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title: "推导尘埃漂移与气体的响应"
description: "解出气尘四个局部受力平衡式，恢复无反馈漂移，再用守恒环片追踪气压峰怎样收集尘埃。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/drift-and-feedback/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/dust-gas/drift-and-feedback/"
last_modified: "2026-10-28"
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[气体、小石子与最初的聚集](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/)

AC14 · L2

# 推导尘埃漂移与气体的响应

Sandbox Physics · 2026-10-28

压强改变气体的绕行速度，阻力再传递角动量，造成尘埃漂移。把两种物质一起求解，就能看到尘埃多了以后，为何漂移减慢、气体反而向外走。

## 开始前需要什么

先读《小石子怎样在成行星的盘里聚起来》。局部轨道运动可参看配套轨道动力学路线；这里会定义方向并展开代数，不要求已有稳定性背景。

## 选一个转动环片与停止时间

局部坐标 $x$ 指向径向外侧，$y$ 沿绕行方向，$z$ 指向垂直方向。环片以角频率 $\Omega$ 转动，速度以局部 Kepler 剪切为参考，因此参考半径上自由绕行的粒子，其相对速度为零。气体速度记为 $\mathbf u$，尘埃速度记为 $\mathbf v$。

固定线性阻力让尘埃加速度为 $-(\mathbf v-\mathbf u)/t_{\rm stop}$。定义 $\mathrm{St}=\Omega t_{\rm stop}$ 与局部体密度比 $\epsilon=\rho_{\rm d}/\rho_{\rm g}$。相同 Stokes 数在不同气体条件下，可以对应不同粒径。气体承受相反的单位体积力，除以自己的密度后，阻力加速度多出 $\epsilon$ 因子。

对应阅读：Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1 · Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3

## 只给气体加压强作用

在均匀径向压强梯度下，把向外加速度写成 $2\eta v_{\rm K}\Omega$。正的 $\eta$ 表示压强向外降低，气体转得比 Kepler 速度慢。忽略平衡速度的径向导数、垂直引力与粘性。

径向、方位向各写一条稳态受力式，共四条。系数二与二分之一，来自科里奥利作用和 Kepler 背景剪切的共同影响。只有气体方程出现压强项。

$$
0=2v_y-\frac{v_x-u_x}{\mathrm{St}},\qquad0=-\frac{v_x}{2}-\frac{v_y-u_y}{\mathrm{St}}
$$

尘埃平衡转动与阻力；时间已用角频率倒数归一。

$$
0=2u_y+2\eta v_{\rm K}+\frac{\epsilon(v_x-u_x)}{\mathrm{St}},\qquad0=-\frac{u_x}{2}+\frac{\epsilon(v_y-u_y)}{\mathrm{St}}
$$

气体另有径向压强支撑。将气体方程加上密度比乘尘埃方程，阻力项相抵。

对应阅读：Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

## 把耦合平衡解出来

将气体方位式与 $\epsilon$ 倍的尘埃方位式相加，得到 $u_x=-\epsilon v_x$；径向加权和则给出 $u_y+\epsilon v_y=-\eta v_{\rm K}$。

尘埃径向式给出 $v_y=(1+\epsilon)v_x/(2\mathrm{St})$，方位式给出 $u_y=v_y+\mathrm{St}v_x/2$。一起代回加权径向关系，$v_x$ 前面的系数变成 $[(1+\epsilon)^2+\mathrm{St}^2]/(2\mathrm{St})$，于是得到下面的速度。

$$
Q=(1+\epsilon)^2+\mathrm{St}^2,\quad v_x=-\frac{2\mathrm{St}}Q\eta v_{\rm K},\quad u_x=\frac{2\epsilon\mathrm{St}}Q\eta v_{\rm K}
$$

正压强支撑参数下，尘埃向内，气体向外；均匀平衡中，质量加权径向流量相抵。

$$
v_y=-\frac{1+\epsilon}{Q}\eta v_{\rm K},\qquad u_y=-\frac{1+\epsilon+\mathrm{St}^2}{Q}\eta v_{\rm K}
$$

这些小偏差加上 Kepler 绕行，才得到完整轨道速度。

对应阅读：Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

## 完整算例：漂移有多快

取示例轨道半径 $1.50\times10^{11}\,\mathrm m$、$v_{\rm K}=3.00\times10^4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 与 $\eta=10^{-3}$。反馈可忽略、$\mathrm{St}=1$ 时，径向速度为 $-30.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。半径除以速率，局部漂移时标约为158年。这是在该半径的尺度估算，没有积分穿过整个变化中的盘。

保持停止时间，改取 $\epsilon=1$，此时 $Q=5$，尘埃以 $12.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向内，气体以相同速率向外。两者密度相同，径向净质量流量为零。气体响应了阻力，尘埃的漂移也慢下来。

## 让初始气压峰自行演化

有限陷阱有空间梯度，仅用局部稳态速度不能让它演化。两种物质分别满足连续性 $\partial_t\rho+\partial_x(\rho v_x)=0$，同时输运动量，气体采用 $P=c_s^2\rho_{\rm g}$，再交换阻力。在径向实验中，长度以 $H=c_s/\Omega$、速度以 $c_s$ 为单位；后面的线性波则采用 $\eta r$ 与 $\eta v_{\rm K}$，两套尺度要分开。

气体初态在周期域 $L=8H$ 上正比于 $\exp[A\cos(2\pi(x-x_{\rm peak})/L)]$，再归一到平均密度一。尘埃最初均匀，速度从局部耦合漂移平衡给出。空间梯度随后会让两种物质继续演化，气压峰也可变形。

下面的实际固定结果采用128格，预热八个角频率倒数。场景也读取同一份气尘场；尘埃峰来自计算的聚集。

八个角频率倒数后的实际合成有限体积结果：128周期格，气体声速为一，域宽八个气体标高，初始对数密度振幅0.6，尘埃初态均匀。freeze-radial.ts 保存两种物质的密度、动量场，以及分辨率和时间步长比较。

| 情形 | Stokes 数 | 初始平均密度比 | 尘埃峰均比 | 气体最大径向速率 · 声速单位 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 默认陷阱 | $0.300$ | $0.300$ | $1.74$ | $0.00508$ |
| 紧耦合 | $0.0300$ | $0.300$ | $1.07$ | $0.000986$ |
| 快速漂移 | $1.00$ | $0.300$ | $2.97$ | $0.00467$ |
| 强反馈 | $0.300$ | $3.00$ | $1.15$ | $0.0121$ |

对应阅读：Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1 · Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3

## 把物理反馈与数值平滑分开

有限体积法把每个面的通量从一格减去、向相邻格加回，包括周期边界，因此分别守恒两种物质的质量。局部阻力步保持质心速度，令相对速度按 $\exp[-(1+\epsilon)\Delta t/t_{\rm stop}]$ 衰减。只考虑阻力时，相对动能会下降。

$$
\frac{dE_{\rm rel}}{dt}=-\frac{\rho_{\rm d}}{t_{\rm stop}}|\mathbf v-\mathbf u|^2,\quad E_{\rm rel}=\frac{\rho_{\rm g}\rho_{\rm d}}{2(\rho_{\rm g}+\rho_{\rm d})}|\mathbf v-\mathbf u|^2
$$

阻力耗散相对运动能量，守恒混合物动量。演变的剪切与气压可提供运动，等温模型则带走热量。

对应阅读：Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3 · Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

## 检查已经分辨到的尺度

径向求解器采用一阶空间 Rusanov 通量、二阶 SSP Runge–Kutta 输运，以及对称的精确阻力/周转源项步。空间数值扩散会平滑陡结构。默认时刻，128格与1024格参考在整个周期域上的相对 L1 尘埃密度差异为百分之2.92，峰高低约百分之6.1。这些是实测的分辨率差异。

无压流体还要求每个位置只有一个尘埃速度，不能表示粒子多流交叉或稠密焦散。有限的早期实验适合讨论捕获与气体反馈，后续非线性集中需要粒子法或更完整的动力学处理。径向方程也缺少线性流动不稳定所需的垂直模式；下一章把这个方向补上。

对应阅读：Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1

## 练习与解释性答案

1. 令 $\epsilon\to0$，推导向内漂移在哪个 $\mathrm{St}$ 最快。

   展开解释

   对 $2\mathrm{St}/(1+\mathrm{St}^2)$ 求导，导数符号由 $1-\mathrm{St}^2$ 决定，所以最大值在一。对于这个固定背景极限，耦合过紧与过松都会减慢漂移。

2. 数值计算的尘埃质量守恒到十五位，但网格加倍后峰高改变了，该报告哪一个结果？

   展开解释

   分别报告守恒总质量与实际分辨率依赖。面通量相抵检查质量收支，峰高变化衡量离散敏感性；引用结果时应带上网格与峰差异。

3. 局部尘气体密度比为一，是否等于整个盘的尘气面质量相同？

   展开解释

   薄薄的沉降尘层可以有很高体密度，面密度仍比气体小得多。体密度比与面密度金属丰度之间，还隔着两者的垂直厚度。

## 动手检验预测

### [动手前先预测响应](https://sandboxphysics.com/zh/labs/protoplanetary-dust-traps/)

1. 初始气压振幅与密度比不变，比较停止时间0.03、0.3和1，先预测相同演化时间后的峰高顺序。
2. 选择“尘埃反推气体”，与默认气体运动和尘埃集中比较。
3. 将初始振幅设为零，用受力平衡解释均匀状态，再恢复一个非零峰。

[上一篇：小石子怎样在成行星的盘里聚起来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/pebbles-in-a-headwind/) [下一篇：给流动波两个可以增长的方向](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dust-gas/two-directions-to-grow/)

## 来源与计算范围

1. [Youdin & Goodman 2005, Streaming Instabilities, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0409263v1)

   2004 年9月10日第一版，发表于 ApJ 620,459–469（2005）。核读全文第2节式1–7、12–17、24–31，图1–3和第4节模式几何；第5节式39及其终端速度适用域；第6节区分任意线性振幅与后续塌缩。PDF 内印有较晚的2018年7月5日修改页首，这里固定档案第一版。

2. [Youdin & Johansen 2007, Linear Evolution and Numerical Methods, v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0702625v1)

   2007年2月23日第一版，ApJ 662,613–626。第2.1–2.3节式1–14、表1和第4节图4–5：固定停止时间、双向阻力、径向—垂直变化下的三个速度分量、有限分辨率本征模式检验与弱可压的已发表根。第2.3节明确说明，只有稳态径向拥堵的解释不足以产生线性 SI 增长。

3. [Benítez-Llambay, Krapp & Pessah 2019, FARGO3D multifluid tests, v3](https://arxiv.org/pdf/1811.07925v3)

   2019年6月10日第三版，ApJS 241，25。核读第3.4–3.5节、表4、式86与附录E。文献把特征值取负后放进时间指数，课程的复增长特征值与它符号相反。表4完整八状态的 LinA 增长率为0.4190091323，LinB 为0.0154862262，与独立矩阵一致。第3.5.3节把它和2007年表格的小差别追到气体密度的阻力反馈项，这是原文已经指出的区别。