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title: "温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏"
description: "读懂转移函数，把半模尺度换成晕质量，再算出温暗物质或模糊暗物质让小晕少了多少。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[小星系里的暗物质](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/)

# 温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏

Sandbox Physics · 2026-11-12

温暗物质和模糊暗物质会在早期宇宙里抹掉最小的密度起伏，于是小晕从一开始就形成得少。温暗物质粒子跑得快，能从小起伏里溜出去；模糊暗物质的波不肯被压到比波长还小。转移函数记下每种起伏还剩多少，其中的半模尺度定出一个晕质量，比它轻的晕就变得稀少。

先读[尖峰和核心怎样改变转动曲线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/cusp-core-and-rotation-speed/)。需要的背景是波和波长、幂与对数，以及“平方的平均”这个概念。学完以后，你应该能读懂转移函数，把截断尺度换成晕质量，并算出温暗物质或模糊暗物质在某个质量上让晕少了多少。

## 用波数描述起伏

用密度反差 $\delta=(\rho-\bar\rho)/\bar\rho$ 描述物质分布，它是相对宇宙平均密度 $\bar\rho$ 多出来的比例。任何 $\delta$ 的图样都能写成许多波的叠加。波长为 $\lambda$ 的波，波数是 $k=2\pi/\lambda$，$k$ 越大，起伏越小。宇宙学里的 $k$ 用共动单位，也就是把整体膨胀除掉之后的长度，常写成 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。这里 $h=0.6766$ 是以 $100\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ 为单位的哈勃常数，1 Mpc 等于1000 kpc。

功率谱 $P(k)$ 是波数在 $k$ 附近的那些波的振幅平方的平均。起伏还小的时候，每个波各长各的，互不掺和，这叫线性阶段。各种暗物质模型的差别，就是在这个阶段定下来的。

## 转移函数和半模尺度

把模型 X 和冷暗物质比，用两者线性功率谱的比值：

$$
T^2(k)=\frac{P_{\mathrm X}(k)}{P_{\mathrm{CDM}}(k)}.
$$

$T^2=1$ 表示冷暗物质的起伏原样保留，$T^2=0$ 表示全被抹掉。[Nadler 等 2021，式1](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2) 半模波数 $k_{\mathrm{hm}}$ 是 $T^2=1/4$ 的地方，这时振幅 $T$ 降到一半。以半个波长 $\pi/k_{\mathrm{hm}}$ 为半径、按平均物质密度装满的球，质量叫半模质量：

$$
M_{\mathrm{hm}}=\frac{4\pi}{3}\,\Omega_{\mathrm m}\rho_{\mathrm{crit}}\left(\frac{\pi}{k_{\mathrm{hm}}}\right)^3.
$$

比它轻的晕，明显比冷暗物质里少。[Nadler 等 2021，式2](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2) 注意 $k$ 的单位是 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$：半径要先除以 $h$，再配上以太阳质量每立方千秒差距为单位的 $\rho_{\mathrm{crit}}$。

## 温暗物质从小起伏里溜走

最早的起伏开始增长时，温暗物质粒子的速度仍是光速里不可忽略的一份。粒子要是在引力把起伏加深之前就穿了过去，这个起伏就被抹平了。粒子越轻，跑得越快，抹掉的起伏越大。对热遗留粒子，也就是曾经和周围达到热平衡的粒子，Viel 等人把玻尔兹曼程序的结果拟合成

$$
T(k)=\left[1+(\alpha k)^{2\nu}\right]^{-5/\nu},\qquad\nu=1.12,
$$

$$
\alpha=0.049\left(\frac{m_{\mathrm{WDM}}}{1\,\mathrm{keV}}\right)^{-1.11}\left(\frac{\Omega_{\mathrm{WDM}}}{0.25}\right)^{0.11}\left(\frac{h}{0.7}\right)^{1.22}\,h^{-1}\,\mathrm{Mpc}.
$$

[Viel 等 2005，式6与式7](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0501562v2) 令 $T=1/2$ 解出半模波数，得到解析式：

$$
k_{\mathrm{hm}}=\frac{1}{\alpha}\left(2^{\nu/5}-1\right)^{1/(2\nu)}.
$$

**例3.1** 取3 keV 的粒子，$\Omega_{\mathrm{WDM}}=0.2607$，即参照宇宙学里全部暗物质。这时 $\alpha=0.01395\,h^{-1}\,\mathrm{Mpc}$。括号 $(2^{0.224}-1)^{0.446}$ 等于0.451，于是 $k_{\mathrm{hm}}\simeq32.3\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。半个波长 $\pi/k_{\mathrm{hm}}=0.0972\,h^{-1}\,\mathrm{Mpc}$，也就是 $143.6\,\mathrm{kpc}$。再用 $\Omega_{\mathrm m}\rho_{\mathrm{crit}}=39.3\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$，

$$
M_{\mathrm{hm}}\simeq\frac{4\pi}{3}(39.3)(143.6)^3\simeq4.9\times10^8\,\mathrm M_\odot.
$$

拟合终归是拟合。本课程保存了一份玻尔兹曼程序 CLASS 的完整线性计算，同一个半模落在 $34.6\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，拟合偏低约7%。[复算方法](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/recompute-cutoffs-and-a-soliton/)一章会演示这个比较怎么做。

Schneider 等人数了温暗物质模拟里形成的晕，把它和冷暗物质的比值拟合成

$$
\frac{n_{\mathrm{WDM}}}{n_{\mathrm{CDM}}}=\left(1+\frac{M_{\mathrm{hm}}}{M}\right)^{-1.16}.
$$

[Schneider 等 2012，式28](https://arxiv.org/abs/1112.0330v2) 对3 keV，$10^9\,\mathrm M_\odot$ 处比值是0.63，$10^8\,\mathrm M_\odot$ 处是0.13。即便形成了，晕也没那么紧，聚集度要乘上 $(1+15M_{\mathrm{hm}}/M)^{-0.3}$，在 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 处约为0.53。[Schneider 等 2012，式39](https://arxiv.org/abs/1112.0330v2)

## 模糊暗物质不肯被压小

如果暗物质是一种质量约 $10^{-22}\,\mathrm{eV}$ 的玻色子，它的德布罗意波长 $\lambda_{\mathrm{dB}}=h_{\mathrm P}/(mv)$ 会大到天文尺度，$h_{\mathrm P}$ 是普朗克常量。速度每秒100公里时，波长约 $1.2\,\mathrm{kpc}$。把一个波塞进比它波长还小的地方，动能就会升高。效果像多出一份压力，叫量子压力，它在小尺度上顶住引力。

线性阶段里，模糊暗物质场的每个共动波满足

$$
\ddot\delta+2H\dot\delta=\left(4\pi G\bar\rho-\frac{\hbar^2k^4}{4m^2a^4}\right)\delta,
$$

上面的点表示对时间求导，$H$ 是膨胀率，$a$ 是尺度因子，$\hbar=h_{\mathrm P}/2\pi$。$k$ 小的时候引力占上风，起伏增长；超过金斯波数，括号变号，量子压力占上风，起伏只振荡不增长。Hu、Barkana 与 Gruzinov 给出物质与辐射相等时刻的金斯波数 $k_{\mathrm{J,eq}}=9m_{22}^{1/2}\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，其中 $m_{22}=m/(10^{-22}\,\mathrm{eV})$，并把转移函数拟合成

$$
T(k)=\frac{\cos x^3}{1+x^8},\qquad x=1.61\,m_{22}^{1/18}\frac{k}{k_{\mathrm{J,eq}}}.
$$

功率在 $k_{1/2}=4.5\,m_{22}^{4/9}\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处降到一半。[Hu、Barkana 与 Gruzinov 2000，式8与式9](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0003365v2) 超过 $x^3=\pi/2$ 以后余弦变负，拟合式开始来回振荡，那里它只表示“截断了”，所以配套实验在这点以外取 $T=0$。

**例3.2** 对 $m_{22}=1$，$k_{1/2}=4.5\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，即 $6.65\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。本课程另写了一段程序直接积分上面的增长方程，功率减半的位置落在 $3.80\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，是拟合值的83%。两种计算对辐射和重子的处理不同，复算方法一章记下了这个比较。

模糊暗物质的晕更少。Schive 等人从模糊暗物质的线性起伏出发做模拟，之后把物质当作普通粒子来跟踪，在红移四及以上把晕的数目拟合成

$$
\frac{n_{\mathrm{FDM}}}{n_{\mathrm{CDM}}}=\left[1+\left(\frac{M}{M_0}\right)^{-1.1}\right]^{-2.2},\qquad M_0=1.6\times10^{10}m_{22}^{-4/3}\,\mathrm M_\odot.
$$

[Schive 等 2016，式7](https://arxiv.org/abs/1508.04621v3) 对 $m_{22}=1$，比值在 $10^{10}\,\mathrm M_\odot$ 处为0.11，在 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 处为0.0011。量子压力只通过初始起伏进入他们的模拟，所以拟合里的压低因子不随红移变化；作者也指出，低于约 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 的晕结果不确定。配套实验把这个拟合用到今天，这是一个假设。

## 两种截断形状为什么不同

温暗物质的转移函数按 $k$ 的幂次往下掉，模糊暗物质的则像跌下悬崖。半模尺度相同时，模糊暗物质把小起伏抹得更干净。Nadler 等人注意到这种更陡的压低，所以给模糊暗物质单独拟合了晕数目的形状，而不是把它折算成某个等效的温暗物质质量。[Nadler 等 2021，模糊暗物质分析一段](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2)

两种截断都不直接改变已经形成的晕的内部。温暗物质的晕不那么紧，是因为它们形成得晚。模糊暗物质晕中心平坦的核心，来自同一个量子压力在晕内部起作用，这是[造出暗物质核心的三种方式](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/three-ways-to-make-a-core/)要讲的内容。

## 实验任务

1. 预测。在转移函数面板里，把3 keV 改成6.5 keV，温暗物质曲线会在哪里降到四分之一？先用 $\alpha$ 的标度关系算，再动滑块。
2. 改一个条件。比较1 keV 和10 keV 温暗物质的密度切片。质量变小时，哪些结构最先消失？
3. 比较。调节模糊暗物质，让它的功率减半点大致对上3 keV 温暗物质的曲线。哪条曲线更陡？
4. 解释。所有模型的切片都用同一组随机相位。为什么大结构在每张切片里都待在相同位置？

## 练习

1. 由 $\alpha\propto m_{\mathrm{WDM}}^{-1.11}$ 和例3.1，求6.5 keV 的 $k_{\mathrm{hm}}$ 和 $M_{\mathrm{hm}}$。
2. 有人提出一个比 $m_{22}=1$ 重三十倍的模糊暗物质粒子。$k_{1/2}$ 变大几倍？$M_0$ 变小几倍？
3. 半模为什么用 $T^2=1/4$ 来定义，而不用 $T^2=1/2$？两者各自描述什么？

答案

1. 波数按 $m^{1.11}$ 变化，$k_{\mathrm{hm}}=32.3\,(6.5/3)^{1.11}\simeq76.3\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。质量按 $k^{-3}$ 变化，$M_{\mathrm{hm}}\simeq4.88\times10^8\,(76.3/32.3)^{-3}\simeq3.7\times10^7\,\mathrm M_\odot$。
2. $k_{1/2}$ 变大 $30^{4/9}\simeq4.5$ 倍。$M_0$ 变小 $30^{4/3}\simeq93$ 倍，模糊暗物质的晕在轻约九十倍的质量上仍然常见。
3. $T^2=1/4$ 是振幅比 $T$ 降到一半的地方，按惯例用来定义晕质量的半模。$T^2=1/2$ 是功率减半的地方，是模糊暗物质拟合里 $k_{1/2}$ 的约定。两个尺度不同，比较时要用同一种定义。

改变粒子质量，看截断和晕数读数怎样移动。

[打开“暗物质晕的核心与尖峰”实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dark-matter-halo-cores/)

## 来源

1. [Nadler 等 2021，式1](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2)
2. [Viel 等 2005，式6与式7](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0501562v2)
3. [Schneider 等 2012，式28](https://arxiv.org/abs/1112.0330v2)
4. [Hu、Barkana 与 Gruzinov 2000，式8与式9](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0003365v2)
5. [Schive 等 2016，式7](https://arxiv.org/abs/1508.04621v3)

## 继续阅读

小星系里的暗物质 · 阅读路径

### 从中心尖峰到数卫星星系

1. [文章 **不同的暗物质，能留下相似的小星系吗？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/similar-dwarfs-different-dark-matter/)
2. [文章 **尖峰和核心怎样改变转动曲线**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/cusp-core-and-rotation-speed/)
3. [当前页面 **温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/erasing-small-scale-power/)
4. [文章 **造出暗物质核心的三种方式**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/three-ways-to-make-a-core/)
5. [文章 **重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/recompute-cutoffs-and-a-soliton/)
6. [文章 **怎样读银河系卫星星系给温暗物质和模糊暗物质的限制**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/reading-milky-way-satellite-limits/)