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title: "从瞳孔光波走到相机计数"
description: "从复振幅推导有限波段日冕仪图像，建立固定天角像素、光学损失与光子计数之间的关系。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/from-pupil-to-pixels/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/direct-imaging/from-pupil-to-pixels/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从恒星眩光读到伴星光谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/)

L1 · 直接成像

# 从瞳孔光波走到相机计数

Sandbox Physics · 2026-10-28

相机计数先来自瞳孔上的一片光波。让光波经过各光阑，取振幅模平方，再对波长和像素面积积分，最后采样光子；按这个顺序计算，才能保留每一步损失的光。

## 开始前需要什么

先读《恒星旁边那个会转动的暗点》。需要三角函数和面积概念。这里把复振幅解释成同时保存波强与相位的工具，下一章再引入旋转和平均。

## 先选定天空和像素的方向

把恒星方向定为原点，相机横坐标向右、纵坐标向上。光源位置先用尚未发生视场旋转的天空方向表示。图像数组却从上面第一行开始存，行号增大的方向与纵坐标正向相反。两种方向都要在旋转前说清。

望远镜有一个自然角标尺：波长除以瞳孔直径。两者都是长度，相除得到以弧度表示的小角。八米瞳孔、参考波长一点二四微米，对应约三十二毫角秒。一毫角秒是一角秒的千分之一，一度包含三千六百角秒。

教学相机每像素占四分之一个参考角单位，八十个像素横跨二十单位。换波长时，相机的天角像素保持不动，改变的是落在其上的光学图像。光源角距也始终使用同一个参考标尺。

$$
\theta_{\rm ref}=\lambda_{\rm ref}/D=1.55\times10^{-7}\,\mathrm{rad}\simeq31.97\,\mathrm{mas}
$$

每像素约为七点九九毫角秒。合成仪器中角距五个参考单位，约为一百六十毫角秒。

对应阅读：Marois et al. · Bonnefoy et al.

## 先保留相位，再把光波相加

同一种颜色的光波，到达时可以相差一部分周期。相位记录这份早晚差。复振幅用两个分量保存波强与相位：一个取余弦，一个取正弦。虚数单位负责记录第二个分量，并没有添加一个空间方向。

瞳孔位置是以米表示的二维坐标，光源方向是以弧度表示的小角向量。对应分量相乘再相加，得到点积；倾斜入射让各处多走的路程等于这份点积。光学误差又添上一段光程。用总光程除以波长，就得到相差多少个周期，再乘完整一周便是相位。

圆孔内的瞳孔透射为一，孔外为零。给定的静态光程图案在实际离散瞳孔上均方根为二十纳米，对参考波长约是十分之一弧度的相位误差。另一幅给定图案随曝光演化。这里直接规定残余光程，没有求解大气或自适应光学控制。

$$
E_{\lambda,t}(\boldsymbol r;\boldsymbol\theta)=P(\boldsymbol r)\exp\!\left[\frac{2\pi i}{\lambda}\left(W_t(\boldsymbol r)+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\theta\right)\right]
$$

瞳孔坐标和光程误差都是长度，相位无量纲。光源角度让入射波在瞳孔上倾斜。

$$
I(\boldsymbol\alpha)=|\mathcal C_\lambda[E](\boldsymbol\alpha)|^2
$$

线性传播依次经过傅里叶变换、焦面遮挡、瞳孔重成像、Lyot 光阑和最终傅里叶变换。到最后才取振幅模平方。

对应阅读：Soummer · Pueyo

## 按进入仪器的光归一

傅里叶变换把瞳孔各处的波连同相位一起相加。离散归一要与总光功率一致；独立 NumPy 变换检查了这个约定。连续三次正向透镜变换会翻转最终图像，命名探测器方向时已经计入这次反转。

把最终强度除以清晰入瞳的光子归一，得到每个相机像素接收的入射光子比例。各像素加起来可以小于一，因为遮挡、Lyot 光阑和有限相机都损失了光。若再按透射总和归一成一，想测量的损失就被抹掉了。

连续的瞳孔、焦面遮挡和 Lyot 光阑都有清楚的圆边界。数值计算先求圆与每个单元相交的精确面积，再近似单元内复振幅不变。五百一十二点变换、六十四采样瞳孔另与独立细网格比较：角距不小于三个参考单位的九十六个参数角点中，孔径通量最大修正约为百分之零点零三六。默认完整序列的光谱校准改变量小于所报统计标准误的零点零五倍。更靠近遮挡时，相机仍显示光源怎样消失，光谱推断则暂停。

恒星和伴星各自在瞳孔上形成相干波，但彼此的光学相位在曝光期间没有固定关系，时间平均后的强度直接相加。若先把两个源的振幅相加，就会给独立天体编出干涉条纹。

$$
p_{\star,t\ell p}+c_\ell p_{{\rm s},t\ell p},\qquad\sum_p p_{{\rm s},t\ell p}\leq1
$$

各相机 PSF 都按同一入瞳归一。对比度比较窄波段内源与恒星的入射光子数；总和保留光学与相机视场损失。

对应阅读：Soummer · Bonnefoy et al.

## 先把一个颜色区间积起来

光谱通道接收一小段波长；把许多很窄的波长段贡献相加，就是这里的积分。能量谱密度描述单位波长的能量，再除以单个光子的能量，才得到光子数。波长越长，单个光子能量越低，光子加权便多出一个波长因子。模拟在每个宽零点零二微米的矩形波段内取平坦能量谱，伴星对比度也在段内取常数。

波段积分采用三个 Gauss 点，并与五点结果比较。每波段、每曝光采用三千万个潜在光电子，教学约定量子效率为一。这个数已经包含波段积分，后面不能再乘一次波长因子。

原生傅里叶焦面采样随波长缩放，相机接收的天角像素却保持不变。计算在每像素内的四个高斯节点插值复振幅，取模平方，再把强度加权相加；面积因子把原生采样换成相机面积。相同表面亮度落进不同大小的桶，每桶光子数也会不同。

$$
\bar p_{t\ell p}=\frac{\int_\ell T_\ell F_\lambda\lambda p_{t\lambda p}\,d\lambda}{\int_\ell T_\ell F_\lambda\lambda\,d\lambda}
$$

普朗克常数和光速组成的公共因子在分子分母中抵消；矩形透射函数规定波段。归一后的 PSF 表示每像素光子比例。

对应阅读：Bonnefoy et al. · Samland et al.

## 例题：数一数默认曝光的光

看默认合成序列的第一个波段。入射对比度为零点零零二，恒星三千万光子等价量便对应伴星六万个入射光子。离轴源模型约有三分之二落进有限相机，约四万个光电子分散在整个 PSF 上。

每像素另有五个背景电子。先按总期望抽一次泊松计数，再添标准差为两个电子的独立读出噪声。固定曝光内若光子独立到达，泊松分布描述计数涨落，方差等于期望，读出方差再加四。伴星自身也有光子噪声，比较环没有伴星，不会自动替它估出来。

固定种子保存了一次具体采样。换噪声种子后，光学期望不变，像素计数与提取光谱会变；第三章就用这种重复采样检查误差。

$$
\mu=N_\star(\bar p_\star+c_\ell\bar p_{\rm s})+b,\qquad\operatorname{Var}(D)=\mu+\sigma_{\rm r}^2
$$

计数以每像素、每曝光的电子数表示。十八次曝光各一秒，间隔两分钟；合成相机忽略曝光内部的视场转动模糊。

| 保存的默认输入 | 数值 | 含义 |
| --- | --- | --- |
| 参考波长 | 1.24 微米 | 固定天角标尺 |
| 瞳孔直径 | 8 米 | 圆形入瞳 |
| 恒星光子等价量 | 每波段三千万 | 日冕仪损失之前 |
| 首波段对比度 | 0.002 | 六万入射光子 |
| 读出噪声 | 2 电子均方根 | 逐像素独立 |
| 噪声种子 | 22022 | 一次保存的合成采样 |

对应阅读：Bonnefoy et al. · Greco & Brandt

## 亲手观察

### [把共轭光学面与采样相机连起来](https://sandboxphysics.com/zh/labs/pupil-engineering-coronagraph/)

1. 打开光学台，依次找到入瞳、焦面遮挡、Lyot 光阑和最终相机。
2. 回到观测伴星，先预测长波段会让哪些结构展宽，再比较首尾两个相机波段。
3. 固定光源位置，增加静态光程均方根；先描述恒星泄漏怎样变化，再看提取光谱。

## 练习与答案

波长不变，把瞳孔直径加倍，相机的实际天角像素保持不变，会怎样？

衍射角减半，PSF 横向大约只占原来一半像素；天空光源仍在原来的天角像素位置。应重新传播瞳孔场并积分像素，不能把显示光源的角距也缩小。

源 PSF 总和为零点六七，同学却把它重新归一成一再生成计数。拟合出的入射对比度会怎样？

给定入射对比度时，模型预测的相机光子太多；拟合同一观测，入射对比度约降为真实值的零点六七倍。缺失的透射应留在模型归一里。

某像素期望二十五电子，读出噪声为两电子，其标准差是多少？

独立方差相加，得到 $\sqrt{25+2^2}\simeq5.39\,\mathrm e^-$；先合并方差，再开平方。

[上一篇：恒星旁边那个会转动的暗点](https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/the-point-that-turns/) [下一篇：扣除光晕为什么也会扣掉伴星](https://sandboxphysics.com/zh/stories/direct-imaging/rotation-and-self-subtraction/)

## 来源与计算范围

1. [Marois et al., Angular Differential Imaging (2006)](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0512335v1)

   固定 v1，观测几何与参考减除：视场旋转怎样区分天体光源与瞳孔固定结构。

2. [Soummer, Pueyo & Larkin, KLIP (2012)](https://arxiv.org/abs/1207.4197v1)

   固定 v1，第二点一至二点三节、第三点一节，公式五至十二及图一至二：参考库、本征图像与投影共同定义减除算子。

3. [Pueyo, Detection and Characterization of Exoplanets Using Projections on Karhunen–Loève Eigenimages (2016)](https://arxiv.org/abs/1604.06097v1)

   固定 v1，第二点一至二点五、第三点一至三点三、第四点一至四点二节；附录 E 的 E18/E20 和附录 F 的 F8–F12。光源污染会改变参考基；文中 J 波段示例采用合成注入。

4. [Greco & Brandt, The Measurement, Treatment, and Impact of Spectral Covariance and Bayesian Priors in Integral-Field Spectroscopy of Exoplanets (2016)](https://arxiv.org/abs/1602.00691v1)

   固定 v1，第二节公式一至六、第三点一至三点二节公式七至八：光谱协方差怎样改变宽谱结构的权重。

5. [Bonnefoy et al., Physical and orbital properties of beta Pictoris b (2014)](https://arxiv.org/abs/1407.4001v1)

   固定 v1，第二节与表一：论文分析十九次 J 波段曝光，并采用卫星斑标定和恒星光谱；教程仅选三组后来重新处理的公开立方体。

6. [Samland et al., Spectral cube extraction for the VLT/SPHERE IFS (2022)](https://arxiv.org/abs/2210.06390v1)

   固定 v1，第三点四、第四点二至四点三、第四点六、第五点二至五点三及第六节。原始探测器微透镜像拟合与光谱串扰发生在教程采用的已约简 GPI 立方体之前。