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title: "把一层液体的运动收进高度方程"
description: "从薄膜里的速度分布推导守恒通量，解释为什么膜厚以三次方影响流动。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/dynamic-interfaces/lubrication-flow/"
last_modified: "2026-10-28"
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L2 · 第 2 章

# 把一层液体的运动收进高度方程

Sandbox Physics · 2026-10-28

薄膜会流，是因为不同位置的压强或表面拉力不同。膜很薄、变化很缓时，可以先算每个截面里的速度，再把速度沿厚度相加，得到横向输运的体积。最后只需追踪高度怎样随流入流出而变。

## 开始前需要什么

上一章的曲率压差。需要一元导数和定积分；本章说明偏导数与单位宽度通量。假定液体不可压缩、黏度不变，惯性可以忽略。

- 从边界条件逐步得到速度分布与薄膜通量。
- 通过守恒关系判断一次计算有没有凭空增加液体。

## 先把薄和慢说清楚

沿基底向右取 $x$，从固体向上取 $z$，液面高度是 $h(x,t)$。典型膜厚 $H$ 远小于横向变化长度 $L$，坡度也小。偏导数 $h_t$ 指固定位置观察高度随时间变化，$h_x$ 指固定时间沿空间看坡度。

液体中的黏性剪切主要来自上下不同层之间的速度差。薄且流动缓慢时，横向压强梯度由厚度方向的黏性力平衡，压强在同一截面里近似不随高度变化。这个约化叫润滑近似；“润滑”指几何尺度关系，液体不必是润滑油。

$$
\varepsilon=\frac HL\ll1,\qquad 0=-p_x+\eta u_{zz}
$$

黏度为正；速度向右为正。惯性小、基底水平、无体力是这里的额外假设。

来源：Oron · Bowen

## 两次积分，每次都要一个边界条件

固体不动并施加无滑移条件，故 $u(0)=0$。若液面张力均匀，气体剪切可忽略，液面处没有切向牵引，故 $u_z(h)=0$。从黏性平衡积分两次，两个积分常数恰好由这两个条件确定。

再沿 $z$ 从基底积到液面，得到单位横向宽度的体积通量 $q$，单位是 $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$。当压强向右升高时，通量为负，液体向左流。这里的负号对应液体从高压往低压走。

$$
u(z)=\frac{p_x}{2\eta}(z^2-2hz)
$$

速度在固体表面为零，在自由表面具有零剪切率。

$$
q=\int_0^h u\,\mathrm dz=-\frac{h^3}{3\eta}p_x
$$

三次方来自速度的厚度平方与积分多出的一个厚度。

## 流出多于流入，高度就下降

取基底上一个很窄的小区间。单位宽度液体体积等于高度乘区间长度。左端通量流入，右端通量流出，两者的差决定区间里的体积变化。把区间缩小，就得到局部连续性方程。

对周期边界积分，左右两端的通量相同，整体体积保持不变。数值计算也应如此：相邻两个格子必须共用同一个面通量。分别在每个格子里“修正高度”，很容易让总量悄悄改变。

$$
h_t+q_x=0,\qquad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_0^L h\,\mathrm dx=q(0)-q(L)=0
$$

周期边界或两端都无通量时，体积守恒；蒸发和注液需要另外加入源项。

## 曲率怎样把凸起摊平

对小坡度、单个自由界面，毛细压强近似 $p=-\gamma h_{xx}$。一个局部凸起的二阶导数为负，它的压强高，液体向两侧流。将曲率压强代入通量，再代入连续性方程，得到四阶高度方程。

完整例题：$h=H+a\cos(kx)$，且 $a\ll H$。在线性近似中，把通量系数里的高度换成 $H$。每求两次空间导数带来一个波数平方，最后振幅按指数衰减。波数翻倍，衰减率增为十六倍；短小皱褶消退得更快。

$$
h_t=-\partial_x\!\left(\frac{\gamma h^3}{3\eta}h_{xxx}\right)
$$

无重力、无分离压力、无表面张力梯度的毛细薄膜方程。

$$
a(t)=a(0)e^{-t/\tau},\qquad \tau^{-1}=\frac{\gamma H^3k^4}{3\eta}
$$

这是一层黏性薄膜的过阻尼平整过程。要描述深水中会振荡的毛细波，模型需要保留惯性。

## 先预测，再动手解释

### [让只有曲率驱动的薄膜变平](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thin-film-instability/)

1. 选择毛细平整预设，先找出初态里短波与长波的起伏。
2. 比较两种尺度衰减的快慢，并检查体积读数。高度重分布时，液体总量应保持不变。

## 练习与解释性答案

1. 保持压强梯度和黏度相同，膜厚翻倍，通量增为几倍？

   展开解释

   八倍。更厚的液体既允许更快的速度，又增加输运截面积；两者合起来给出厚度三次方。

2. 黏度翻倍以后，毛细平整的衰减时间怎样变？

   展开解释

   时间翻倍。驱动力相同，黏性阻力更强，通量减半，高度变化也慢一倍。

3. 周期系统的平均膜厚持续下降，应先怀疑哪一项？

   展开解释

   先检查通量离散、时间推进和边界处理。这里没有蒸发，铺开只会重新分配液体；平均膜厚应当保持不变。

[上一章：表面张力为什么能把水拉成珠](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/surface-energy/) [下一章：噪声里哪一种波长会先长大](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/mode-selection/)

## 来源与计算范围

例题与示意图由课程编写。论文比较复算指定解析关系；阅读指南另行解释实验照片与分子模拟各自回答的问题。

1. [Oron, Davis & Bankoff, Long-scale evolution of thin liquid films, Rev. Mod. Phys. 69, 931 (1997)](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.69.931)

   已发表的长波约化综述。实际采用的方程进一步用下列可读作者稿逐式核对。

2. [Bowen, Sur, Bertozzi & Behringer, Nonlinear dynamics of two-dimensional undercompressive shocks, Physica D 209, 36–48 (2005)](https://www.math.ucla.edu/~bertozzi/papers/BowenPhysicaD05.pdf)

   第二节式 (2.1) 给出热应力、重力与毛细通量。浏览器模型取水平基底、外加温度场，保留热应力与毛细项。论文中的斜面前沿与实验照片不在复现范围。