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title: "尖峰和核心怎样改变转动曲线"
description: "用 NFW 轮廓搭出冷暗物质晕，算出包含质量和圆周速度，再看平坦的核心怎样压低内侧转动曲线。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/dark-matter-small-scales/cusp-core-and-rotation-speed/"
last_modified: "2026-11-12"
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[小星系里的暗物质](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/)

# 尖峰和核心怎样改变转动曲线

Sandbox Physics · 2026-11-12

转动曲线量的是每个半径以内的质量。中心是尖峰时，密度一直往里升，转速在中心附近按半径的平方根爬升；中心是等密度核心时，转速和半径成正比，所以里面的转速更低。这一章用一个一百亿倍太阳质量的晕，把两条曲线都算出来。

先读[不同的暗物质，能留下相似的小星系吗？](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/similar-dwarfs-different-dark-matter/)，了解问题从哪里来。需要的数学是幂、对数和球的体积；积分会在下文当作“把薄球壳加起来”引入。学完以后，你应该能从密度分布算出圆周速度，推出冷暗物质晕内的质量，并从转速曲线的形状认出尖峰或核心。

## 单位和圆周速度

长度用千秒差距（kpc），质量用太阳质量，速度用公里每秒。1 kpc 是1000秒差距，约3260光年。在这套单位里，引力常量是

$$
G=4.30091\times10^{-6}\,\mathrm{kpc\,(km\,s^{-1})^2\,M_\odot^{-1}}.
$$

把原点放在晕的中心，$r$ 表示到中心的距离，并假设晕是球对称的。牛顿的球壳定理告诉我们：半径 $r$ 处的一颗测试星，只感受到轨道以内的质量 $M(<r)$，就好像这些质量都集中在中心。做圆周运动时，引力正好提供向心加速度：

$$
\frac{V_{\mathrm c}^2}{r}=\frac{GM(<r)}{r^2}
\qquad\Longrightarrow\qquad
V_{\mathrm c}(r)=\sqrt{\frac{GM(<r)}{r}}.
$$

$V_{\mathrm c}$ 叫圆周速度。真实的气体还会受恒星和气体自身的引力，也可能不走正圆。这里只留暗物质，好让暗物质分布的形状看得清楚。

## 把薄球壳加起来

密度 $\rho(r)$ 是单位体积里的质量，单位是 $\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$。半径 $r'$、厚度 $\Delta r'$ 的薄球壳，体积约为 $4\pi r'^2\Delta r'$，装着质量 $4\pi r'^2\rho(r')\Delta r'$。从中心一直加到 $r$，再让球壳无限变薄，就得到积分：

$$
M(<r)=\int_0^r 4\pi r'^2\rho(r')\,\mathrm dr'.
$$

最简单的是均匀核心，$\rho=\rho_0$。每层球壳密度都一样，于是

$$
M(<r)=\frac{4\pi}{3}\rho_0r^3,\qquad V_{\mathrm c}=r\sqrt{\frac{4\pi G\rho_0}{3}}.
$$

速度和 $r$ 成正比，像一只转动的轮子上各点的速度。

**例2.1** 取 $\rho_0=0.04\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$。先换单位：一立方千秒差距含 $10^9$ 立方秒差距，所以 $\rho_0=4\times10^7\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$。在 $r=0.5\,\mathrm{kpc}$ 处，

$$
V_{\mathrm c}=0.5\sqrt{\frac{4\pi(4.30091\times10^{-6})(4\times10^7)}{3}}\simeq13.4\,\mathrm{km\,s^{-1}}.
$$

## 冷暗物质的密度分布

冷暗物质模拟出的晕，相当好地符合 Navarro、Frenk 与 White 给出的分布：

$$
\rho(r)=\frac{\rho_{\mathrm s}}{(r/r_{\mathrm s})\,(1+r/r_{\mathrm s})^2}.
$$

标度半径 $r_{\mathrm s}$ 是曲线拐弯的地方，$\rho_{\mathrm s}$ 决定整体高低。[Navarro、Frenk 与 White 1997，式1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9611107v4) 要看清拐弯，用对数斜率，也就是密度在局部跟着 $r$ 的几次方变化。记 $x=r/r_{\mathrm s}$，

$$
\gamma(r)\equiv\frac{\mathrm d\ln\rho}{\mathrm d\ln r}=-1-\frac{2x}{1+x}.
$$

靠近中心 $x\ll1$，$\gamma\to-1$，密度像 $1/r$ 那样往上升，这就是尖峰。很远的地方 $\gamma\to-3$。核心的 $\gamma$ 接近零。

现在把球壳加起来。令 $y=r'/r_{\mathrm s}$，则 $\mathrm dr'=r_{\mathrm s}\,\mathrm dy$：

$$
M(<r)=4\pi\rho_{\mathrm s}r_{\mathrm s}^3\int_0^x\frac{y}{(1+y)^2}\,\mathrm dy.
$$

再换元 $u=1+y$，被积函数变成 $(u-1)/u^2=1/u-1/u^2$，它的原函数是 $\ln u+1/u$。从 $u=1$ 算到 $u=1+x$，得到 $\ln(1+x)+1/(1+x)-1$，即

$$
M(<r)=4\pi\rho_{\mathrm s}r_{\mathrm s}^3\left[\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\right].
$$

检查 $x$ 很小的极限：方括号从 $x^2/2$ 开始，于是 $M\propto r^2$，中心附近 $V_{\mathrm c}\propto\sqrt r$。

## 定下一个晕的大小

晕要有质量，先得有一条外边界。常用的是维里半径 $r_{\mathrm{vir}}$：它以内的平均密度，是今天宇宙临界密度 $\rho_{\mathrm{crit}}$ 的 $\Delta$ 倍。我们参照计算所用的宇宙学参数是 $h=0.6766$、物质占比 $\Omega_{\mathrm m}=0.3096$，于是 $\rho_{\mathrm{crit}}=277.5h^2=127.05\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$。超密度取 Bryan 与 Norman 的拟合：

$$
\Delta=18\pi^2+82(\Omega_{\mathrm m}-1)-39(\Omega_{\mathrm m}-1)^2\simeq102.5.
$$

可以用来检验这个式子：Nadler 等人在物质占比0.286时给出 $\Delta\simeq99.2$，代入同一个式子正好得到这个数。[Nadler 等 2021，子晕质量函数一段](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2) 晕的质量和半径于是满足

$$
M_{\mathrm{vir}}=\frac{4\pi}{3}\Delta\rho_{\mathrm{crit}}r_{\mathrm{vir}}^3.
$$

聚集度 $c=r_{\mathrm{vir}}/r_{\mathrm s}$ 表示质量往中心收得多紧。Dutton 与 Macciò 拟合了模拟的晕，在红移为零时得到

$$
\log_{10}c=1.025-0.097\log_{10}\!\left(\frac{M_{\mathrm{vir}}}{10^{12}\,h^{-1}\,\mathrm{M_\odot}}\right).
$$

[Dutton 与 Macciò 2014，式9](https://arxiv.org/abs/1402.7073v2) 他们的模拟最小到约 $10^{10}\,h^{-1}\,\mathrm{M_\odot}$，用到更小的晕属于外推。

**例2.2** 取 $M_{\mathrm{vir}}=10^{10}\,\mathrm{M_\odot}$。由维里关系解出 $r_{\mathrm{vir}}\simeq56.8\,\mathrm{kpc}$。此时 $M_{\mathrm{vir}}h=6.77\times10^9\,\mathrm{M_\odot}$，拟合给出 $c\simeq17.2$，$r_{\mathrm s}=r_{\mathrm{vir}}/c\simeq3.30\,\mathrm{kpc}$。维里半径以内的质量必须等于 $M_{\mathrm{vir}}$，而 $\ln(1+c)-c/(1+c)\simeq1.956$，所以

$$
\rho_{\mathrm s}=\frac{M_{\mathrm{vir}}}{4\pi r_{\mathrm s}^3\,(1.956)}\simeq1.13\times10^7\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}.
$$

接着读晕的内部。在 $r=0.15\,\mathrm{kpc}$，$x=0.0454$，密度为 $2.27\times10^8\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$，也就是 $0.227\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$。在 $r=0.3\,\mathrm{kpc}$，斜率是 $-1.17$。1 kpc 以内的质量是 $1.64\times10^8\,\mathrm{M_\odot}$，所以 $V_{\mathrm c}(1\,\mathrm{kpc})\simeq26.6\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。转速继续升高，在 $7.1\,\mathrm{kpc}$ 处达到最大值 $37.9\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，那里 $x\simeq2.16$。

## 两条曲线放在一起

在 $0.5\,\mathrm{kpc}$，冷暗物质晕给出 $20.4\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，例2.1的均匀核心给出 $13.4\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。尖峰把更多质量塞在中心，转速升得更早也更快。实测转动曲线如果在里面半个千秒差距内沿直线上升，指向核心；如果像平方根那样上升，指向尖峰。Bullock 与 Boylan-Kolchin 用两个实测矮星系画出了这种对比。[Bullock 与 Boylan-Kolchin 2017，第2.2节与图9](https://arxiv.org/abs/1707.04256v2)

这里比较的两种密度并不是同一个晕只改了一处。[造出暗物质核心的三种方式](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/three-ways-to-make-a-core/)会造出在外侧平滑接上冷暗物质晕的核心，并在晕质量相同时比较它们。在那之前，[温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/erasing-small-scale-power/)先问：那些根本没形成的晕去了哪里。

## 实验任务

1. 先预测再看。选冷暗物质模型，晕质量 $10^{10}\,\mathrm{M_\odot}$。圆周速度在哪个半径达到8千秒差距处数值的一半？然后沿转动曲线拖动金色星标检验。
2. 改一个条件。质量不变，换成自相互作用模型，读出300秒差距处的密度斜率，和冷暗物质的值比较。
3. 比较。在两种模型里都把星标放在0.5千秒差距，记下两个速度。哪一种的速度更接近随半径直线增长？
4. 解释。在冷暗物质模型里把晕质量调到 $10^{11}\,\mathrm{M_\odot}$。为什么300秒差距处的斜率更接近 $-1$？

## 练习

1. 设中心附近 $\rho\propto r^{-\gamma}$，且 $\gamma<3$。证明 $V_{\mathrm c}\propto r^{1-\gamma/2}$。尖峰 $\gamma=1$ 和核心 $\gamma=0$ 的指数各是多少？
2. 在 $\Delta$ 和 $\rho_{\mathrm{crit}}$ 不变时，晕的质量翻倍，$r_{\mathrm{vir}}$ 变为原来的几倍？
3. 一个矮星系在 $0.5\,\mathrm{kpc}$ 处测得气体速度 $13\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，在 $1\,\mathrm{kpc}$ 处测得 $26\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。它更像尖峰还是核心？下结论前还要检查什么？

答案

1. 球壳积分给出 $M(<r)\propto\int_0^r r'^{2-\gamma}\mathrm dr'\propto r^{3-\gamma}$，$\gamma<3$ 时在中心收敛。于是 $V_{\mathrm c}^2\propto M/r\propto r^{2-\gamma}$，即 $V_{\mathrm c}\propto r^{1-\gamma/2}$。尖峰 $\gamma=1$ 给出 $r^{1/2}$，核心 $\gamma=0$ 给出 $r^1$。
2. 由 $M_{\mathrm{vir}}\propto r_{\mathrm{vir}}^3$，半径变为 $2^{1/3}\simeq1.26$ 倍。
3. 半径加倍，速度也加倍，这是核心的直线上升；纯尖峰只会让速度变为 $\sqrt2\simeq1.41$ 倍。下结论前，要先扣掉恒星和气体的引力，再检查气体有没有非圆周运动、有没有压力支撑。这些因素对内部转速的影响，都可能和尖峰与核心的差别一样大。

把星标往里拖，比较尖峰和核心的圆周速度。

[打开“暗物质晕的核心与尖峰”实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dark-matter-halo-cores/)

## 来源

1. [Navarro、Frenk 与 White 1997，式1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9611107v4)
2. [Nadler 等 2021，子晕质量函数一段](https://arxiv.org/abs/2008.00022v2)
3. [Dutton 与 Macciò 2014，式9](https://arxiv.org/abs/1402.7073v2)
4. [Bullock 与 Boylan-Kolchin 2017，第2.2节与图9](https://arxiv.org/abs/1707.04256v2)

## 继续阅读

小星系里的暗物质 · 阅读路径

### 从中心尖峰到数卫星星系

1. [文章 **不同的暗物质，能留下相似的小星系吗？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/similar-dwarfs-different-dark-matter/)
2. [当前页面 **尖峰和核心怎样改变转动曲线**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/cusp-core-and-rotation-speed/)
3. [文章 **温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/erasing-small-scale-power/)
4. [文章 **造出暗物质核心的三种方式**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/three-ways-to-make-a-core/)
5. [文章 **重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/recompute-cutoffs-and-a-soliton/)
6. [文章 **怎样读银河系卫星星系给温暗物质和模糊暗物质的限制**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-matter-small-scales/reading-milky-way-satellite-limits/)