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title: "重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心"
description: "用冻结的 CLASS 网格、增长方程和精确孤子检验三个暗物质拟合公式，附脚本、输出和出错情形。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[小星系里的暗物质](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/)

# 重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心

Sandbox Physics · 2026-11-12

这门课反复用到的三个拟合公式，在笔记本电脑上几秒钟就能检验。和保存下来的 CLASS 计算相比，Viel 的温暗物质拟合把半模波数估低了4%到12%。直接解增长方程得到的模糊暗物质半功率点，比 Hu 的拟合低11%到17%。和精确基态相比，Schive 的孤子拟合在三倍核心半径以内偏差不超过6%。这一章给出文件、命令、输出，以及每项检验可能怎样出错。

先读[温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/erasing-small-scale-power/)和[造出暗物质核心的三种方式](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/three-ways-to-make-a-core/)。你需要 Python、NumPy 和 SciPy，也要能读懂常微分方程。除非某一步另有说明，下面都是红移为零时的线性理论。下一章[怎样读银河系卫星星系给温暗物质和模糊暗物质的限制](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/reading-milky-way-satellite-limits/)会把半模质量用到一份已发表的卫星星系普查上。

## 材料包里有什么

所有文件都放在本站的同一个文件夹里。[冻结参考网格](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/reference-grid.json)保存了冷暗物质功率谱，以及用玻尔兹曼程序 CLASS 3.4.2 算出的温暗物质转移函数。[生成网格的脚本](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/generate_frozen_reference_grid.py)是唯一需要 CLASS 的文件。两个基准脚本要么读这个网格，要么不需要输入：[线性截断基准](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/benchmark_linear_cutoffs.py)和[孤立晕基准](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/benchmark_isolated_soliton.py)。它们保存的输出是 [linear-output.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/linear-output.json) 和 [isolated-output.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/isolated-output.json)。第三个脚本 [compute\_teaching\_values.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/compute_teaching_values.py) 重算第2到第4章例题里的每个数，写出 [teaching-values.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/materials/teaching-values.json)。

宇宙学参数取普朗克2018年的 TT,TE,EE+lowE+lensing+BAO 组合，即[Planck Collaboration 2020, arXiv:1807.06209v4](https://arxiv.org/abs/1807.06209v4)表2最后一列：$h=0.6766$，$\omega_{\mathrm b}=0.02242$，$\omega_{\mathrm c}=0.11933$，$A_{\mathrm s}=2.105\times10^{-9}$，$n_{\mathrm s}=0.9665$，$\tau=0.0561$。中微子按无质量处理，这是明说的简化。网格有141个波数，从 $0.05$ 到 $300\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 按对数均匀分布。$k$ 的单位是 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，$P$ 的单位是 $(h^{-1}\,\mathrm{Mpc})^3$。温暗物质的三次计算把全部暗物质交给质量为2、3或6.5 keV 的热遗迹粒子，再调节它的温度，让它的密度等于冷暗物质的值。

保存的输出用的是 Python 3.9.6、NumPy 2.0.2 和 SciPy 1.13.1，我们只在这组版本上运行过。先确认你手里的网格和这里的一样：它的 SHA-256 摘要以 04e1c5d5 开头，以 3bd48e 结尾。

```
shasum -a 256 reference-grid.json
python3 -I benchmark_linear_cutoffs.py reference-grid.json linear-output.json
python3 -I benchmark_isolated_soliton.py isolated-output.json
python3 -I compute_teaching_values.py reference-grid.json linear-output.json teaching-values.json
```

python3 后面那个参数让脚本在隔离模式下运行，当前文件夹里混进来的同名文件就不会顶替 NumPy 被导入。重新生成网格本身需要 CLASS 的 Python 接口 classy。

```
python3 -I generate_frozen_reference_grid.py reference-grid.json
```

## 检验一：温暗物质半模和 CLASS 比

Viel 的拟合给出振幅比 $T(k)=[1+(\alpha k)^{2\nu}]^{-5/\nu}$，其中 $\nu=1.12$，$\alpha$ 由粒子质量决定。[Viel et al. 2005, equations 6 and 7](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0501562v2) 半模有解析解 $k_{\mathrm{hm}}=(2^{\nu/5}-1)^{1/(2\nu)}/\alpha$。CLASS 那边，我们取网格里存的比值 $T=\sqrt{P_{\mathrm{WDM}}/P_{\mathrm{CDM}}}$，找它第一次降到 $1/2$ 以下的位置，在相邻格点之间对 $\log k$ 和 $\log T$ 做线性插值。半模质量接着由下式得到：

$$
M_{\mathrm{hm}}=\frac{4\pi}{3}\,\Omega_{\mathrm m}\rho_{\mathrm{crit}}\left(\frac{\pi}{k_{\mathrm{hm}}}\right)^3,
$$

[Nadler et al. 2021, equation 2](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2) 其中 $\Omega_{\mathrm m}=0.3096$，$\rho_{\mathrm{crit}}=2.775\times10^{11}\,h^2\,\mathrm M_\odot\,\mathrm{Mpc^{-3}}$。

**表 5.1** 同一宇宙学下，Viel 拟合和 CLASS 给出的温暗物质半模波数与半模质量。

| 粒子质量 | 拟合 $k_{\mathrm{hm}}$ | CLASS $k_{\mathrm{hm}}$ | 拟合与 CLASS 之比 | 拟合 $M_{\mathrm{hm}}$ | CLASS $M_{\mathrm{hm}}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 keV | $20.61$ | $21.51$ | $0.958$ | $1.88\times10^9$ | $1.66\times10^9$ |
| 3 keV | $32.33$ | $34.58$ | $0.935$ | $4.88\times10^8$ | $3.99\times10^8$ |
| 6.5 keV | $76.26$ | $86.22$ | $0.884$ | $3.72\times10^7$ | $2.57\times10^7$ |

波数单位是 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，质量单位是太阳质量。质量随 $k_{\mathrm{hm}}^{-3}$ 变化，所以在6.5 keV，波数差12%，质量就差45%。粒子越重，差距越大，而且 CLASS 的截断总比拟合落在更小的尺度上。Viel 等人选 $\nu=1.12$，是因为它对 $k<5\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 的玻尔兹曼程序结果拟合得最好。这里的半模在20到86之间，在那个范围之外，本来就不该指望百分之一级别的吻合。

第二个比较对象是别人发表的数。Nadler 等人写的是 $M_{\mathrm{hm}}=5\times10^8\,\mathrm M_\odot\,(m_{\mathrm{WDM}}/3\,\mathrm{keV})^{-10/3}$。[Nadler et al. 2021, equation 5](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2) 他们的模拟用 $h=0.7$、$\Omega_{\mathrm m}=0.286$。把这组参数和温暗物质密度 $0.24$ 代进 Viel 拟合，3 keV 时得到 $4.81\times10^8\,\mathrm M_\odot$，比他们的值低4%。温暗物质密度取 $0.24$，是我们替他们的设置做的假设。

## 检验二：模糊暗物质截断和直接解增长方程比

Hu、Barkana 和 Gruzinov 把模糊暗物质的振幅比拟合成 $T=\cos x^3/(1+x^8)$，其中 $x=1.61\,m_{22}^{1/18}\,k/k_{\mathrm{J,eq}}$，$k_{\mathrm{J,eq}}=9\,m_{22}^{1/2}\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，并说功率在 $k_{1/2}\approx4.5\,m_{22}^{4/9}\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 附近降到一半。[Hu, Barkana and Gruzinov 2000, equations 8 and 9](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0003365v2) 这里 $m_{22}$ 是以 $10^{-22}\,\mathrm{eV}$ 为单位的粒子质量，这些波数的单位是 $\mathrm{Mpc^{-1}}$，不带 $h$。

独立的检验是直接积分单个波的线性增长。把波动方程写成流体形式，粒子的波长就表现为一种压强。用 $\delta$ 表示密度反差，以 $\ln a$ 为时间：

$$
\frac{d^2\delta}{d(\ln a)^2}+\left(2+\frac{d\ln H}{d\ln a}\right)\frac{d\delta}{d\ln a}=\left[\frac32\,\Omega_{\mathrm{cl}}(a)-\left(\frac{\hbar k^2}{2ma^2H}\right)^2\right]\delta .
$$

$\Omega_{\mathrm{cl}}(a)$ 是当时参与成团的物质占临界密度的比例。脚本在复合，即 $a=1/1100$ 之前只让暗物质成团，之后让全部物质成团，背景里有辐射、物质和宇宙学常数。每个波从进入视界时开始，取 $\delta=1$、$d\delta/d\ln a=1$，再把量子项去掉，把同一个波重算一遍。两次终值之比就是振幅比，脚本找出它的平方穿过 $1/2$ 的位置。

**表 5.2** 模糊暗物质的半功率波数，单位 $\mathrm{Mpc^{-1}}$。

| $m_{22}$ | 增长方程 | Hu 拟合精确求解 | Hu 式9 | 增长方程与拟合之比 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | $3.80$ | $4.58$ | $4.5$ | $0.830$ |
| 4 | $7.25$ | $8.49$ | $8.33$ | $0.854$ |
| 20 | $15.48$ | $17.36$ | $17.04$ | $0.892$ |

增长方程截断功率的波数比拟合小11%到17%。这个计算是简化模型：没有重子压强，没有和光子的耦合，在复合时刻是突然切换的。这张表只说明拟合和这个模型差这么多，说明不了谁更接近完整的模糊暗物质玻尔兹曼计算。下一节会看到，结果还取决于起始斜率，这也是原因之一。

## 检验三：把孤子当作精确基态来解

模糊暗物质晕的核心，是这种波在自身引力下能量最低的状态。在 $\hbar/m=1$、$G=1$ 的单位里，它满足

$$
\psi''+\frac2r\psi'=2u\psi,\qquad u''+\frac2r u'=4\pi\psi^2,
$$

其中 $\rho=\psi^2$，$u$ 是引力势减去能量。脚本固定 $\psi(0)=1$，用二分法调 $u(0)$，直到 $\psi$ 降到零而不穿过零。方程在 $r\to r/\lambda$、$\rho\to\lambda^4\rho$ 下形式不变，所以对每个基态，$\rho_0r_{\mathrm c}^4$ 都是同一个数，$r_{\mathrm c}$ 是密度降到一半的半径。

Schive 等人用 $\rho_0=1.9\,(m/10^{-23}\,\mathrm{eV})^{-2}(r_{\mathrm c}/\mathrm{kpc})^{-4}\,\mathrm M_\odot\,\mathrm{pc^{-3}}$ 和形状 $[1+0.091(r/r_{\mathrm c})^2]^{-8}$ 去拟合他们模拟出来的核心。[Schive et al. 2014, PRL, equation 3](https://arxiv.org/abs/1407.7762v2) 换成这里的单位，他们的前因子是 $0.2223$。

**表 5.3** 精确基态与 Schive 拟合及其旁边给出的数。

| 量 | 精确基态 | Schive 2014 |
| --- | --- | --- |
| 程序单位下的 $\rho_0r_{\mathrm c}^4$ | $0.2268$ | $0.2223$ |
| $3r_{\mathrm c}$ 以内最大形状偏差 | $5.9\%$ | 精确到2% |
| $3r_{\mathrm c}$ 以内质量占总质量 | $0.957$ | 约95% |
| 半质量半径与 $r_{\mathrm c}$ 之比 | $1.465$ | 约1.45 |
| $r_{\mathrm c}$ 以内质量占总质量 | $0.236$ | 约25% |

两种容差 $10^{-7}$ 和 $10^{-10}$ 给出的数前六位相同。要让形状恰好在 $r_{\mathrm c}$ 处减半，系数应是 $2^{1/8}-1=0.0905$，$0.091$ 就是它四舍五入的结果，所以中心部分吻合得很好。偏差往外越来越大：在 $r_{\mathrm c}$ 处是0.4%，在 $2r_{\mathrm c}$ 处是4.0%，最大的5.9%出现在 $2.7r_{\mathrm c}$。那篇快报里说“精确到2%”的那句话，没有讲是和什么比。我们的5.9%是和精确基态比的，没有拿拟合去和他们的模拟核心比。

核心半径以内的质量乘以这个半径，也被同一个标度关系固定住。对 $m=10^{-23}\,\mathrm{eV}$，精确基态给出 $M_{\mathrm c}r_{\mathrm c}=5.41\times10^9\,\mathrm M_\odot\,\mathrm{kpc}$。把 Schive 公式从 $0$ 积到 $r_{\mathrm c}$，得到 $5.30\times10^9$，低2%，和前因子的差距差不多。

同一个脚本还检验自相互作用模型用到的等温球。数值解和级数 $x^2/6-x^4/120+x^6/1890$ 在 $x\le0.4$ 范围内相差不超过 $2.4\times10^{-8}$。在远处，密度乘以 $x^2/2$ 应当趋于1，在 $x=200$、$600$、$2000$ 处读数是 $1.016$、$1.049$、$0.997$。等温球本来就是这样一边摆动一边慢慢逼近的。密度在 $x=2.2746$ 处减半。

## 每项检验可能怎样出错

下面每种出错情形都存进了 linear-output.json，你可以确认自己能复现。

模糊暗物质拟合会变号。$\cos x^3$ 在 $x=(\pi/2)^{1/3}$ 以上变负，对 $m_{22}=1$ 就是 $k=6.50\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。这个拟合只描述截断的形状，过了这一点只能用 $T^2$。在那里取 $\log T$ 的代码会报错停下。

定步长积分器会发散。在 $k=30\,\mathrm{Mpc^{-1}}$、$m_{22}=1$ 时，早期的量子项非常大，方程变得刚性。自适应求解器给出振幅比 $3.69\times10^{-4}$，40个固定步长的四阶龙格–库塔给出 $-1.86\times10^{26}$。结果大成这样或者变成负数，说明步长太长，而不是物理变了。

起始条件有影响。默认起点下，$m_{22}=1$ 的半功率点是 $3.80\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。把初始斜率设为零，得到 $3.22$。把起点的尺度因子提前十倍，得到 $3.31$。光是起点就带来15%的差别，这又是一个不该把表5.2当成精确结果的理由。

温暗物质拟合在深尾部失效。在 CLASS 第一次降到 $T\approx0.017$ 的格点上，Viel 拟合已经是2 keV 的 $0.0027$、3 keV 的 $0.0019$、6.5 keV 的 $0.0011$，低了6到17倍。即使在 $T$ 大于 $0.25$ 的范围内，三种质量的拟合偏差也分别达到16%、23%和31%。尾部要紧时，直接读 CLASS 的结果。

## 自己动手时的检查单

1. 开始之前先确认网格摘要。
2. 运行三个脚本，把你的输出文件和保存的文件比较，目标是前四位有效数字一致。
3. 一次只改一个输入。比如在生成脚本里试4 keV 的粒子，或在增长基准里试 $m_{22}=2$，运行之前先预测变化方向。
4. 收紧容差再跑一次，报告哪几位数字没有动。
5. 写下每项比较没有检验到的东西。两个计算如果有同样的简化，彼此吻合也说明不了太多。

## 实验任务

1. 预测。把[暗物质晕实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dark-matter-halo-cores/)设成3 keV 的温暗物质，读半模质量。它是表5.1里的拟合值，还是 CLASS 值？
2. 改一个条件。把模糊暗物质粒子质量从 $m_{22}=1$ 调到 $m_{22}=4$，读孤子核心半径。晕质量不变时，它应缩小到四分之一，因为 $r_{\mathrm c}\propto m^{-1}$。
3. 解释。用表5.3说明，为什么实验用 Schive 公式画孤子，不会把核心的位置画得明显不对。

## 练习

1. 从解析解出发，证明在宇宙学参数固定时，温暗物质半模波数按 $m_{\mathrm{WDM}}^{1.11}$ 变化，半模质量按 $m_{\mathrm{WDM}}^{-3.33}$ 变化。
2. 用表5.2给增长方程的半功率点拟合一个幂律。它还保持 Hu 式9的指数 $4/9$ 吗？
3. 40步的求解器在 $k=30\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 失败。估计早期量子项相对引力项有多大，并解释为什么在 $\ln a$ 上取固定步长时，步子太长了。

答案

1. $\alpha\propto m^{-1.11}$，而 $k_{\mathrm{hm}}\propto1/\alpha$，所以 $k_{\mathrm{hm}}\propto m^{1.11}$。质量随 $k_{\mathrm{hm}}^{-3}$ 变化，于是得到 $m^{-3.33}$，正是 Nadler 等人用的指数 $-10/3$。
2. 从 $m_{22}=1$ 到 $20$，半功率点增大到 $15.48/3.80=4.07$ 倍。指数是 $\ln4.07/\ln20\simeq0.47$，接近 $4/9\simeq0.44$。标度关系大致成立，前因子不同。
3. 量子项按 $k^4/(a^4H^2)$ 变化。辐射主导时 $H\propto a^{-2}$，所以 $a^2H$ 是常数，这里约为 $0.65\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$，量子项也就几乎不变，而引力项很小。它的平方根 $\hbar k^2/(2ma^2H)\simeq13$ 就是以 $\ln a$ 计的振荡速率。这个波在 $\ln a\simeq-16.4$ 附近进入视界，40个格点留下39步，每步约 $0.42$，速率乘步长约为 $5.6$。经典四阶龙格–库塔只在这个乘积小于约 $2.8$ 时对振荡稳定，所以解会无限增长。

把实验里的半模质量和表中的拟合值、CLASS 值对照。

[打开“暗物质晕的核心与尖峰”实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dark-matter-halo-cores/)

## 来源

1. [Planck Collaboration 2020, arXiv:1807.06209v4](https://arxiv.org/abs/1807.06209v4)
2. [Viel et al. 2005, equations 6 and 7](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0501562v2)
3. [Nadler et al. 2021, equation 2](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2)
4. [Hu, Barkana and Gruzinov 2000, equations 8 and 9](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0003365v2)
5. [Schive et al. 2014, PRL, equation 3](https://arxiv.org/abs/1407.7762v2)

## 继续阅读

小星系里的暗物质 · 阅读路径

### 从中心尖峰到数卫星星系

1. [文章 **不同的暗物质，能留下相似的小星系吗？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/similar-dwarfs-different-dark-matter/)
2. [文章 **尖峰和核心怎样改变转动曲线**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/cusp-core-and-rotation-speed/)
3. [文章 **温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/erasing-small-scale-power/)
4. [文章 **造出暗物质核心的三种方式**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/three-ways-to-make-a-core/)
5. [当前页面 **重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/recompute-cutoffs-and-a-soliton/)
6. [文章 **怎样读银河系卫星星系给温暗物质和模糊暗物质的限制**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/reading-milky-way-satellite-limits/)