近模式，也可能暂时领先。要检验理论，应该测指数增长的斜率。

## 从高度记录测，而不是从预测曲线读

在每个保存时刻，把轮廓投影到同一波数的正弦与余弦上，二者平方和开根得到振幅。这样即使波峰位置平移，振幅也不会变。再用 $\log a_n(t)$ 对时间作图，小振幅时的直线斜率就是测得增长率。

只用仍然远高于舍入噪声、又没有进入强非线性的记录段。后期模式彼此交换能量，液滴还会合并或长大；那时的一条直线拟合已不再检验刚才的线性式。保存原始高度、时间、种子、参数与模型版本，别人才能重新选取拟合区间。

$$
a_n=2\left|\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}(h_j-\bar h)e^{-2\pi i n j/N}\right|,\qquad \widehat\sigma_n=\frac{\log a_n(t_2)-\log a_n(t_1)}{t_2-t_1}
$$

归一化让单一余弦的测得振幅等于它的峰值振幅；零模式单独用于检查质量。

## 先预测，再动手解释

### [让噪声自己选出间距](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thin-film-instability/)

1. 先预测哪些波数会增长，再运行默认噪声初态。比较保存记录测出的增长点与解析参考线。
2. 改变表面张力，预测最快波长向哪边移动；用一次新记录检验。
3. 导出记录，比较早期与晚期拟合。说明哪个时间段满足小振幅假设。

## 练习与解释性答案

1. 为什么零波数的增长率一定为零？

   展开解释

   零波数只改变平均膜厚。封闭或周期系统守恒体积，不能自发改变平均高度。

2. 保持润湿能和迁移率不变，把表面张力增大四倍，最快波长怎样变？

   展开解释

   最快波数减半，最快波长加倍；对应最大增长率降为四分之一。

[上一章：把一层液体的运动收进高度方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/lubrication-flow/) [下一章：液滴边缘怎样越过固体表面](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/contact-lines/)

## 来源与计算范围

例题与示意图由课程编写。论文比较复算指定解析关系；阅读指南另行解释实验照片与分子模拟各自回答的问题。

1. [Oron, Davis & Bankoff, Long-scale evolution of thin liquid films, Rev. Mod. Phys. 69, 931 (1997)](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.69.931)

   已发表的长波约化综述。实际采用的方程进一步用下列可读作者稿逐式核对。

2. [U. Thiele, Thin film evolution equations from (evaporating) dewetting liquid layers to epitaxial growth, J. Phys.: Condens. Matter 22, 084019 (2010)](https://www.uni-muenster.de/Physik.TP/~thiele/Paper/Thie2010jpm.pdf)

   作者提供的已发表论文：式 (1)–(3)、第二节势函数、式 (5) 与图 1。复算限于解析线性色散；图 2、3 的非线性延拓分支作为阅读内容。