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title: "细水流为什么会长成一串水珠"
description: "从固定体积的面积比较推导液柱失稳，再用守恒的细长液柱模型跟到断裂前的细颈。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/dynamic-interfaces/liquid-thread/"
last_modified: "2026-10-28"
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L3 · 第 6 章

# 细水流为什么会长成一串水珠

Sandbox Physics · 2026-10-28

细水流长出一串鼓包，是因为长波起伏能减少液柱的表面积。细颈处的毛细压强较高，液体被推向鼓包，细颈继续变细。短波起伏却会增加面积，表面张力便把它压回去。分界来自液面的几何，黏性主要改变长大的速度。

## 开始前需要什么

先读表面能和曲率压差。需要会对正弦函数求导，知道指数函数表示固定比例增长；细长液柱方程与薄膜方程的流率不同。

- 在体积固定时比较起伏前后的面积，求出失稳波长门槛。
- 从半径与速度守恒方程推出线性色散关系，解释黏度的作用。
- 用半径记录辨认线性增长、非线性颈缩与数值停止位置。

## 先把体积固定，再比较面积

一根很长的圆柱，体积一定时，分成适当大小的水珠可以少用一些表面积。可它起初只长出很小的波纹，表面积已经在下降了吗？这个问题不能只看一处细颈，必须把一个完整波长里的液面都算上。

取初始半径 $R_0$，沿轴线用 $z$ 表示位置。给半径加一个很小的余弦起伏，波数 $q=2\pi/\lambda$ 的单位是长度的倒数。若只加余弦，截面积的平均值会增加；还要把平均半径减去一个二阶小量，才能在比较面积时保留原来的体积。

$$
r(z)=R_0\left[1+\epsilon\cos(qz)-\frac{\epsilon^2}{4}\right]+O(\epsilon^3)
$$

余弦的平均值为零，余弦平方的平均值为二分之一；平均半径的修正抵消了截面积增加。

$$
\frac{A-A_0}{A_0}=\frac{\epsilon^2}{4}\left[(qR_0)^2-1\right]+O(\epsilon^3)
$$

把轴对称面积元中的平方根按小坡度展开，再对一个波长积分。

来源：John W. M. Bush · Eggers & Dupont

## 两种曲率怎样把液体推向鼓包

定义无量纲波数 $k=qR_0$。上式在 $k<1$ 时为负，也就是波长大于圆柱的周长时，微小起伏能省下表面积。这是 Rayleigh–Plateau 失稳的门槛。起伏很短时，沿轴线的弯曲要花更多面积，起伏便会消退。

从压强看，同一个结论更容易连到流动。细颈绕着轴线弯得更紧，第一项曲率更大；但侧面轮廓也在弯，第二项有自己的符号。短波的第二项足够强，可以反转细颈与鼓包之间的毛细压强差。

对液体凸向气体的圆柱取正曲率。下面恢复有量纲的半径与坐标；下标表示求导。$\kappa$ 是两个主曲率的和，单位为 $\mathrm{m^{-1}}$，毛细压强项为 $\gamma\kappa$。

$$
\kappa=\frac{1}{r\sqrt{1+r_z^2}}-\frac{r_{zz}}{(1+r_z^2)^{3/2}}
$$

直圆柱的轴向曲率为零，曲率和为半径的倒数。侧面轮廓凹凸不同，轴向项的正负随之改变。

来源：Eggers & Dupont

## 半径和速度必须一起求

细颈失去多少液体，鼓包就得到多少。把流动近似为轴对称、轴向变化缓慢的液柱，截面内的轴向速度在最低阶近似下相同。截面积乘速度给出体积流率，半径平方便成为最方便的守恒变量。

用 $R_0$ 作长度单位，用惯性毛细时间 $t_c=\sqrt{\rho R_0^3/\gamma}$ 作时间单位。下面的坐标、半径和速度均已无量纲化。$u$ 向轴线正方向为正；$\mathrm{Oh}=\mu/\sqrt{\rho\gamma R_0}$ 比较黏性与惯性毛细效应。

质量守恒决定半径怎样响应流入和流出。轴向动量方程则比较流体的加速度、毛细压强梯度和黏性拉伸应力。轴对称伸长流的黏性系数带有因子三。这里采用 Eggers–Dupont 方程，保留完整曲率，取重力为零；周期单元不与外界交换体积。

$$
a=r^2,\qquad \partial_ta+\partial_z(au)=0
$$

截面积中的圆周率在守恒式两边相消。整个周期单元内半径平方的积分保持不变。

$$
\partial_tu+u\partial_zu=-\partial_z\kappa+\frac{3\mathrm{Oh}}{a}\partial_z(a\partial_zu)
$$

毛细作用沿压强降低的方向推动液体，黏性伸长应力阻碍速度梯度。模型忽略外侧流体应力和分子尺度作用。

来源：Eggers & Dupont

## 从两条演化方程得到增长速度

在均匀圆柱附近写 $r=1+\delta$，只保留扰动的一阶项。质量守恒给出 $\delta_t=-u_z/2$，曲率扰动是 $\delta\kappa=-\delta-\delta_{zz}$。再对时间求一次导数，把动量方程代进去，就能消去速度。

令半径起伏正比于 $e^{st}\cos(kz)$，空间求两次导数会带来 $-k^2$，时间求导会带来 $s$。于是增长速度来自一个二次方程。$k<1$ 时一个根为正；增大黏度会减小这个正根，但不改变门槛。

这条色散关系属于一维细长液柱模型。无黏性的完整三维 Rayleigh 理论含有修正 Bessel 函数，有限波数的增长速度会有差别；两者在足够长波时相合。比较数值模拟时，要先选与模拟方程对应的参考解。

$$
s^2+3\mathrm{Oh}\,k^2s=\frac12k^2(1-k^2)
$$

正实部表示起伏增长，负实部表示衰减。复数根还表示衰减过程中的振荡。

来源：Eggers & Dupont · John W. M. Bush

## 完整例题：同样小的起伏，长短为何不同

取 $\mathrm{Oh}=0.25$。先给很小的起伏选 $k=0.65$，也就是 $\lambda/R_0=2\pi/0.65\simeq9.67$。二次方程的增长根约为 $s=0.225$，另一根约为 $-0.542$。增长分支的振幅每过约 $4.44t_c$ 增大到原来的自然常数倍。

若液体起初静止，不能只用增长根：起初半径的变化率也必须为零，需要把两个分支相加。设初始余弦振幅为 $0.0100R_0$，到 $t=3t_c$ 时，线性解给出约 $0.0145R_0$。把黏度提高到 $\mathrm{Oh}=1$，增长根降到 $0.0899$。

再把波数改为 $k=1.3$。这时右端为负，在 $\mathrm{Oh}=0.25$ 下得到一对复根，实部约为 $-0.634$。同样从静止开始，经过 $3t_c$，振幅约为 $0.00256R_0$。短波已经明显平息。

来源：Eggers & Dupont

## 细颈接近断裂时，线性预测先离场

起伏长大后，波峰不再是缩放后的余弦。鼓包变圆，颈部变窄，更多空间谐波出现；从记录提取的第一余弦分量便逐渐偏离线性参考解。此时仍然可以检查总液体体积，以及表面能与动能的变化。没有外界驱动的黏性模型，总能量应当下降。

浏览器计算把半径平方放在网格单元里，把速度放在单元之间，以流入减流出的方式更新体积。这样，细颈丢掉的体积会进入相邻区域。网格加密可以检查停止前的轨迹是否收敛。

真正断开需要处理新自由表面的产生。当前计算在颈部半径接近网格尺度，或轴向坡度超过规定范围时停止。屏幕上最后一帧给出的是这次计算还能分辨的细颈；换网格、换初始扰动后，可靠比较的应是共同分辨范围内的轨迹。

来源：Eggers & Dupont

## 先预测，再动手解释

### [沿着液丝的半径记录比较](https://sandboxphysics.com/zh/labs/filament-necking/)

1. 先预测长波与短波谁会长大。比较“细颈越变越细”和“短波逐渐平息”，把观察结果与面积判据联系起来。
2. 选“小起伏慢慢长大”，观察模拟振幅何时离开琥珀色线性解。上下拖动细颈，改变初始起伏，再比较分开的时刻。
3. 导出半径记录，用同一时刻的各网格半径平方求和。检查体积怎样保持，再找出停止原因与网格间距。

## 练习与解释性答案

1. 把半径固定，波长从 $10R_0$ 改为 $5R_0$，线性稳定性怎样变化？

   展开解释

   波数从约 $0.628$ 增到 $1.257$，跨过门槛。原来的起伏会增长，较短的起伏会衰减。面积比较和线性方程给出相同结论。

2. 为什么初始速度为零时，不能直接给初始余弦振幅乘一个指数函数？

   展开解释

   单独的增长指数在起始时刻已有非零时间导数。初始静止还要求半径的初始变化率为零，需要同时包含增长和衰减分支；短波时则需要对应的衰减振荡解。

3. 增大黏度后，哪一项改变了？失稳的波长门槛为什么还在原处？

   展开解释

   黏性伸长应力变大，流动和振幅增长更慢。门槛由固定体积下的表面积变化决定，均匀黏度没有改变这份几何比较。

[上一章：温差怎样让液面流动](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/thermal-surface-flow/) [下一章：细颈越来越小，计算什么时候该停](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/resolution-and-singularities/)

## 来源与计算范围

例题与示意图由课程编写。论文比较复算指定解析关系；阅读指南另行解释实验照片与分子模拟各自回答的问题。

1. [John W. M. Bush, Surface Tension Module, MIT lecture notes](https://web.mit.edu/1.63/www/Lec-notes/Surfacetension/Lecture1.pdf)

   第一讲第 1.1–1.3 节：界面能、法向与切向应力、毛细标度。教学来源；本课程例题另行计算。

2. [Eggers & Dupont, Drop formation in a one-dimensional approximation of the Navier–Stokes equation, J. Fluid Mech. 262, 205–221 (1994)](https://arxiv.org/pdf/physics/0110081v1)

   arXiv:physics/0110081v1 是 1994 年论文后来存入的版本。核读第二节式 (17)–(18)、曲率式 (15)、色散式 (27)–(32) 及图 1 的水射流条件。课程计算周期细丝基准；喷嘴实验和卫星滴留作论文阅读。