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title: "距离怎样记下宇宙的膨胀"
description: "推出暗能量变化时的膨胀速率，手算共动距离和哈勃距离，看清引力强弱为什么不出现在距离里。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/dark-energy-or-modified-gravity/how-distances-record-expansion/"
last_modified: "2026-11-12"
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[暗能量在变，还是引力在变](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/)

# 距离怎样记下宇宙的膨胀

Sandbox Physics · 2026-11-12

宇宙学里的每一种距离，都是膨胀速率的倒数对红移的积分。超新星亮度也好，重子声学振荡这把尺子也好，测到的都只是一个函数：每个红移处的膨胀速率，别的什么都没有。这一章先为随时间变化的暗能量写出这个函数，再把它变成距离，最后说明引力强弱为什么从头到尾不出场。

建议先读[同样的膨胀，能配上不同的引力吗](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/same-expansion-different-gravity/)。需要的数学是指数、对数，以及把积分理解成许多小段相加。读完应该能推出暗能量随时间变化时平直宇宙的膨胀速率，亲手算两种距离，并看懂 Lab 里的距离图。

## 尺度因子、红移和膨胀速率

用尺度因子 $a$ 描述膨胀，规定今天 $a$ 等于一。任意两点的共动间隔都按 $a$ 的比例变大。尺度因子为 $a$ 时发出的光，到达时被拉长了 $1/a$ 倍，这就是红移的定义：

$$
1+z=\frac{1}{a}.
$$

膨胀速率是单位时间里尺度因子增长的比例，$H=\dot a/a$，今天的值记作 $H_0$，写成 $H_0=100\,h\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$。光在一个哈勃时间里走过的距离 $c/H_0$ 是天然的长度单位，$h=0.68$ 时等于 $4408.7\,\mathrm{Mpc}$。

空间平直时，弗里德曼方程把膨胀速率和总能量密度联系起来。各种密度都除以今天的临界密度，记今天的物质比例为 $\Omega_{\mathrm m}$。物质随体积稀释，密度按 $a^{-3}$ 下降。辐射只在比这里早得多的时候才重要，先略去。于是

$$
E^2(a)\equiv\frac{H^2(a)}{H_0^2}=\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+(1-\Omega_{\mathrm m})\frac{\rho_{\mathrm{DE}}(a)}{\rho_{\mathrm{DE}}(1)}.
$$

第二项是暗能量，平直条件把它今天的份额定为 $1-\Omega_{\mathrm m}$。[Weinberg 和 White，PDG 粒子物理评述 2025，§28.1](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-dark-energy.pdf)

## 暗能量密度怎样变化

压强为 $p$、密度为 $\rho$ 的流体，在体积膨胀时对外做功，自身能量随之减少。膨胀宇宙里的能量守恒给出

$$
\frac{\mathrm d\ln\rho}{\mathrm d\ln a}=-3(1+w),\qquad w\equiv\frac{p}{\rho c^2}.
$$

物质的 $w=0$，回到 $\rho\propto a^{-3}$。宇宙学常数的 $w=-1$，密度完全不变。DESI 和许多分析把变化的暗能量写成尺度因子的一条直线，$w(a)=w_0+w_a(1-a)$：$w_0$ 是今天的值，$w_a$ 表示过去和今天差多少。[DESI DR2 BAO 结果，2025](https://arxiv.org/html/2503.14738v3)

从今天 $a=1$ 往回积分到 $a$：

$$
\ln\frac{\rho_{\mathrm{DE}}(a)}{\rho_{\mathrm{DE}}(1)}=-3\int_1^a\frac{1+w_0+w_a(1-a')}{a'}\,\mathrm da'=-3(1+w_0+w_a)\ln a-3w_a(1-a).
$$

膨胀速率里的暗能量项因此是

$$
\frac{\rho_{\mathrm{DE}}(a)}{\rho_{\mathrm{DE}}(1)}=a^{-3(1+w_0+w_a)}\,\mathrm e^{-3w_a(1-a)}.
$$

过去若 $w>-1$，往回走时它被压缩，密度比今天大。若 $w<-1$，密度反而随膨胀增大，这叫幻影行为。Lab 用的正是这个背景，不改的话 $\Omega_{\mathrm m}=0.31$。

## 从膨胀速率到距离

朝我们走来的光，在一小段时间 $\mathrm dt$ 里走过共动距离 $c\,\mathrm dt/a$。由 $\mathrm dz=-\mathrm da/a^2$ 和 $\mathrm da=aH\,\mathrm dt$，这一小段等于 $c\,\mathrm dz/H$。从光源一路加到我们这里，得到共动距离

$$
D_{\mathrm M}(z)=\frac{c}{H_0}\int_0^z\frac{\mathrm dz'}{E(z')}.
$$

平直宇宙里它也是横向共动距离：红移 $z$ 处共动尺寸为 $r$ 的东西，张开的角度是 $r/D_{\mathrm M}$。另一种距离管视线方向上的间隔：一小段红移 $\Delta z$ 对应共动长度 $D_{\mathrm H}\,\Delta z$，其中

$$
D_{\mathrm H}(z)=\frac{c}{H(z)}.
$$

星系巡天在天空方向和视线方向上量重子声学尺度 $r_{\mathrm d}$，得到 $D_{\mathrm M}/r_{\mathrm d}$ 和 $D_{\mathrm H}/r_{\mathrm d}$。超新星量的是光度距离 $(1+z)D_{\mathrm M}$，差一个整体定标。这些数无一例外都由 $E(z)$ 算出。

## 一个能精确核对的例子

只有物质的宇宙里，$\Omega_{\mathrm m}=1$，$E=(1+z)^{3/2}$，积分有解析解：

$$
D_{\mathrm M}(z)=\frac{2c}{H_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right).
$$

$z=1$ 时等于 $0.585786\,c/H_0$。Lab 背后的数值积分算出的值，与它在小数点后十位一致。

## 例题：同一个红移，三个宇宙

取 $\Omega_{\mathrm m}=0.31$、$h=0.68$，暗能量是宇宙学常数。$z=0.5$ 时尺度因子为 $2/3$，

$$
E^2=0.31\times1.5^3+0.69=1.73625,\qquad E=1.3177.
$$

把 $1/E$ 从零数值积分到一半，得到 $D_{\mathrm M}=0.4395\,c/H_0\simeq1938\,\mathrm{Mpc}$。视线方向距离 $D_{\mathrm H}=c/(H_0E)=3346\,\mathrm{Mpc}$。例题里规定声学尺度为 $147\,\mathrm{Mpc}$，它张开 $147/1938=0.0759$ 弧度，天空上约 4.3 度。

改成 $w_0=-0.9$、$w_a=0$。这时 $z=0.5$ 的暗能量密度是今天的 $1.5^{0.3}=1.129$ 倍，$E=1.3511$ 变大，积分里每一小段都变小。距离缩到 $0.4326\,c/H_0$，短了 1.6%，同一把尺子看起来大 1.6%。

最后换成接近 DESI 偏好的穿越模型，$w_0=-0.752$、$w_a=-0.86$。今天 $w$ 在负一之上，到 $z=0.5$ 已经是 $-1.039$。与宇宙学常数相比，距离在 $z=0.5$ 短 2.3%，$z=1$ 短 1.8%，$z=2$ 短 1.0%。这种偏移只有百分之几，却铺在一整段红移上，现在的巡天正好测得出来。

## 引力强弱为什么不出场

再看两条距离公式，里面只有膨胀速率。物质对引力的响应，也就是后面几章的 $\mu$，不在里面；光线偏折也不在里面。

这句话可以说得很精确。对共动距离求导，$\mathrm dD_{\mathrm M}/\mathrm dz=c/H(z)$。两个平直模型若在每个红移上给出相同的 $D_{\mathrm M}(z)$，它们的 $H(z)$ 就相同，$D_{\mathrm H}$ 和光度距离也相同。距离把膨胀历史完全定下来，也只定下膨胀历史。

修改引力理论同样会给出某段膨胀历史。不管它是什么，都可以写成上面公式里的一个等效 $w(a)$。hi\_class 这样的宇宙学程序就用了这份自由：背景和引力响应是两项分开的输入。[Zumalacárregui 等 2017，hi\_class](https://arxiv.org/abs/1605.06102)

## Lab 任务

1. 选“暗能量在变，引力照旧”，读探测壳处与宇宙学常数模型的距离之比，再把壳拖到 $z=1$ 和 $z=2$。这个比值在 $z=0.5$ 约为 0.984，过了 $z=1$ 就停在 0.980 附近。说说为什么暗能量不再占主导以后，它就不怎么变了。
2. 选“膨胀相同，引力更强”。两条增长曲线分开了，距离之比却在每个红移上都是一。用 $D_{\mathrm M}$ 的公式说明原因。
3. 拖动 $w_a$，盯着光锥上的刻度。你这个宇宙的刻度会相对淡色的宇宙学常数刻度移动。找一组设置，让 $z=0.5$ 的距离缩短约 2%。

## 习题

1. 用守恒律说明 $w=-1$ 时密度不变，$w=-1/3$ 时密度按 $a^{-2}$ 下降。
2. 在只有物质的宇宙里，算 $z=3$ 的 $D_{\mathrm M}$，分别以 $c/H_0$ 和 $h=0.68$ 时的百万秒差距为单位。
3. 不做积分，解释为什么 $w_0=-0.9$ 让到 $z=0.5$ 的距离比宇宙学常数情形短。
4. 同事说：超新星样本和 BAO 样本在膨胀历史上一致，合起来就检验了广义相对论。它们真正检验的是什么？

答案

第一题，$w=-1$ 时 $\mathrm d\ln\rho/\mathrm d\ln a=-3(1+w)$ 为零，$\rho$ 不变。$w=-1/3$ 时斜率是 $-2$，所以 $\rho\propto a^{-2}$。

第二题，$1/\sqrt{4}=1/2$，所以 $D_{\mathrm M}=2(1-1/2)=1$，单位是 $c/H_0$；$h=0.68$ 时为 $4409\,\mathrm{Mpc}$。

第三题，$w>-1$ 意味着暗能量过去更密，常数 $w$ 时多出因子 $(1+z)^{3(1+w)}$。密度大，中间每个红移上的膨胀速率就大，距离积分里每一小段 $\mathrm dz/E$ 就小。

第四题，它们检验的是同一段膨胀历史能否同时拟合两种距离，包括尺子和超新星亮度的定标。检验的是背景，不是引力规律。膨胀历史相同的修改引力理论两关都能过。要检验引力，得看增长或透镜，下一章就讲这两样。

## 来源

1. [Weinberg 和 White，PDG 粒子物理评述 2025，§28.1](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-dark-energy.pdf)
2. [DESI DR2 BAO 结果，2025](https://arxiv.org/html/2503.14738v3)
3. [Zumalacárregui 等 2017，hi\_class](https://arxiv.org/abs/1605.06102)

拖动暗能量设置，读探测壳处的距离之比。 [打开 Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dark-energy-modified-gravity/)

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暗能量在变，还是引力在变 · 阅读路径

### 从距离、增长、透镜到稳定性

1. [文章 **同样的膨胀，能配上不同的引力吗**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/same-expansion-different-gravity/)
2. [当前页面 **距离怎样记下宇宙的膨胀**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/how-distances-record-expansion/)
3. [文章 **增长和透镜怎样感受引力**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/how-growth-and-lensing-feel-gravity/)
4. [文章 **四个函数描述修改引力，以及它什么时候稳定**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/modified-gravity-in-four-functions-and-stability/)
5. [文章 **复算膨胀与增长网格**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/recompute-a-background-growth-grid/)
6. [文章 **读 DESI 2024 修改引力论文**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dark-energy-or-modified-gravity/reading-desi-2024-modified-gravity/)