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title: "怎样读银河系卫星星系给温暗物质和模糊暗物质的限制"
description: "逐图导读 Nadler 等人2021年的论文：卫星计数怎样给出温暗物质和模糊暗物质的限制，限制又在哪里不够硬。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[小星系里的暗物质](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/)

# 怎样读银河系卫星星系给温暗物质和模糊暗物质的限制

Sandbox Physics · 2026-11-12

Nadler 等人清点了暗能量巡天（DES）和 Pan-STARRS1 能在银河系周围探测到的暗弱卫星星系，发现数目和冷暗物质的预言一样多。在95%置信度下，这排除了轻于6.5 keV 的热遗迹温暗物质，以及轻于 $2.9\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$ 的模糊暗物质。两个限制都建立在三样东西上：一个描述小子晕损失多少的模型，两个模拟出来的银河系宿主晕，以及一个按银河系质量做的缩放。换一个子晕模型，模糊暗物质的限制会变动大约三倍，作者自己也这样写了。这篇导读按图和公式逐一读这篇论文。

先读[温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/erasing-small-scale-power/)，转移函数和半模质量都来自那一章。[重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/recompute-cutoffs-and-a-soliton/)检验了这篇论文所依赖的温暗物质半模公式。你需要熟悉似然函数和95%上限。子晕是在大晕里绕行的小晕，卫星星系就是一个子晕里装着的那些恒星。

## 这篇导读读的是哪个版本

论文是 Nadler 等人的 Milky Way Satellite Census III, Constraints on Dark Matter Properties from Observations of Milky Way Satellite Galaxies，这里读的是2021年3月1日发布的 [arXiv:2008.00022v2](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2)。它的 arXiv 页面链接到正式发表版 [Physical Review Letters 126, 091101 (2021)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.126.091101)。我们读了 arXiv 全文，包括补充材料，但没有和期刊排版版本逐行对照。论文给出了作者代码和子晕目录的链接，我们没有运行它们。

论文用 $h=0.7$、$\Omega_{\mathrm m}=0.286$、$\sigma_8=0.82$、$n_{\mathrm s}=0.96$，Bryan–Norman 位力过密度取 $\Delta_{\mathrm{vir}}\simeq99.2$。本课程用普朗克2018年的参数，得到 $102.5$。比较质量时要把两套参数分开。

## 图1就是整条论证

图1有三栏，从左往右读，就是整篇论文的逻辑。

左栏画的是被排除的温暗物质、相互作用暗物质和模糊暗物质模型的 $T^2(k)$：6.5 keV，100 MeV 时 $8.8\times10^{-29}\,\mathrm{cm^2}$ 的暗物质–质子截面，以及 $2.9\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$。这是线性理论，和第3章是同一个量。

中栏把每个截断换成 $f_{\mathrm{DM}}(M)$，也就是质量为 $M$ 的冷暗物质子晕还剩多少比例。一条竖直虚线标出已知承载银河系卫星的最轻晕质量的95%上限，取自作者早先的普查论文。虚线以下的子晕里没有我们看得见的星系，它们少了多少无从检验。

右栏画的是亮于各个光度的卫星数目预测，和 DES、PS1 的数据对比。图注提醒，这一栏只是一维的概括，真正的拟合用到每颗卫星在各自巡天天区里的光度、大小和天球位置。

## 式1到式7，配上数字

式1定义 $T^2=P_{\mathrm{DM}}/P_{\mathrm{CDM}}$，半模是 $T^2=0.25$ 的位置。式2给出半模质量，和第3章一样。式3说，暗物质模型唯一改变的是子晕质量函数：

$$
\left(\frac{dN_{\mathrm{sub}}}{dM}\right)_{\mathrm{DM}}=f_{\mathrm{DM}}(M,\theta_{\mathrm{DM}})\left(\frac{dN_{\mathrm{sub}}}{dM}\right)_{\mathrm{CDM}}.
$$

对温暗物质，式4和式5是

$$
f_{\mathrm{WDM}}=\left[1+\left(\frac{\alpha M_{\mathrm{hm}}}{M}\right)^{\beta}\right]^{\gamma},\qquad M_{\mathrm{hm}}=5\times10^8\,\mathrm M_\odot\left(\frac{m_{\mathrm{WDM}}}{3\,\mathrm{keV}}\right)^{-10/3},
$$

其中 $\alpha=2.7$、$\beta=1.0$、$\gamma=-0.99$，取自 Lovell 等人对银河系质量宿主晕的模拟。对模糊暗物质，式6形式相同，质量尺度换成 $M_0$，随粒子质量变化的指数列在补充材料里。式7是

$$
M_0=1.6\times10^{10}\,\mathrm M_\odot\left(\frac{m_\phi}{10^{-22}\,\mathrm{eV}}\right)^{-4/3}.
$$

[Nadler et al. 2021, equations 1 to 7](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2)

**例6.1** 温暗物质的限制对子晕数目意味着什么？把基准限制 $M_{\mathrm{hm}}=3.8\times10^7\,\mathrm M_\odot$ 代入式4。在 $M=10^8\,\mathrm M_\odot$，$f=[1+2.7\times0.38]^{-0.99}=2.026^{-0.99}=0.497$。在 $10^9\,\mathrm M_\odot$，$f=1.103^{-0.99}=0.908$。被排除的模型会让 $10^8\,\mathrm M_\odot$ 的子晕少掉大约一半，重十倍的子晕少掉大约十分之一。数据不允许比这更多的损失。

**例6.2** 把质量限制换成粒子质量。反解式5，$m_{\mathrm{WDM}}=3\,\mathrm{keV}\,(M_{\mathrm{hm}}/5\times10^8)^{-3/10}$。基准值 $3.8\times10^7$ 给出 $6.50\,\mathrm{keV}$，未缩放的 $3.0\times10^7$ 给出 $6.98\,\mathrm{keV}$，和论文印的6.5与7.0 keV 一致。反解式7，$m_\phi=10^{-22}\,\mathrm{eV}\,(M_0/1.6\times10^{10})^{-3/4}$。基准值 $M_0=1.8\times10^8$ 给出 $2.89\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，和印出的 $2.9\times10^{-21}$ 一致。论文只印了缩放后的粒子质量；按我们自己的计算，未缩放的 $1.4\times10^8$ 给出 $3.50\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$。

## 拟合是怎样搭起来的

数据是 DES 和 PS1 找到的卫星，每个巡天都有观测选择函数，说明一颗给定亮度、大小、距离和天球位置的卫星有多大可能被探测到。模型从两个类银河系宿主晕的纯暗物质放大模拟出发，它们的位力质量是 $1.57\times10^{12}$ 和 $1.26\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$。两个模拟里都有大麦哲伦云的类似物，作者早先的普查论文表明，要重现卫星在天空上的分布，这一点不可缺。

接着用一个经验的星系–晕模型把星系放进子晕。它的八个参数涵盖光度关系及其弥散、尺寸关系、承载可见星系的晕所占比例，以及银河系盘摧毁子晕的效率。暗物质以另一个参数进入，即 $\log_{10}M_{\mathrm{hm}}$ 或 $\log_{10}M_0$，先验在对数上均匀。每颗模拟卫星的探测概率乘上 $f_{\mathrm{DM}}$。似然函数按面亮度分箱，取泊松形式。采样器 emcee 用36个 walker 跑了 $10^5$ 次迭代，丢掉前 $2\times10^4$ 步。补充材料的95%区间表里，$M_{\mathrm{hm}}$ 和 $M_0$ 的下端都标明由先验决定，数据只给出上限时本来就会这样。

最后一步是缩放。宿主晕越重，子晕也越重，观测到的卫星就住在更重的子晕里，限制会放松。作者把每个上限乘以一个比值：盖亚卫星运动学允许的最大银河系质量，除以模拟的平均值 $1.4\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$。印出来的限制从 $3.0$ 变到 $3.8\times10^7$，从 $1.4$ 变到 $1.8\times10^8$，两个倍数都接近 $1.3$。我们读过的部分没有直接印出这个比值。按这两个四舍五入后的倍数推算，允许的最大质量在 $1.8\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$ 左右。

## 限制在哪里不够硬

模糊暗物质的子晕模型是最大的理论不确定性，论文也这么说。基准的 $f_{\mathrm{FDM}}$ 来自一个半解析模型，其中考虑了带孤子核心的子晕被潮汐剥离。若改用 Schive 等人的质量函数，即 $\tilde\beta=1.1$、$\tilde\gamma=-2.2$，得到 $M_0<3.4\times10^7\,\mathrm M_\odot$、$m_\phi>9.1\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，强了大约三倍。补充材料指出，Schive 的模拟用的是普通粒子加模糊暗物质的初始起伏，没有解薛定谔–泊松方程；而那个半解析模型也没有明确处理量子压强项。两者都不是对子晕的完整波动计算。

温暗物质的限制只适用于热遗迹。作者提到，为共振产生的惰性中微子构造的质量函数压低得明显更少。惰性中微子在补充材料里另行处理。

只模拟了两个宿主晕。作者把这一点列为同时影响准确度和精度的限制。

模型假设暗物质只改变子晕有多少，不改变它们在哪里绕行。作者说，对模糊暗物质这一点更不确定，因为波动的动力学摩擦不同；但他们估计，对主导限制的 $10^8\,\mathrm M_\odot$ 子晕影响可以忽略。

温暗物质拟合里没有核心。[Read, Agertz and Collins 2016](https://arxiv.org/abs/1508.04143v3) 在摘要里指出，有核心的矮星系更容易被潮汐撕碎，这在冷暗物质里同样会让子晕变少。Nadler 模型里的盘摧毁参数是拟合出来的，但它不是对反馈造出核心的建模，核心能让限制移动多少，我们也没有检验。[Bullock and Boylan-Kolchin 2017, section 3.1](https://arxiv.org/abs/1707.04256v2) 总结的模拟显示，在最低的恒星质量上，反馈造出的核心可以忽略，对极暗卫星来说，这个效应也许不大。

## 一处值得留意的单位差别

摘要和表 I 给出的模糊暗物质德布罗意波长是 $\lambda_{\mathrm{dB}}\lesssim0.5\,\mathrm{kpc}$，结果段落写的是 $0.5\,h^{-1}\,\mathrm{kpc}$。取 $h=0.7$，两者差 $1.4$ 倍。我们没有弄清作者本意是哪一个，也不去改任何一处。引用这个结果时，用粒子质量 $m_\phi>2.9\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，摘要、表 I 和结果段落在这个数上一致。

## 每条说法属于哪一类

**表 6.1** 论文内外的说法，按性质分类。

| 说法 | 性质 | 出处 |
| --- | --- | --- |
| 卫星数目和冷暗物质一致，直到 $k\sim40\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ | 已发表结果，以卫星模型为前提 | 引言 |
| 热遗迹温暗物质重于6.5 keV | 已发表的95%限制，只适用于热遗迹 | 结果，表 I |
| 模糊暗物质重于 $2.9\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$ | 已发表的95%限制，依赖子晕模型 | 结果，表 I |
| 用 Schive 质量函数时模糊暗物质限制强约三倍 | 已发表的替代结果，不是基准结果 | 补充材料 |
| $10^{-22}\,\mathrm{eV}$ 的模糊暗物质受到数据强烈排斥 | 已发表的解读 | 结果 |
| $f_{\mathrm{WDM}}$ 和 $f_{\mathrm{FDM}}$ 的函数形状 | 来自模拟和半解析模型的预言 | 式4和式6 |
| 基于波动计算的模糊暗物质子晕质量函数 | 尚无定论 | 补充材料 |
| 2021年以后的卫星巡天和限制 | 本导读没有读 | 无 |

## 把论文和这门课连起来

第3章里，3 keV 粒子的半模质量是 $4.9\times10^8\,\mathrm M_\odot$，约为 Nadler 限制的13倍。$m_{22}=1$ 的模糊暗物质，也就是论文所说曾被用来解释矮星系核心的那个质量，比模糊暗物质限制低约29倍。

配套实验用 Schneider 的场晕公式 $(1+M_{\mathrm{hm}}/M)^{-1.16}$ 画温暗物质的晕数，而不是 Nadler 的子晕公式。在 $M_{\mathrm{hm}}=3.8\times10^7$、$M=10^8\,\mathrm M_\odot$ 时，Schneider 形式给出 $0.688$，Nadler 形式给出 $0.497$。它们描述的对象不同，一个是宇宙场里的晕，一个是宿主晕里的子晕，来源的模拟也不同。实验里的晕数读数是场晕之比，和卫星计数的限制是两回事。

## 读任何卫星计数限制时的检查单

1. 用了哪些巡天天区、哪些选择函数，样本里有哪些卫星？
2. 用了哪些模拟宿主晕，几个，有没有大麦哲伦云类似物？
3. 子晕压低用的是哪个公式，来自哪些模拟？
4. 暗物质参数的先验是不是在对数上均匀，限制是不是贴着先验边界？
5. 银河系质量怎么处理：边缘化、固定，还是缩放？
6. 模型漏掉了什么：核心、波动干涉、子晕轨道的变化？
7. 哪些数在摘要里，哪些在表里，它们一致吗？

## 实验任务

1. 预测。在[暗物质晕实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dark-matter-halo-cores/)里选温暗物质，读6.5 keV 时的半模质量。它接近论文的 $3.8\times10^7\,\mathrm M_\odot$ 吗？别忘了两边的宇宙学参数不同。
2. 改一个条件。在 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 的晕里，把模糊暗物质粒子质量从 $m_{22}=1$ 调到 $m_{22}=29$，观察晕数读数和孤子核心。
3. 解释。把温暗物质设为6.5 keV、晕质量设为 $10^9\,\mathrm M_\odot$。实验的晕数读数约为 $0.96$，而式4在论文限制处给出 $0.908$。给出两个原因。

## 练习

1. 用式4求：在基准温暗物质限制下，多大质量的子晕恰好少掉20%？
2. Schive 质量函数给出 $M_0<3.4\times10^7\,\mathrm M_\odot$。用式7验算印出的 $9.1\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，并求它和基准限制之比。
3. 假如后来的分析发现银河系晕质量最多 $1.2\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$。按作者的线性缩放，温暗物质限制会变强还是变弱，大约对应多大的粒子质量？

答案

1. 解 $[1+2.7\times3.8\times10^7/M]^{-0.99}=0.8$。方括号要等于 $0.8^{-1/0.99}=1.2526$，所以 $2.7\times3.8\times10^7/M=0.2526$，$M\simeq4.1\times10^8\,\mathrm M_\odot$。
2. $(3.4\times10^7/1.6\times10^{10})^{-3/4}=(2.125\times10^{-3})^{-0.75}\simeq101$，所以 $m_\phi\simeq1.01\times10^{-20}\,\mathrm{eV}$，比印出的 $9.1\times10^{-21}$ 高约11%。同样的反解能重现基准值 $2.9\times10^{-21}$，所以从我们读到的正文无法解释这个差距，留作需要向作者确认的问题。两个印出限制之比是 $9.1/2.9\simeq3.1$。
3. 宿主晕更轻，卫星就住在更轻的子晕里，限制变强。缩放因子变成 $1.2/1.4=0.86$，而不是约 $1.3$，所以 $M_{\mathrm{hm}}\lesssim3.0\times10^7\times0.86=2.6\times10^7\,\mathrm M_\odot$。再由式5得到约 $7.3\,\mathrm{keV}$。作者只用他们的两个宿主晕验证过线性缩放，所以这只是粗略估计。

把温暗物质设为6.5 keV，把实验的半模质量和论文对照。

[打开“暗物质晕的核心与尖峰”实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dark-matter-halo-cores/)

## 来源

1. [arXiv:2008.00022v2](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2)
2. [Physical Review Letters 126, 091101 (2021)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.126.091101)
3. [Read, Agertz and Collins 2016](https://arxiv.org/abs/1508.04143v3)
4. [Bullock and Boylan-Kolchin 2017, section 3.1](https://arxiv.org/abs/1707.04256v2)

## 继续阅读

小星系里的暗物质 · 阅读路径

### 从中心尖峰到数卫星星系

1. [文章 **不同的暗物质，能留下相似的小星系吗？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/similar-dwarfs-different-dark-matter/)
2. [文章 **尖峰和核心怎样改变转动曲线**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/cusp-core-and-rotation-speed/)
3. [文章 **温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/erasing-small-scale-power/)
4. [文章 **造出暗物质核心的三种方式**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/three-ways-to-make-a-core/)
5. [文章 **重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/recompute-cutoffs-and-a-soliton/)
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