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title: "扣除光晕为什么也会扣掉伴星"
description: "推导角差、谱差自减除，检查两帧高斯极限，再读同一采样数据的五通道响应。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/rotation-and-self-subtraction/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/direct-imaging/rotation-and-self-subtraction/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从恒星眩光读到伴星光谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/)

L2 · 直接成像

# 扣除光晕为什么也会扣掉伴星

Sandbox Physics · 2026-10-28

科学图像拼成的参考也含有伴星光。减除会同时作用于光晕和伴星；把已知光源送过相同参考、旋转与测量，就能计算它损失多少。

## 开始前需要什么

先读《从瞳孔光波走到相机计数》。需要平均和旋转。线性算子是保持加法与倍数关系的规则；这个定义决定一次响应标定能否直接复用。

## 按实际顺序写下图像操作

每张探测器图像是一列像素计数。参考取全部十八帧平均，当前帧也在其中。逐帧扣去这个平均，再旋回共同天空方向，最后叠加残差。若先对齐天空再做平均参考，伴星会总落在相同像素，几乎被完整扣掉。

旋转算子从输出天空位置回查转过相应角度的探测器位置，插值也属于算子。连续旋转保持总光量，有限相机还存在插值与边缘损失；注入必须经过这些实际数值操作。

$$
\bar D=T^{-1}\sum_tD_t,\qquad S=T^{-1}\sum_tR_{\psi_t}(D_t-\bar D)
$$

参考平均包含当前帧。输出天空位置取对应曝光角度的正向旋转探测器位置；每项均为相机计数。

对应阅读：Marois et al. · Soummer

## 先看完全不转的极限

所有旋转都为零时，扣去平均的图像再平均，结果就是零。光晕在变、伴星在亮、噪声在抖，都不改变这个代数事实。每帧可以留下残差，可叠加时会抵消，静止伴星无法从这张均值角差叠加图中恢复。

转动很小时，正源核仍与负参考印迹大幅重叠。端点位移是一段圆弦：角距的两倍乘半转角的正弦。位移与源像宽度相比多大，决定它能否从自己的参考里走出来。

$$
d=2\rho\sin(\Delta\psi/2)\simeq\rho\Delta\psi
$$

小角近似中的转角必须用弧度，位移和角距采用同一个天角单位。

对应阅读：Marois et al.

## 推一个不用光学程序也能检查的结果

先把源像换成标准差为 sigma 的圆高斯。只有两帧时，平均参考各含半个源像，减除后便是半个正像与半个错位负像。把结果乘上居中的高斯再积分，就是匹配滤波测量。

两个错位高斯的重叠是指数函数。将乘积中的平方项配方，就得到下面的指数；再除以未处理高斯的自身平方积分，便是恢复振幅。

前面的二分之一不能丢。若参考完全用另一帧、不包含当前帧，响应恰好大一倍。只说采用角差成像，还没有说明参考怎么取。独立稠密网格直接积分两幅高斯，可以查出这种归一错误。

$$
|\boldsymbol x|^2+|\boldsymbol x-\boldsymbol d|^2=2|\boldsymbol x-\boldsymbol d/2|^2+d^2/2
$$

配方把居中高斯与位移因子分开。积分把小块图像面积的贡献加起来；高斯平移不改变全平面上的积分。

$$
\frac{\int P(\boldsymbol x)P(\boldsymbol x-\boldsymbol d)\,d^2x}{\int P^2\,d^2x}=e^{-d^2/(4\sigma^2)}
$$

高斯归一常数抵消。这里是连续空间的匹配滤波结果，不是通用孔径通量定律。

$$
\eta=\frac12[1-e^{-d^2/(4\sigma^2)}]\simeq\frac{d^2}{8\sigma^2}
$$

两帧都进入参考；位移极小时，响应按位移平方减小。十八帧的实际遮挡、像素图像另按自身响应标定。

对应阅读：Marois et al. · Pueyo

## 例题：比较两次保存的观测

默认源角距五个参考单位，总共转五十度，端点位移为四点二三单位。换成三度，位移降至零点二六二单位。亮度没有改，参考却看到了一个静得多的光源。

下表来自前章的五个有限波段、十八帧和固定种子 22022。中间波段入射对比度为零点零零一二四。处理孔径响应取校准导数与未减除孔径测量之比，也包括实际插值。标准误另计入估计光源自身的光子噪声。这次小转角采样偏离输入好几个条件标准误，误差条是否可信，还要交给重复采样检查。

| 合成序列 | 中间波段响应 | 提取对比度 | 条件标准误 |
| --- | --- | --- | --- |
| 转五十度 | 0.685 | 0.001240 | 0.00000750 |
| 转三度 | 0.0159 | 0.001401 | 0.0000616 |
| 靠近遮挡边缘 | 0.506 | 0.001226 | 0.0000310 |

![微弱源在两张含噪合成相机帧间转动，减旋残差显示正源核与负减除瓣。](https://sandboxphysics.com/stories/direct-imaging/synthetic-processing.svg)

两张实际采样合成帧及其均值角差残差。原图共用固定对数电子计数显示，残差另用正负标尺；相机和天空坐标均采用参考天角单位。

对应阅读：Marois et al. · Pueyo

## 换波长缩放又带来一种位移

衍射散斑通常随波长沿径向移动。把各波段缩放到参考波长，可以让恒星结构靠齐，再扣除波段平均。天空伴星在原相机里角距固定，缩放反而让它移动；这叫谱差成像，简称 SDI。

放大后，同样的光子摊到按放大倍数平方增长的面积上。重采样要反查坐标，并除以尺度平方。若只改几何尺寸，会在减除之前先改变光谱。

默认源缩放后的位置从约五点四四变到四点六三参考单位，仍明显重叠。一个波段的光源进入公共谱参考后，会连带改变其他输出波段。

$$
s_\ell=\lambda_{\rm ref}/\lambda_\ell,\qquad I'_\ell(\boldsymbol u)=s_\ell^{-2}I_\ell(\boldsymbol u/s_\ell)
$$

这是中间重采样坐标，不是天体真实角距变化。减除后各波段恢复到原天空尺度，再做角差减旋。

对应阅读：Greco & Brandt · Pueyo

## 测完整响应，再检查它能用多远

在缩放和做参考之前，逐个波段注入小幅正负增量，把整套处理重跑一遍，测所有输出波段之差。每次实验给出响应矩阵的一列：对角项是直接响应，非对角项是光谱混合。

保存的角差加谱差序列中，第一列归一响应约为零点一三零、负零点零二八四、负零点零二三零、负零点零一五八和负零点零一零三。归一方式是单位对比度的输出电子数除以恒星入射计数。只给各波段除自己的对角项，会遗漏其余通道带来的负贡献。

均值减除和固定插值保持线性。KLIP 则从参考数据学习主要图像图案，再扣掉若干图案。源会同时改动图像和学习到的基，因此有限注入要重新学习。比较不同注入幅度，还能检验局部导数在多大范围内适用。

$$
A_{ij}\simeq\frac{y_i(D+\delta c_jP_j)-y_i(D-\delta c_jP_j)}{2\delta c_j}
$$

响应是输出测量计数对入射通道对比度的导数。正负增量定义数值导数，没有创造独立光子观测。

对应阅读：Soummer · Pueyo · Greco & Brandt

## 亲手观察

### [先预测光损失，再看混合响应](https://sandboxphysics.com/zh/labs/pupil-engineering-coronagraph/)

1. 固定入射对比度，比较伴星在转和几乎不转。
2. 在进阶设置选择谱差加角差，查看非对角响应。
3. 试用一个和三个 KL 模态，比较图像锐利程度与提取光量的变化，并解释为何锐利本身选不出更好的光谱。

## 练习与答案

两个相同高斯相隔一个标准差，两帧都进入平均参考时恢复多少？

代入得 $\eta=\tfrac12(1-e^{-1/4})\simeq0.111$；参考只用另一帧则约为零点二二一。两者相差来自当前帧是否进入了自己的参考。

伴星五个波段的入射对比度相同，谱差处理就一定会把它完整抹掉吗？

还要看空间重叠。缩放让伴星在像素之间移动，源图像并不相同。靠近星心时重叠更强，某些光谱组合会更难测；应计算完整采样响应。

图像尺寸放大两倍却忘了面积因子，怎样用远离边缘的源诊断？

积分计数约增至四倍；带正确面积因子时，除插值误差外应保持计数。这能在 PSF 减除之前找出坐标密度转换错误。

[上一篇：从瞳孔光波走到相机计数](https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/from-pupil-to-pixels/) [下一篇：提取光谱时把误差一起带回来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/recovering-a-coupled-spectrum/)

## 来源与计算范围

1. [Marois et al., Angular Differential Imaging (2006)](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0512335v1)

   固定 v1，观测几何与参考减除：视场旋转怎样区分天体光源与瞳孔固定结构。

2. [Soummer, Pueyo & Larkin, KLIP (2012)](https://arxiv.org/abs/1207.4197v1)

   固定 v1，第二点一至二点三节、第三点一节，公式五至十二及图一至二：参考库、本征图像与投影共同定义减除算子。

3. [Pueyo, Detection and Characterization of Exoplanets Using Projections on Karhunen–Loève Eigenimages (2016)](https://arxiv.org/abs/1604.06097v1)

   固定 v1，第二点一至二点五、第三点一至三点三、第四点一至四点二节；附录 E 的 E18/E20 和附录 F 的 F8–F12。光源污染会改变参考基；文中 J 波段示例采用合成注入。

4. [Greco & Brandt, The Measurement, Treatment, and Impact of Spectral Covariance and Bayesian Priors in Integral-Field Spectroscopy of Exoplanets (2016)](https://arxiv.org/abs/1602.00691v1)

   固定 v1，第二节公式一至六、第三点一至三点二节公式七至八：光谱协方差怎样改变宽谱结构的权重。