--- title: "给流动波两个可以增长的方向" description: "扰动气尘漂移平衡，保留径向—垂直模式，推导六状态线性增长问题，并分清不可压与弱可压基准。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/two-directions-to-grow/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/dust-gas/two-directions-to-grow/" last_modified: "2026-10-28" --- [气体、小石子与最初的聚集](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/) AC14 · L3 # 给流动波两个可以增长的方向 Sandbox Physics · 2026-10-28 径向积尘与线性流动波，回答的是不同问题。要计算后者的增长，先扰动双流体漂移平衡，保留径向与垂直变化，并让气体响应尘埃密度扰动。 ## 开始前需要什么 上一章给出漂移平衡和双向阻力。线性化保留与小扰动成正比的项，忽略扰动的乘积。复振幅用两个实数记录真实波的大小与相位。 ## 选一个均匀漂移背景 仍用局部转动坐标与相对 Kepler 剪切的速度。现在气体背景均匀、不可压，恒定径向压强加速度维持漂移平衡，没有预先准备的气压峰。两种背景速度记为 $\mathbf U_{\rm g}$、$\mathbf U_{\rm d}$，相对漂移为 $\mathbf W=\mathbf U_{\rm d}-\mathbf U_{\rm g}$。 气体速度扰动记 $\mathbf a$，尘埃速度扰动记 $\mathbf b$，相对尘埃密度扰动为 $\delta=\delta\rho_{\rm d}/\rho_{{\rm d},0}$。不可压气体的密度保持不变，停止时间也固定。不加入垂直引力、沉降或自引力。 对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1 ## 保留密度对反馈的贡献 展开气体阻力加速度 $\epsilon(1+\delta)(\mathbf W+\mathbf b-\mathbf a)/t_{\rm stop}$，扣去平衡项，再忽略两个扰动的乘积，余下 $\mathbf b-\mathbf a+\delta\mathbf W$。最后一项很关键：一处尘埃变密，就算它还没改变速度，对气体的拖动也会改变。 定义背景平流导数 $D_j=\partial_t+U_{j,x}\partial_x$，以及科里奥利与 Kepler 剪切算符 $\mathcal C\mathbf q=(2\Omega q_y,-\Omega q_x/2,0)$，便得到线性方程。 $$ D_{\rm g}\mathbf a=\mathcal C\mathbf a-\nabla h+\frac\epsilon{t_{\rm stop}}(\mathbf b-\mathbf a+\delta\mathbf W),\qquad\nabla\cdot\mathbf a=0 $$ 压强扰动 h 维持不可压运动；背景压强作用已随平衡解扣除。 $$ D_{\rm d}\mathbf b=\mathcal C\mathbf b-\frac{\mathbf b-\mathbf a}{t_{\rm stop}},\qquad D_{\rm d}\delta=-\nabla\cdot\mathbf b $$ 尘埃没有压强，速度汇聚会提高密度，速度又经阻力与气体耦合。 对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3 ## 把空间波化成一个小矩阵 把真实扰动写成 $\widehat f\exp[\sigma t+i(k_xx+k_zz)]$ 的实部。复振幅中的两个实数，分别给余弦与正弦加权。空间导数变成乘 $ik_x$ 或 $ik_z$，时间导数变成乘 $\sigma$，其实部就是增长率。 压强不必再作为一个演化变量。对 $\mathbf k=(k_x,0,k_z)$，将气体加速度投影到垂直于 $\mathbf k$ 的平面，强制满足 $\mathbf k\cdot\mathbf a=0$。气体在径向—垂直平面里剩一个振幅，方位向还有一个；再加尘埃三个速度与一个密度，共六个状态。 $$ \mathsf P=\mathsf I-\frac{\mathbf k\mathbf k^{\mathsf T}}{k^2},\qquad\mathbf e_\perp=\frac{(k_z,0,-k_x)}k,\qquad\sigma\widehat{\mathbf q}=\mathsf L\widehat{\mathbf q} $$ 将转动、平流与反馈合到气体方程后施加投影，本征值便给出六个增长或振荡模式。 对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 ## 为什么只有径向堵车不够 若 $k_z=0$，不可压条件迫使气体径向扰动为零，增长的长期流动模式便失去所需运动。原论文第5.1节说明，这个极限中完整方程没有增长模式。 预先存在的气压峰，仍可以把两侧固体往一起送，形成径向集中。这与“均匀漂移背景上的无限小扰动是否增长”是另一项问题。若用密度决定的稳态漂移速度，替换完整速度方程，得到的是输运与波形变陡。 加入垂直变化，气体就能在保持不可压的同时径向移动。方位速度也必须保留，因为转动动力学依靠它交换角动量。两个空间变化方向仍然携带三个速度分量。 对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1 ## 完整算例：一条增长模式 取 $\mathrm{St}=0.1$、$\epsilon=3$ 与 $K_x=K_z=30$，其中 $K_j=k_j\eta r$。时间以 $1/\Omega$、速度以 $\eta v_{\rm K}$ 归一。完整不可压六状态问题给出 $\sigma/\Omega=0.41903111-0.34801854i$。 相对尘埃振幅从 $10^{-6}$ 出发，在 $10/\Omega$ 后达到 $6.6043\times10^{-5}$，增长66.043倍。e倍增长时间为 $2.3865/\Omega$，约为0.380个轨道周期。一个轨道周期是 $2\pi/\Omega$，与角频率倒数混用，会差 $2\pi$ 倍。 为便于观看，浏览器从仍然较小的 $0.005$ 振幅出发，积分到约 $0.1$ 就停止。默认增长本征模式从种子到这个边界约需 $7.149/\Omega$。这条边界表示线性演示的范围。 对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1 ## 比较相应的发表基准 Youdin 与 Goodman 原计算采用不可压气体。Youdin 与 Johansen 2007 表1加入弱压缩，给出邻近增长率。Benítez-Llambay、Krapp 与 Pessah 2019 表4和附录E保留了 $\rho_{\rm d}/\rho_{\rm g}$ 扰动，完整弱可压 LinA 增长率为 $0.4190091323\Omega$，LinB 为 $0.0154862262\Omega$，教程会独立复算。 2019原文第3.5.3节式86，将与2007表格的小差别追到两个气体密度反馈项。比较时要分清系统与约定。2019的时间因子为 $e^{-\omega t}$，所以其本征值是这里的 $-\sigma$。比较本征向量，还要把绝对或相对尘埃密度振幅归一到同一种定义。 对应阅读：Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1 ## 把混合作为新增假设 一个简单教学扩展，是对全部演化扰动加相同的 $D\nabla^2$。对 Fourier 模式，每个本征值都减去 $Dk^2$。上述单位下，$D=10^{-3}$、两个波数都为三十，就减去 $1.8\Omega$，LinA 随之衰减。 真实湍流模型还需分别说明气体粘性、尘埃扩散、速度弥散，以及沉降怎样改变局部密度比。这些量未必共享同一个系数。相同扩散的例子展示尺度相关平滑；完整盘模型与微行星形成阈值，需要继续向前读。 对应阅读：Umurhan, Estrada & Cuzzi 2020, Streaming Instability in Turbulent Disks, v4 · Li & Youdin 2021, Thresholds for Particle Clumping, v2 ## 练习与解释性答案 1. 气体密度固定，为什么气体阻力仍必须保留尘埃密度扰动？ 展开解释 单位体积气体受到多大拖动，取决于当地有多少尘埃。展开密度乘相对速度，会留下密度扰动乘背景漂移的一阶项；去掉它会改变不稳定机制。 2. 一条模式每 $3/\Omega$ 振幅加倍，增长率是多少？ 展开解释 由 $e^{3s/\Omega}=2$ 得 $s/\Omega=\ln2/3\approx0.231$。加倍时间与 e倍增长时间不同。 3. 线性增长率更大，能否单独断定分层盘会形成更稠密的团块？ 展开解释 线性率描述给定背景上的无限小扰动。非线性饱和、沉降、扩散与可用空间模式都会改变聚团。所引分层模拟直接显示，聚团边界并不服从无分层线性增长率的简单排序。 ## 动手检验预测 ### [跟随小波走到线性范围边缘](https://sandboxphysics.com/zh/labs/protoplanetary-dust-traps/) 1. 选择“线性流动不稳定波”，观察积分密度振幅提高，留意有限停止条件。 2. 选择“扩散压低波幅”，根据固定波数预测额外阻尼。 3. 解释径向陷阱的峰高上升，与这里的线性振幅增长，为何需要分别理解。 [上一篇：推导尘埃漂移与气体的响应](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/drift-and-feedback/) [下一篇：复算流动增长率与有界双流体环片](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/streaming-replay/) ## 来源与计算范围 1. [Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0409263v1) 2004 年9月10日第一版，发表于 ApJ 620,459–469（2005）。核读全文第2节式1–7、12–17、24–31，图1–3和第4节模式几何；第5节式39及其终端速度适用域；第6节区分任意线性振幅与后续塌缩。PDF 内印有较晚的2018年7月5日修改页首，这里固定档案第一版。 2. [Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0702625v1) 2007年2月23日第一版，ApJ 662,613–626。第2.1–2.3节式1–14、表1和第4节图4–5：固定停止时间、双向阻力、径向—垂直变化下的三个速度分量、有限分辨率本征模式检验与弱可压的已发表根。第2.3节明确说明，只有稳态径向拥堵的解释不足以产生线性 SI 增长。 3. [Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3](https://arxiv.org/pdf/1811.07925v3) 2019年6月10日第三版，ApJS 241，25。核读第3.4–3.5节、表4、式86与附录E。文献把特征值取负后放进时间指数，课程的复增长特征值与它符号相反。表4完整八状态的 LinA 增长率为0.4190091323，LinB 为0.0154862262，与独立矩阵一致。第3.5.3节把它和2007年表格的小差别追到气体密度的阻力反馈项，这是原文已经指出的区别。 4. [Li & Youdin 2021, Thresholds for Particle Clumping, v2](https://arxiv.org/pdf/2105.06042v2) 2021年10月14日第二版，DOI 10.3847/1538-4357/ac0e9f。核读第2、3.1–3.5和4节：分层模拟、面密度金属丰度与体密度比、图1阈值图、图7线性增长图和图8聚团比较。式21的扩散诊断不能预言全部非线性分层聚团，原文明确提醒不要把线性阈值泛化。 5. [Umurhan, Estrada & Cuzzi 2020, Streaming Instability in Turbulent Disks, v4](https://arxiv.org/pdf/1906.05371v4) 2020年5月25日第四版，PDF 页首为5月26日。第3.1–3.3节式4–18及附录A给出粘性、尘埃扩散/压强和背景强迫，第5节还联用湍流稀释模型解释增长。实验对全部线性场相同阻尼，是更简单的教学闭合，没有复现这个 alpha 盘模型。