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title: "液滴边缘怎样越过固体表面"
description: "从移动接触线的困难出发，推导前驱膜模型的润湿势、平衡角和能量耗散。"
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language: "zh-CN"
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last_modified: "2026-10-28"
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L2 · 第 4 章

# 液滴边缘怎样越过固体表面

Sandbox Physics · 2026-10-28

液滴向外铺展时，边缘必须向前走。常用的无滑移条件却要求紧贴固体的液体相对固体静止。把一个锐利的液滴边缘一直缩到零厚度，会让这两种要求在同一点相撞。前驱膜模型在液滴前方留下一层很薄的液体，让边缘成为厚膜与薄膜之间的过渡区。

## 开始前需要什么

前一章的无滑移速度分布、体积通量与连续性方程。需要求导、定积分和分部积分；本章逐步解释能量怎样决定平衡形状。

- 说清锐利移动接触线为什么需要一个微观长度。
- 从润湿势算出平衡坡度，并区分模型坡度与真实接触角。
- 用体积和自由能检查没有外力驱动的演化。

## 越靠近边缘，速度改变得越急

接触线是固体、液体和气体相接的那条线。若它以有限速度越过静止固体，液滴内部的液体就必须从固体上的零速度，过渡到跟着边缘运动的流动。理想锐角楔形里，可供完成这个过渡的距离随接近边缘而缩小。

设离边缘距离为 $r$，边缘速度为 $U$。速度梯度的量级随 $U/r$ 增大，黏性耗散密度随梯度平方增长。楔形截面的面积元又正比于 $r\,\mathrm dr$，合起来给出对数发散。把最小距离直接取零，就得到无限耗散。Huh 和 Scriven 在 1971 年的黏性流动分析中指出了这个困难。

一个可用的动力学模型必须说明近处发生什么。让固体附近有有限滑移是一种选择；让液滴前方始终有前驱薄层是另一种。本路线使用后一种，液体底部仍取无滑移。

$$
\mathcal D\sim\eta U^2\int_{r_{\min}}^R\frac{\mathrm dr}{r}=\eta U^2\log\frac R{r_{\min}}
$$

这是解释发散的尺度估计，省略了依赖楔角的系数。微观截断长度不能凭空删去。

来源：Huh & Scriven

## 给厚度一个有最低点的势能

用 $f(h)$ 表示单位基底面积的局部润湿能。远程吸引降低薄膜的势能，极薄时的短程排斥阻止厚度继续降到零。下面选用的两个幂次让势能在 $h=b$ 有唯一最低点；$b$ 就是前驱膜厚度。

对势能求导，得到改变厚度所需的局部能量变化。分离压力采用 $\Pi=-fprime(h)$ 的约定。它与毛细压强共同决定液体向哪边流；前驱薄层是在同一个高度方程中演化的。

$$
f(h)=-\frac A{2h^2}+\frac{A b^3}{5h^5},\qquad \Pi(h)=-\frac A{h^3}+\frac{A b^3}{h^6}
$$

这里先把高度与水平距离理解为相同长度单位；能量、张力与势函数的量纲彼此相容。浏览器的尺度变换在例题中单独说明。

$$
f'(b)=0,\qquad f''(b)=\frac{3A}{b^4}>0,\qquad f(b)=-\frac{3A}{10b^2}
$$

前两式说明这层薄液体是局部稳定的。最后一式将决定大液滴边缘的平衡坡度。

来源：U. Thiele

## 从过渡区积分到平衡接触角

先看一个足够大、曲率压强可以忽略的静止液滴边缘。薄膜一侧的高度趋于 $b$，坡度趋于零。平衡要求 $-\gamma h_{xx}+fprime(h)=0$。两边乘以坡度，空间上的二阶方程就变成两个完整导数，可以直接积分。

积分常数由前驱膜一侧确定。走到 $h\gg b$、润湿势接近零的位置，得到外侧楔形的坡度。用小角度近似，坡度就是以弧度计的平衡接触角。有限液滴存在曲率压强时，需要保留压强项和相应薄层高度；下面的式子是大液滴、局部平楔极限。

$$
-\gamma h_{xx}h_x+f'(h)h_x=0\quad\Longrightarrow\quad \frac\gamma2h_x^2=f(h)-f(b)
$$

前驱膜处坡度为零，固定了积分常数。

$$
\theta_{\mathrm e}^2\simeq-\frac{2f(b)}\gamma=\frac{3A}{5\gamma b^2}
$$

它把润湿能的深度与表面张力联系起来。使用前必须检查角度确实足够小。

## 例题里的一点三九，为什么不是八十度

薄膜实验台用初始膜厚作为竖直单位，用另一长度作为水平单位。它们的比值是 $\varepsilon=0.05$。取 $A=0.2$、$b=0.25$、$\gamma=1$，代入相同形式的无量纲势，求得模型坐标里的平衡坡度约为 $1.39$。

真实坡度还要乘长宽比。它约为 $0.0693$，对应小角度约 $3.97^\circ$。直接把模型坡度当作弧度，会把一个浅浅的边缘误读成很陡的液滴。放大竖直方向的示意图尤其容易造成这种误会。

接着把前驱膜厚度翻倍，想让外侧平衡角不变，就必须让 $A/\gamma$ 增为四倍。这样比较时，宏观润湿角近似相同，变化主要来自接触区尺度及其动力学。但平膜的增长谱仍会改变，因为它取决于平均厚度处的势能曲率。

$$
\theta_{\mathrm e}\simeq\varepsilon\sqrt{\frac{3A}{5\gamma b^2}}=0.05\sqrt{1.92}\simeq0.0693\ \mathrm{rad}
$$

这是浏览器无量纲坐标下的角度换算。竖直放大只改变显示，不改变物理角度。

## 边缘可以向前走，自由能仍然下降

整个薄膜的能量由两部分组成：液面弯曲的代价和局部润湿能。对能量作变分，得到化学势 $\mu=-\gamma h_{xx}+fprime(h)$。将守恒高度方程代入能量的时间导数，再分部积分，周期端点项相消，剩下一个负的平方积分。

这说明一部分液面起伏变大时，总自由能仍然可以降低。液体减少润湿能的收益，可以支付曲率能的增加。体积则由另一个端点相消关系保持不变。两项检查各有用处：能量降得很漂亮，也不能替代体积守恒。

这里的“边缘”是厚液体与前驱层之间的可见过渡。追踪这个过渡，可以讨论铺展与回缩；要预言真实材料在哪一个分子处断开，还需要更小尺度的物理。

$$
\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}=\int\mu h_t\,\mathrm dx=\int\mu\,\partial_x(h^3\mu_x)\,\mathrm dx=-\int h^3\mu_x^2\,\mathrm dx\le0
$$

无量纲流动率采用厚度三次方；没有蒸发、外加表面应力或体积源。

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int h\,\mathrm dx=[h^3\mu_x]_0^L=0
$$

周期端点的通量相同。封闭、无通量端点也给出同样结论。

来源：U. Thiele

## 先预测，再动手解释

### [分清薄层尺度与平膜失稳](https://sandboxphysics.com/zh/labs/thin-film-instability/)

1. 选择“隆起逐渐长大”，展开“初始起伏与前驱薄层”，比较两种前驱膜厚度。先保持基底吸引不变，再判断增长率怎样移动。
2. 观察最薄处逐渐接近前驱层，同时检查体积。导出高度记录，用相邻记录的能量判断是否一直耗散。
3. 同角度的参数比较需要同时改变势能强度，不能只拖动前驱膜厚度。先按例题计算所需参数，再选取实验台范围内可用的一组。

## 练习与解释性答案

1. 前驱膜厚度翻倍，势能强度和张力都不变，小角度近似下的平衡角怎样变？

   展开解释

   减半。平衡角正比于前驱膜厚度的倒数；这次比较同时改变了宏观润湿性。

2. 为什么把前驱膜变得越来越薄，不能自动得到更真实的模拟？

   展开解释

   薄层更难被网格分辨，短程压力也更陡；还会改变平衡角和动力学。需要同时说明哪些宏观量保持不变，并检查网格收敛。

3. 液膜出现越来越大的隆起，自由能却下降，矛盾吗？

   展开解释

   不矛盾。总能量同时包括曲率能和润湿能；后者的下降可以超过前者的增加。

[上一章：噪声里哪一种波长会先长大](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/mode-selection/) [下一章：温差怎样让液面流动](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/thermal-surface-flow/)

## 来源与计算范围

例题与示意图由课程编写。论文比较复算指定解析关系；阅读指南另行解释实验照片与分子模拟各自回答的问题。

1. [Huh & Scriven, Hydrodynamic model of steady movement of a solid/liquid/fluid contact line, J. Colloid Interface Sci. 35, 85–101 (1971)](https://doi.org/10.1016/0021-9797(71%2990188-3)

   尖锐移动接触线配合无滑移条件导致应力与耗散发散。课程解释标度原因，没有复算完整楔形解。

2. [U. Thiele, Thin film evolution equations from (evaporating) dewetting liquid layers to epitaxial growth, J. Phys.: Condens. Matter 22, 084019 (2010)](https://www.uni-muenster.de/Physik.TP/~thiele/Paper/Thie2010jpm.pdf)

   作者提供的已发表论文：式 (1)–(3)、第二节势函数、式 (5) 与图 1。复算限于解析线性色散；图 2、3 的非线性延拓分支作为阅读内容。