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title: "把造父星与超新星接成同一个距离模型"
description: "构造八参数观测模型，推导标定偏移的方向，并找到移除几何锚后精确的绝对尺度退化。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/distance-ladder/joining-the-rungs/"
last_modified: "2026-10-28"
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[宇宙距离阶梯怎样获得尺度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/distance-ladder/)

L2 · 宇宙距离阶梯

# 把造父星与超新星接成同一个距离模型

Sandbox Physics · 2026-10-28

距离阶梯可以合在一起拟合，因为每条亮度关系都包含少数共同量。宿主距离同时出现在造父星和超新星方程里，超新星共同光度再把这些宿主接到膨胀样本。把关系逐项写开，就能找到究竟哪项观测提供了绝对尺度。

## 开始前需要什么

先完成“从反平方亮度到恒星距离标定”，理解对数和距离模数。矩阵行会作为系数列表在这里引入。

## 先选八个未知量，再排矩阵

距离模数用星等。两座超新星宿主为 M101 和 Mrk1337，发布表把后者缩写为 M1337。NGC4258 提供几何锚；它的距离参数是相对29.398参考模数的偏移，两个宿主参数则是完整距离模数。分清这一点，就不会重复加参考距离。

其余未知量是十天造父星绝对零点、周期斜率修正、标准化超新星绝对星等、金属丰度系数和对数膨胀参数。斜率修正加到发布时采用的负3.285基准斜率上。哈勃常数先用千米每秒每百万秒差距表示其数值，再取对数。

$$
\boldsymbol q=(\mu_1,\mu_2,\Delta\mu_a,M^W_{10},\delta b,M_B,\gamma,u)^{\mathsf T},\qquad u=5\log_{10}\!\left[\frac{H_0}{\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}}\right]
$$

上标 T 把横着列出的量转成一列。这八个量在线性预处理观测中出现，实际造父星斜率等于基准斜率加修正。

对应阅读：PantheonPlusSH0ES DataRelease · Riess et al.

## 先恢复周期约定，再解释一行数据

把周期坐标定义为以天为单位的周期取常用对数，再减一。发布观测已经减去基准斜率项；NGC4258 的观测还减掉参考锚模数。剩下的系数分别乘宿主模数或锚偏移、共同零点、斜率修正和相对金属丰度。

这里沿用数值发布，把观测周期当固定值，并保留预处理星等的协方差。光度测量、选样、消光律和人工星拥挤测试已经发生在这些量形成之前；要重新处理那些步骤，需要回到原始成像分析。

$$
y_{ij}=m^W_{ij}-b_0x_{ij}-\mathbf1_{i=a}\mu_{a,\mathrm{ref}}=\mu_i^*+M^W_{10}+\delta b\,x_{ij}+\gamma Z_{ij},\quad x_{ij}=\log_{10}(P_{ij}/\mathrm{day})-1
$$

星号模数对 M101、Mrk1337 指完整模数，对 NGC4258 指锚偏移。指示函数只在锚造父星上等于一，计算似然时再加入噪声。

对应阅读：PantheonPlusSH0ES DataRelease · Yuan et al.

## 超新星把宿主距离传到哈勃流

一颗标定超新星的视亮度，等于宿主距离模数加共同标准化绝对星等。选定的五行来自两颗超新星：M101 的 SN2011fe 与 Mrk1337 的 SN2006D。多行对应分别处理的光变测量，协方差保留它们的联系；五行并不代表五颗独立超新星。

对低红移远处超新星，把光度距离写成一个随红移变化的速度尺度，除以哈勃常数。速度尺度包含采用的低红移膨胀改正和红移处理。把已知部分移到观测一边，就只剩超新星绝对星等与对数膨胀参数的线性组合。原矩阵已经给出这些哈勃流预处理值；教程保留原行号，不猜配其他星表名称。

$$
y_{\mathrm{cal}}=\mu_i+M_B,\qquad y_{\mathrm{HF}}=m_B^0-5\log_{10}\!\left[\frac{\mathcal V(z)}{\mathrm{km\,s^{-1}}}\right]-25=M_B-u
$$

mB-zero 指标准化视峰值星等。速度尺度用千米每秒、哈勃常数用千米每秒每百万秒差距表示数值，相除得到 Mpc 光度距离。预处理关系沿用原作者的红移约定。

对应阅读：Riess et al. · PantheonPlusSH0ES DataRelease

## 完整例题，沿着零点变化推下去

采用的锚模数增加0.10星等，实测造父星亮度不变。造父星绝对零点便减小0.10。要保持宿主造父星观测不变，两个宿主模数各增加0.10；接着超新星绝对星等减小0.10。哈勃流那一组合保持原值，对数哈勃参数也必须减小0.10。

这些变化精确保持每条未改亮度方程，只有采用的锚值不同。完整协方差拟合给出相同卡方与下表数值。这样的共同调整本来就保持残差；单看拟合好坏，发现不了错误的外部零点。

$$
\frac{D^{\prime}}{D}=10^{\Delta\mu/5},\qquad \frac{H_0^{\prime}}{H_0}=10^{-\Delta\mu/5}=0.9549926\quad(\Delta\mu=0.10)
$$

距离约增大4.71%，膨胀率约减小4.50%。有限变化互为倒数，两个百分比的绝对值并不完全相等。

| 拟合 | 基线 | 锚偏移0.10星等 |
| --- | --- | --- |
| 哈勃常数，千米每秒每 Mpc | 66.3049 | 63.3207 |
| 中央68%区间 | 62.2356–70.6403 | 59.4345–67.4610 |
| 卡方 | 75.19949 | 75.19949 |

对应阅读：PantheonPlusSH0ES DataRelease · Riess et al.

## 没有锚时，整条参数方向都看不见

去掉几何锚观测。给两个宿主模数与锚模数偏移都加同一个任意星等；两个恒星光度零点和对数膨胀参数都减去它；周期、金属丰度系数保持不变。每个造父星和式、每个标定超新星和式，以及哈勃流差式，全都保持原值。

这叫尺度退化：多组绝对距离尺度预言完全相同的观测。八参数设计矩阵此时只有秩七。把锚偏移任选为零，可以画图或求相对距离，却只加了一个任意约定，缺失的绝对距离并没有因此被测出来。

$$
\boldsymbol v=(1,1,1,-1,0,-1,0,-1)^{\mathsf T},\qquad A\boldsymbol v=\boldsymbol0,\qquad \boldsymbol q^{\prime}=\boldsymbol q+\delta\boldsymbol v
$$

矩阵每行列出未知量前的系数。沿零方向改变参数，全部有效观测预言的变化都是零。只有几何锚那一行的预言会沿这个方向改变。

对应阅读：Riess et al. · PantheonPlusSH0ES DataRelease

## 亲手观察

### [找出缺失的绝对尺度](https://sandboxphysics.com/zh/labs/supernova-distance-expansion/)

1. 选择“移除绝对距离锚”，查看秩七和自由哈勃尺度，再观察拟合同样好的推断距离一起移动。
2. 比较相对距离比与基线，解释绝对尺度任意时，为何这个比仍可测量。

## 练习与答案

所有造父星，包括锚造父星，都增加0.10星等；几何距离不变。哪些参数吸收变化？

共同造父星零点增加0.10。宿主距离、超新星零点和哈勃参数保持不变。只偏移宿主的一组，则会改变宿主距离，再传到超新星标定。

分析者移除锚，却把锚距离任意固定后报告很窄的哈勃误差。应怎样报告？

应报告秩七、自由共同尺度方向，以及宿主模数差等可辨认相对量。有限绝对哈勃区间会依赖后来加上的距离约定，或明确给出的外部先验。

为什么增加造父星数量，也补不上缺失的尺度方向？

新加造父星方程仍有同一个不变性：距离增加可以由光度零点降低抵消。这些方程能改善相对距离和斜率，只有绝对标定才对零方向有响应。

[上一篇：从反平方亮度到恒星距离标定](https://sandboxphysics.com/zh/stories/distance-ladder/from-light-to-distance/) [下一篇：用协方差拟合距离阶梯的共同误差](https://sandboxphysics.com/zh/stories/distance-ladder/shared-errors-in-the-ladder/)

## 来源与计算范围

1. [Riess et al., A Comprehensive Measurement of the Local Value of the Hubble Constant, arXiv:2112.04510 v 3 (2022)](https://arxiv.org/abs/2112.04510v3)

   第2.1节与第4节定义联合模型和标定；第5节、表5、图14—16给出完整拟合与相关性，第6—7节讨论变体和比较。课程所述论文结论固定在这一版本。

2. [PantheonPlusSH0ES DataRelease, commit c447f0fea703fcd0fff57de5000947b5ca81286b](https://github.com/PantheonPlusSH0ES/DataRelease/tree/c447f0fea703fcd0fff57de5000947b5ca81286b/SH0ES_Data)

   ally、alll、allc FITS 数组包含3492项预处理观测、47个参数列及完整协方差。公开教程保留其中87项观测与涉及的全部非零模型列。table2.README 明确提醒，不能只拿表2的对角误差重新拟合。

3. [Yuan et al., A New Cepheid Distance to the Maser-Host Galaxy NGC4258, arXiv:2203.06681 v 1 (2022)](https://arxiv.org/abs/2203.06681v1)

   第2—4节介绍 HST 观测、造父星选择与周期—光度拟合。发现星表与近红外标定样本大小不同；发布矩阵含443颗 NGC4258 造父星。